Hãy đăng ký thành viên để có thể dễ dàng hỏi bài, trao đổi, giao lưu và chia sẻ về kiến thức

Bài 3. DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC

Thảo luận trong 'Bài 1. Các dạng toán liên quan đến số phức' bắt đầu bởi Doremon, 6/12/14.

  1. Tuấn Anh 689

    Tuấn Anh 689 Mới đăng kí

    Tham gia ngày:
    31/10/17
    Bài viết:
    4
    Đã được thích:
    0
    Điểm thành tích:
    0
    Giới tính:
    Nam
    Cho số phức \(z = 2i.\) Hỏi điểm biểu diễn cho số phức z là điểm nào trong các điểm M, N, P, Q như hình bên?
    [​IMG]
    A. M
    B. N
    C. P
    D. Q
     
    1. Minh Toán
      Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là điểm M(0;2).
       
      Minh Toán, 9/12/17
  2. Tuấn Trần

    Tuấn Trần Mới đăng kí

    Tham gia ngày:
    29/8/17
    Bài viết:
    3
    Đã được thích:
    0
    Điểm thành tích:
    0
    Giới tính:
    Nam
    Biết số phức \(z = a + bi\left( {a,b \in R} \right)\) thỏa mãn điều kiện \(\left| {z - 2 - 4i} \right| = \left| {z - 2i} \right|\) có mô đun nhỏ nhất. Tính \(M = {a^2} + {b^2}.\)
    A. M=10
    B. M=16
    C. M=26
    D. M=8
     
    1. Minh Toán
      \(\begin{array}{l}\left| {z - 2 - 4i} \right| = \left| {z - 2i} \right|\\ \Rightarrow \left| {a - 2 + \left( {b - 4} \right)i} \right| = \left| {a + \left( {b - 2} \right)i} \right|\\ \Leftrightarrow {\left( {a - 2} \right)^2} + {\left( {b - 4} \right)^2} = {a^2} + {\left( {b - 2} \right)^2}\\ \Leftrightarrow a + b = 4\end{array}\)
      Ta có: \(\left| z \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} = \sqrt {{a^2} + {{\left( {4 - a} \right)}^2}} = \sqrt {2{a^2} - 8a + 16} = \sqrt {2{{\left( {a - 2} \right)}^2} + 8} \ge 2\sqrt 2 \)
      Suy ra: \(Min\left( {\left| z \right|} \right) = Min\left( {\sqrt {{a^2} + {b^2}} } \right) = 2\sqrt 2 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = 2\end{array} \right. \Rightarrow M = 8\)
       
      Minh Toán, 9/12/17
  3. tuan.nt8686

    tuan.nt8686 Mới đăng kí

    Tham gia ngày:
    23/9/17
    Bài viết:
    5
    Đã được thích:
    0
    Điểm thành tích:
    0
    Giới tính:
    Nữ
    Gọi (H) là hình biểu diễn tập hợp các số phức z trong mặt phẳng tọa đọ Oxy để \(\left| {2z - \overline z } \right| \le 3\) số phức z có phần thực không âm. Tính diện tích hình (H).
    A. \(3\pi \)
    B. \(\frac{3}{2}\pi \)
    C. \(\frac{3}{4}\pi \)
    D. \(6\pi \)
     
    1. Minh Toán
      Đặt \(z = x + yi\left( {x \ge 0} \right);a,b \in R \Rightarrow \left| {2z - \overline z } \right| \le 3 \Leftrightarrow \left| {x + 3yi} \right| \le 3 \Leftrightarrow {x^2} + 9{y^2} \le 9\)
      \( \Leftrightarrow \frac{{{x^2}}}{9} + \frac{{{y^2}}}{1} \le 1\).
      Do hình (H) là nửa hình Elip có \(a = 3,b = 1\).
      Khi đó \(S = \frac{1}{2}{S_{elip}} = \frac{1}{2}.\left( {\pi ab} \right) = \frac{3}{2}\pi \)
       
