Bài 3. DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC

I. LÝ THUYẾT
1. Số phức dưới dạng lượng giác:
a) Acgumen của số phức z ≠ 0:

• Cho số phức z = a + bi ≠ 0 được biểu diễn bởi điểm M(a; b) trên mặt phẳng Oxy. Số đo (rađian) của góc $\varphi = (\overrightarrow {Ox} ,\overrightarrow {OM} )$ được gọi là một acgumen của z.
• Mọi acgumen của z sai khác nhau là 2kπ tức là có dạng φ + 2kπ ($k \in Z$ )

(z và nz sai khác nhau k2p với n là một số thực khác 0).
VD: Biết z ≠0 có một acgumen là φ. Hãy tìm một acgumen của mỗi số phức sau: –z; $\overline z $; –$\overline z $; 1/z.

• z biểu diễn bởi $\overrightarrow {OM} $ thì –z biểu diễn bởi –$\overrightarrow {OM} $ nên có acgumen là φ + (2k + 1)π.
• $\overline z $ biểu diễn bởi M¢ đối xứng M qua Ox nên có acgumen là – φ + 2kπ
• –$\overline z $ biểu diễn bởi –$\overrightarrow {OM'} $ nên có acgumen là – φ + (2k + 1)π
• $\frac{1}{z} = {z^{ - 1}} = \frac{{\bar z}}{{|z{|^2}}}$, vì $\frac{1}{{|z{|^2}}}$ là một số thực nên ${z^{ - 1}}$ có cùng acgumen với $\overline z $ là – φ + 2kπ.

b) Dạng lượng giác của số phức z = a + bi:

• Dạng lượng giác của số phức z ≠ 0 là z = r(cosφ + isinφ) với φ là một acgumen của z.

$z = a + bi \Leftrightarrow z = r\left( {cos\varphi + isin\varphi } \right)\,\,\,{\rm{V\^o \`u i }}r = \sqrt {{a^2} + {b^2}} ;\,\,\,cos\varphi = \frac{a}{r};\,\,sin\varphi = \frac{b}{r}$

VD

• Số –1 có môđun là 1 và một acgumen bằng p nên có dạng lượng giác là z = cosπ + sinπ
• Số 1 +$\sqrt 3 $ có môđun bằng 2 và một acgumen bằng φ thoả cosφ = 1/2 và sinφ = $\frac{{\sqrt 3 }}{2}$. Lấy φ = π/3 thì 1 +$\sqrt 3 $ = 2[cos(π/3) + isin(π/3)]
• Số 0 có môđun là 0 và một acgumen tuỳ ý nên có dạng lượng giác 0 = 0(cosφ+ isinφ)

Chú ý:

• Số – cosφ –isinφ có dạng lượng giác là cos( φ+ p) + sin( φ+ p)
• Số cosφ – isinφ có dạng lượng giác là cos(- φ) + isin(- φ)
• Số – cosφ + isinφ có dạng lượng giác là cos(π – φ) + isin(π – φ)

2. Nhân, chia số phức dưới dạng lượng giác:
Cho z = r(cos φ + isin φ) và z' = r'(cosφ’ + isinφ’) với r, r ≥ 0
$z.z' = r.r'[cos(\varphi + \varphi ') + isin(\varphi + \varphi ')]$ và $\frac{z}{{z'}} = \frac{r}{{r'}}[cos(\varphi - \varphi ') + isin(\varphi - \varphi ')]$ (r' ≠ 0)

• Ta có $\frac{1}{{z'}}$ và $\overline z $ có cùng acgumen là – φ’ + k2p nên $\frac{1}{{z'}} = \frac{1}{{r'}}[\cos ( - \varphi ') + i\sin ( - \varphi ')]$.
• Do đó $\frac{z}{{z'}} = \frac{r}{{r'}}[\cos (\varphi - \varphi ') + i\sin (\varphi - \varphi ')];\,r' \ne 0$

VD: ${z_1} = 2\left( {\cos \frac{{3\pi }}{4} + i\sin \frac{{3\pi }}{4}} \right)$ và ${z_2} = \sqrt 2 \left( {\sin \frac{{5\pi }}{{12}} + i\cos \frac{{5\pi }}{{12}}} \right)$. Tính ${z_1}.{z_2}$ và $\frac{{{z_1}}}{{{z_2}}}$
Với ${z_2} = \sqrt 2 \left( {\cos \frac{\pi }{{12}} + i\sin \frac{\pi }{{12}}} \right)$; ${z_1}.{z_2}$ = $2\sqrt 2 \left( {\cos \frac{{5\pi }}{6} + i\sin \frac{{5\pi }}{6}} \right) = 2\sqrt 2 \left( { - \frac{{\sqrt 3 }}{2} + \frac{1}{2}i} \right) = - \sqrt 6 + \sqrt 2 .i$
và $\frac{{{z_1}}}{{{z_2}}} = \frac{2}{{\sqrt 2 }}\left( {\cos \frac{{2\pi }}{3} + i\sin \frac{{2\pi }}{3}} \right) = \sqrt 2 \left( { - \frac{1}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}i} \right) = - \frac{{\sqrt 2 }}{2} + \frac{{\sqrt 6 }}{2}i$