      Minh Toán, 9/12/17
  4. tuan0986408740

    tuan0986408740 Mới đăng kí

    Tham gia ngày:
    7/6/17
    Bài viết:
    6
    Đã được thích:
    0
    Điểm thành tích:
    0
    Giới tính:
    Nam
    Xác định tập hợp tất cả những điểm trong mặt phẳng tọa độ biểu diễn số phức z sao cho \({z^2} = {\left( {\overline z } \right)^2}.\)
    A. \(\left\{ {\left( {x;0} \right),x \in \mathbb{R}} \right\} \cup \left\{ {\left( {0;y} \right),y \in \mathbb{R}} \right\}\)
    B. \(\left\{ {\left( {x;y} \right),x + y = 0} \right\}\)
    C. \(\left\{ {\left( {0;y} \right),y \in \mathbb{R}} \right\}\)
    D. \(\left\{ {\left( {x;0} \right),x \in \mathbb{R}} \right\}\)
     
    1. Minh Toán
      Đặt \(z = x + yi;x,y \in \mathbb{R} \Rightarrow {\left( {x + yi} \right)^2} = {\left( {x - yi} \right)^2} \Leftrightarrow xy.i = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0}\\{y = 0}\end{array}} \right.\)
      Suy ra tập hợp các điểm trong mặt phẳng biểu diễn số phức z là \(\left\{ {\left( {x;0} \right),x \in \mathbb{R}} \right\} \cup \left\{ {\left( {0;y} \right),y \in \mathbb{R}} \right\}.\)
       
      Minh Toán, 9/12/17
  5. tuan16

    tuan16 Mới đăng kí

    Tham gia ngày:
    2/12/17
    Bài viết:
    1
    Đã được thích:
    0
    Điểm thành tích:
    0
    Giới tính:
    Nam
    Gọi A là điểm biểu diễn của số phức \(z = 3 + 2i\) và điểm B là điểm biểu diễn số phức \(z' = 2 + 3i.\)Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:
    A. Hai điểm A và B đối xứng với nhau qua gốc tọa độ O.
    B. Hai điểm A và B đối xứng với nhau qua trục tung.
    C. Hai điểm A và B đối xứng nhau qua trục hoành
    D. Hai điểm A và B đối xứng nhau qua đường thẳng \(y = x\)
     
    1. Minh Toán
      Ta có \(A\left( {3;2} \right)\) và \(B\left( {2;3} \right)\), ta có tọa độ hai điểm trên hình như sau:
      [​IMG]
      Dựa vào đồ thị ta thấy A và B đối xứng nhau qua đường thẳng y=x.
       
      Minh Toán, 9/12/17
  6. tuanken2810

    tuanken2810 Mới đăng kí

    Tham gia ngày:
    18/7/16
    Bài viết:
    1
    Đã được thích:
    0
    Điểm thành tích:
    0
    Giới tính:
    Nữ
    Xác định tập hợp các điểm biểu diễn số phức z trên mặt phẳng phức sao cho \(\frac{1}{{z - i}}\) là số thuần ảo.
    A. Trục tung, bỏ điểm \(\left( {0;1} \right)\)
    B. Trục hoành, bỏ điểm \(\left( { - 1;0} \right)\)
    C. Đường thẳng \(y = 1\), bỏ điểm \(\left( {0;1} \right)\)
    D. Đường thẳng \(x = - 1\), bỏ điểm \(\left( { - 1;0} \right)\)
     
    1. Minh Toán
      Vì bài toán liên quan đến biểu diễn số phức nên ta sẽ đặt \(z = x + iy\,\left( {x,y \in \mathbb{R}} \right)\)
      Khi đó \(\frac{1}{{z - i}} = \frac{1}{{x + i\left( {y - 1} \right)}} = \frac{{x - i\left( {y - 1} \right)}}{{{x^2} + {{\left( {y - 1} \right)}^2}}}\)
      \( = \frac{x}{{{x^2} + {{\left( {y - 1} \right)}^2}}} - \frac{{y - 1}}{{{x^2} + {{\left( {y - 1} \right)}^2}}}i\)
      Khi đó để \(\frac{1}{{z - i}}\) là số thuần ảo thì: \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{x}{{{x^2} + {{\left( {y - 1} \right)}^2}}} = 0\\\frac{{y - 1}}{{{x^2} + {{\left( {y - 1} \right)}^2}}} \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y \ne 1\end{array} \right.\)
      Vậy A là phương án đúng.
       
      Minh Toán, 9/12/17
  7. Thạch24

    Thạch24 Mới đăng kí

    Tham gia ngày:
    24/11/17
    Bài viết:
    17
    Đã được thích:
    0
    Điểm thành tích:
    0
    Giới tính:
    Nam
    Tìm số phức z có mô đun nhỏ nhất thỏa điều kiện \(\left( {z - 2} \right)\left( {\overline z + 2i - 1} \right)\) là số thực.
    A. \(z = \frac{8}{5} + \frac{4}{5}i.\)
    B. \(z = 1 + 2i.\)
    C. \(z = \frac{8}{5} - \frac{4}{5}i.\)
    D. \(z = 1 - 2i.\)
     
    1. Minh Toán
      Gọi \(z = x + yi.\)
      \(\begin{array}{l}\left( {z - 2} \right)\left( {\overline z + 2i - 1} \right) = \left( {x + yi - 2} \right)\left( {x - yi + 2i - 1} \right)\\ & & \,\,\,\,\,\, = \left( {x - 2} \right)\left( {x - 1} \right) - y\left( {2 - y} \right) + \left[ {\left( {x - 2} \right)\left( {2 - y} \right) + \left( {x - 1} \right)y} \right]i\end{array}\)
      \(\left( {z - 2} \right)\left( {\overline z + 2i - 1} \right)\) là số thực \( \Leftrightarrow \left( {x - 2} \right)\left( {2 - y} \right) + \left( {x - 1} \right)y = 0 \Leftrightarrow 2{\rm{x}} + y - 4 = 0 \Leftrightarrow y = 4 - 2{\rm{x}}\)
       
      Minh Toán, 9/12/17
    2. Minh Toán
      Khi đó: \(\left| z \right| = \sqrt {{x^2} + {y^2}} = \sqrt {{x^2} + {{\left( {4 - 2{\rm{x}}} \right)}^2}} = \sqrt {5{{\rm{x}}^2} - 16{\rm{x}} + 16} = \sqrt {5{{\left( {x - \frac{8}{5}} \right)}^2} + \frac{{16}}{5}} \ge \frac{{4\sqrt 5 }}{5}.\)
      \({\left| z \right|_{\min }} = \frac{{4\sqrt 5 }}{5} \Leftrightarrow x = \frac{8}{5} \Rightarrow y = \frac{4}{5} \Rightarrow z = \frac{8}{5} + \frac{4}{5}i.\)
       
      Minh Toán, 9/12/17
  8. thackhoitramhuong

    thackhoitramhuong Mới đăng kí

    Tham gia ngày:
    1/11/17
    Bài viết:
    22
    Đã được thích:
    0
    Điểm thành tích:
    0
    Giới tính:
    Nữ
    Cho số phức z có môđun \(\left| z \right| = 1\,\). Giá trị lớn nhất của biểu thức \(P = \left| {1 + z} \right| + 3\left| {1 - z} \right|\) là
    A. \(3\sqrt {10} \,\)
    B. \(2\sqrt {10} \)
    C. 6
    D. \(4\sqrt 2 \)
     
    1. Minh Toán
      Đặt \(z = x + yi\) ta có: \({x^2} + {y^2} = 1\)
      Khi đó \(P = \sqrt {{{\left( {x + 1} \right)}^2} + {y^2}} + 3\sqrt {{{\left( {x - 1} \right)}^2} + {y^2}} = \sqrt {{x^2} + {y^2} + 2x + 1} + 3\sqrt {{x^2} + {y^2} - 2x + 1} \)
      \( = \sqrt {2x + 2} + 3\sqrt {2 - 2x} \)
      Xét \(f\left( x \right) = \sqrt {2x + 2} + 3\sqrt {2 - 2x} \,\,\,\left( {x \in \left[ { - 1;1} \right]} \right)\)có \(f'\left( x \right) = \frac{1}{{\sqrt {2x + 2} }} - \frac{3}{{\sqrt {2 - 2x} }} = 0 \Leftrightarrow x = \frac{{ - 4}}{5}\)
      Khi đó \({P_{\max }} = f\left( { - \frac{4}{5}} \right) = 2\sqrt {10} .\)
       
      Minh Toán, 9/12/17
  9. khaminh1002

    khaminh1002 Mới đăng kí

    Tham gia ngày:
    14/10/17
    Bài viết:
    11
    Đã được thích:
    0
    Điểm thành tích:
    0
    Giới tính:
    Nữ
    Cho số phức z thỏa mãn z không phải là số thực và \({\rm{w}} = \frac{z}{{2 + {z^2}}}\) là số thực. Giá trị lớn nhất của biểu thức \(M = \left| {z + 1 - i} \right|\) là:
    A. 2
    B. \(2\sqrt 2 .\)
    C. \(\sqrt 2 .\)
    D. 8
     