3. Công thức Moa–vrơ (Moivre) và ứng dụng:
a) Công thức Moa–vrơ: Cho số phức z = r(cosφ + isinφ)
${\left[ {r(cos\varphi + isin\varphi )} \right]^n} = {r^n}(cosn\varphi + isinn\varphi )$ ($n \in N*$)

b) Căn bậc hai số phức dạng lượng giác:`
Mọi số phức z = r(cosφ + isinφ) (r > 0) có 2 căn bậc hai là
$\delta = \sqrt r \left( {cos\frac{\varphi }{2} + isin\frac{\varphi }{2}} \right)$ và ${\delta _2} = - \sqrt r \left( {\cos \frac{\varphi }{2} + i\sin \frac{\varphi }{2}} \right){\rm{ }} \Rightarrow {\delta _2} = \sqrt r \left[ {cos\left( {\frac{\varphi }{2} + \pi } \right) + isin\left( {\frac{\varphi }{2} + \pi } \right)} \right]$
VD: Đổi sang dạng lượng giác rồi tính: ${\left( {1 + i} \right)^{100}}$ và căn bậc hai của w = 1 +$\sqrt 3 .i$

• Ta có 1 + i= $\sqrt 2 \left( {\frac{1}{{\sqrt 2 }} + \frac{1}{{\sqrt 2 }}i} \right) = \sqrt 2 \left( {\cos \frac{\pi }{4} + i\sin \frac{\pi }{4}} \right)$.
• Do đó ${\left( {1 + i} \right)^{100}}$= ${\left[ {\sqrt 2 \left( {\cos \frac{\pi }{4} + i\sin \frac{\pi }{4}} \right)} \right]^{100}} = {2^{50}}\left( {\cos 25\pi + i\sin 25\pi } \right)$
• w = 1 +$\sqrt 3 .i$ = $2\left( {\cos \frac{\pi }{3} + i\sin \frac{\pi }{3}} \right)$ có 2 căn bậc hai là $\sqrt 2 \left( {\cos \frac{\pi }{6} + i\sin \frac{\pi }{6}} \right)$ và $\sqrt 2 \left( {\cos \frac{{7\pi }}{6} + i\sin \frac{{7\pi }}{6}} \right)$.

II. BÀI TẬP ÁP DỤNG
1) Dùng công thức khai triển nhị thức Niutơn ${\left( {1 + i} \right)^{19}}$ và công thức Moavrơ để tính $C_{19}^0 - C_{19}^1 + C_{19}^4 - ... + C_{19}^{16} - C_{19}^{18}$
Hướng dẫn
$1 + i = \sqrt 2 \left( {\cos \frac{\pi }{4} + i\sin \frac{\pi }{4}} \right)$
Ta có ${\left( {1 + i} \right)^{19}} = \sum\limits_{k = 0}^{n = 19} {C_n^k{i^k}} = C_{19}^0{i^0} + C_{19}^1{i^1} + C_{19}^2{i^2} + ... + C_{19}^{18}{i^{18}} + C_{19}^{19}{i^{19}}$ với phần thực là $C_{19}^0 - C_{19}^2 + C_{19}^4 - ... + C_{19}^{16} - C_{19}^{18}$
${\left( {1 + i} \right)^{19}} = {\sqrt 2 ^{19}}\left( {\cos \frac{{19\pi }}{4} + i\sin \frac{{19\pi }}{4}} \right) = {\sqrt 2 ^{19}}\left( { - \frac{{\sqrt 2 }}{2} + i\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right) = - {2^9} + {2^9}i$ có phần thực $ - {2^9} = - 512$
Vậy $C_{19}^0 - C_{19}^2 + C_{19}^4 - ... + C_{19}^{16} - C_{19}^{18} = - 512$

2) Tính: $\,\,\,{\left( {\frac{i}{{1 + i}}} \right)^{2004}};\,\,\,\,{\left( {\frac{{5 + 3\sqrt 3 i}}{{1 - 2\sqrt 3 i}}} \right)^{21}}$
Hướng dẫn
${\left( {\frac{i}{{1 + i}}} \right)^{2004}} = {\left( {\frac{{1 + i}}{2}} \right)^{2004}} = {\left[ {\frac{{\sqrt 2 }}{2}\left( {\cos \frac{\pi }{4} + i\sin \frac{\pi }{4}} \right)} \right]^{2004}} = \frac{1}{{{2^{1002}}}}\left( {\cos \pi + i\sin \pi } \right) = - \frac{1}{{{2^{1002}}}}$
$\,{\left( {\frac{{5 + 3\sqrt 3 i}}{{1 - 2\sqrt 3 i}}} \right)^{21}} = {\left( { - 1 + \sqrt 3 i} \right)^{21}} = {\left[ {2\left( {\cos \frac{{2\pi }}{3} + i\sin \frac{{2\pi }}{3}} \right)} \right]^{21}} = {2^{21}}\left( {\cos 14\pi + i\sin 14\pi } \right) = {2^{21}}$

3) Cho số phức $w = - \frac{1}{2}\left( {1 + \sqrt 3 i} \right)$. Tìm các số nguyên dương n để ${w^n}$ là số thực. Hỏi có số nguyên dương m để ${w^m}$ là số ảo?
Hướng dẫn
$w = - \frac{1}{2}\left( {1 + \sqrt 3 i} \right) = \cos \frac{{4\pi }}{3} + i\sin \frac{{4\pi }}{3} \Rightarrow {w^n} = \cos \frac{{4n\pi }}{3} + i\sin \frac{{4n\pi }}{3}$
W là số thực khi $\sin \frac{{4n\pi }}{3} = 0$, điều này xảy ra khi n là bội nguyên dương của 3.
Không có m nào để ${w^m}$ là số ảo.