    1. Minh Toán
      Ta có w là số thực nên \(\frac{1}{{\rm{w}}} = z + \frac{2}{z}\) là số thực.
      Đặt \(z = a + bi\,(a;b \in \mathbb{R})\)
      Mà z không phải là số thực nên \(b \ne 0.\)
      \( \Rightarrow \frac{1}{{\rm{w}}} = a + bi + \frac{{2\left( {a - bi} \right)}}{{{a^2} + {b^2}}}\) là số thực khi \(b - \frac{{2b}}{{{a^2} + {b^2}}} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}b = 0\,\,(loai)\\{a^2} + {b^2} = 2 \Rightarrow \left| z \right| = \sqrt 2 \end{array} \right.\)
      Tập hợp các điểm A(x,y) điểm biểu diễn z là đường tròn \(O\left( {0;0} \right);R = \sqrt 2 .\)
      Ta có: \(M = \left| {z + 1 - i} \right| = \left| {(x + 1) + (y - 1)i} \right| = \sqrt {{{(x + 1)}^2} + {{(y - 1)}^2}} = AB\) với B(-1;1).
      [​IMG]
      M đạt giá trị lớn nhất khi đoạn thẳng AB đạt giá trị lớn nhất.
      Ta thấy: \(\left\{ \begin{array}{l}A(x;y) \in \left( C \right)\\B( - 1;1) \in \left( C \right)\end{array} \right.\) nên \(A{B_{\max }} = 2R = 2\sqrt 2 .\)
      Vậy \({M_{\max }} = 2\sqrt 2 .\)
       
      Minh Toán, 9/12/17
  10. toan2kbv

    toan2kbv Mới đăng kí

    Tham gia ngày:
    29/10/17
    Bài viết:
    19
    Đã được thích:
    0
    Điểm thành tích:
    0
    Giới tính:
    Nam
    Cho số phức z thỏa mãn \(\left| {z - i} \right| = \sqrt 2 \). Tìm giá trị lớn nhất của \(M = \left| {z - 1} \right| + \left| {z + 1 - 2i} \right|.\)
    A. 6
    B. 4
    C. \(8\sqrt 2 \)
    D. \(4\sqrt 2 \)
     
    1. Minh Toán
      Đặt \(z = x + yi\left( {x,y \in R} \right)\), khi đó \(\left| {z - i} \right| = \sqrt 2 \Leftrightarrow {x^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 2 \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} = 2y + 1\)
      Ta có \(M = \left| {z - 1} \right| + \left| {z + 1 - 2i} \right| = \sqrt {{{\left( {x + 1} \right)}^2} + {y^2}} + \sqrt {{{\left( {x + 1} \right)}^2} + {{\left( {y - 2} \right)}^2}} \)
      \( = \sqrt {{x^2} + {y^2} - 2x + 1} + \sqrt {{x^2} + {y^2} + 2x - 4y + 5} = \sqrt {2 + 2y - 2x} + \sqrt {6 + 2x - 2y} \)
      Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta có:
      \({\left( {\sqrt {2 + 2y - 2x} + \sqrt {6 + 2x - 2y} } \right)^2} \le \left( {{1^2} + {1^2}} \right)\left( {2 + 2y - 2x + 6 + 2x - 2y} \right) = 16\)
      Do đó \(M = \sqrt {2 + 2y - 2x} + \sqrt {6 + 2x - 2y} \le \sqrt {16} = 4 \Rightarrow {M_{\max }} = 4.\)
       
      Minh Toán, 9/12/17
  11. Bắc

    Bắc Mới đăng kí

    Tham gia ngày:
    21/6/17
    Bài viết:
    10
    Đã được thích:
    1
    Điểm thành tích:
    0
    Giới tính:
    Nữ
    Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện \(\left| {z - 2 - 4i} \right| = \left| {z - 2i} \right|\). Tìm số phức z có mô đun bé nhất.
    A. z = 2 + 2i
    B. z = 2 + i
    C. z = 1 + 3i
    D. z = 3 + i
     
    1. Minh Toán
      Đặt \(z = a + bi;\,\,a,b \in \mathbb{R}.\) Ta có:
      \(\left| {a - 2 + \left( {b - 4} \right)i} \right| = \left| {a + \left( {b - 2} \right)i} \right| \Leftrightarrow {\left( {a - 2} \right)^2} + {\left( {b - 4} \right)^2} = {a^2} + {\left( {b - 2} \right)^2} \Leftrightarrow a + b = 4 \Leftrightarrow b = - {\rm{a}} + 4\)
      Ta có: \(\left| z \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} = \sqrt {{a^2} + {{\left( { - a + 4} \right)}^2}} = \sqrt {2{{\rm{a}}^2} - 8{\rm{a}} + 16} = \sqrt {2{{\left( {a - 2} \right)}^2} + 8} \ge 2\sqrt 2 \Leftrightarrow \left| z \right| \ge 2\sqrt 2 .\)
      Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \(a - 2 = 0 \Leftrightarrow a = 2 \Rightarrow b = 2 \Rightarrow z = 2 + 2i.\)
       
      Minh Toán, 9/12/17
  12. Vân Anh2k

    Vân Anh2k Mới đăng kí

    Tham gia ngày:
    6/10/17
    Bài viết:
    37
    Đã được thích:
    0
    Điểm thành tích:
    0
    Giới tính:
    Nữ
    Cho số phức z có môđun là 3, biết tập hợp các điểm biểu diễn số phức \({\rm{w}} = 3 - 2i + \left( {2 - i} \right)z\) là một đường tròn thì có bán kính bao nhiêu?
    A. \(R = 3\sqrt 2 \)
    B. \(R = 3\sqrt 5 \)
    C. \(R = 3\sqrt 3 \)
    D. \(R = 3\sqrt 7 \)
     
    1. Minh Toán
      \({\rm{w}} = x + yi \Rightarrow x + yi = 3 - 2i + \left( {2 - i} \right)z \Leftrightarrow \frac{{x + yi - 3 + 2i}}{{2 - i}} = z\)
      \( \Rightarrow \frac{{2x + 2yi - 6 + 4i + xi - y - 3i - 2}}{5} = z \Leftrightarrow \frac{{i\left( {x + 2y + 1} \right) + 2x - y - 8}}{5} = z\)
      \( \Rightarrow {\left( {x + 2y + 1} \right)^2} + {\left( {2x - y - 8} \right)^2} = 25.9 = 5{x^2} + 5{y^2} - 30x + 20y + 65\)
      \(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 5.9 = {x^2} + {y^2} - 6x + 4y + 13 = {\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2}\\ \Rightarrow R = 3\sqrt 5 .\end{array}\)
       
      Minh Toán, 9/12/17
  13. thancuc1

    thancuc1 Mới đăng kí

    Tham gia ngày:
    13/7/17
    Bài viết:
    2
    Đã được thích:
    0
    Điểm thành tích:
    0
    Giới tính:
    Nam
    Cho các số phức z thoả mãn |z-i|=2. Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn các số phức w=(2+i)z là một đường tròn. Tìm toạ độ tâm I của đường tròn đó.
    A. I(1;-2)
    B. I(1;1)
    C. I(0;1)
    D. I(-1;2)
     
    1. Minh Toán
      Đặt \({\rm{w}} = x + iy\,\,\,(x,y\, \in \mathbb{R}).\)
      \(\begin{array}{l}{\rm{w}} = (2 + i)z \Leftrightarrow x + iy = (2 + i)z\\ \Leftrightarrow z = \frac{{x + iy}}{{2 + i}} = \frac{{(x + iy)(2 - i)}}{{(2 + i)(2 - i)}}.\\ \Leftrightarrow z = \frac{{2x + y + ( - x + 2y)i}}{5}\\ \Leftrightarrow z = \frac{{2x + y}}{5} + \frac{{ - x + 2y}}{5}i.\end{array}\)
      \(\begin{array}{l}|z - i| = 2 \Leftrightarrow \left| {\frac{{2x + y}}{5} + \frac{{ - x + 2y}}{5}i - i} \right| = 2\\ \Leftrightarrow \left| {\frac{{2x + y}}{5} + \frac{{ - x + 2y - 5}}{5}i} \right| = 2\\ \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {\frac{{2x + y}}{5}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{ - x + 2y - 5}}{5}} \right)}^2}} = 2\\ \Leftrightarrow 4{x^2} + {y^2} + 4xy + {x^2} + 4{y^2} + 25 - 4xy + 10x - 20y = 100\\ \Leftrightarrow {(x + 1)^2} + {(y - 2)^2} = 20.\end{array}\)
      Vậy tập hợp điểm biểu diễn các số phức w là một đường tròn tâm I(-1;2)
       
      Minh Toán, 9/12/17

Chia sẻ trang này