Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, \(\widehat {ABC} = 120^\circ ,\) tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC. A. \(R = \frac{{\sqrt {41} }}{6}a\) B. \(R = \frac{{\sqrt {37} }}{6}a\) C. \(R = \frac{{\sqrt {39} }}{6}a\) D. \(R = \frac{{\sqrt {35} }}{6}a\)
Gọi H là trung điểm của AB ta có: SH \(\perp\) AB. Lại có (SAB) \(\perp\) (ABCD) ⇒ SH \(\perp\)(ABCD) Ta có: \(\widehat {ABC} = 60^\circ\) nên tam giác ABD đều suy ra DA = DB = DC = a suy ra D là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Trục đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC cắt đường thẳng Dt (Dt // SH) tại I khi đó I là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABC. Ta có \(DH = \frac{{a\sqrt 3 }}{2} = IG;\;SG = \frac{2}{3}SH = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\) Do đó \({R_C} = \sqrt {I{G^2} + S{G^2}} = \frac{{a\sqrt {39} }}{6}.\)
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, BC=2a. SA vuông góc với mặt đáy và \(SA = 2a\sqrt 2 .\) Tính thể tích V của khối cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho. A. \(V = 4\pi {a^3}\sqrt 3\) B. \(V = \frac{{2\pi {a^3}\sqrt 3 }}{3}\) C. \(V = \frac{{4\pi {a^3}\sqrt 3 }}{3}\) D. \(V = \pi {a^3}\sqrt 3\)
Gọi M là trung điểm của BC ta có M là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Gọi P là trung điểm của SB. Gọi (Q) là mặt phẳng trung trực của SB. Gọi I là giao điểm của trục đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và (Q). Ta có I chính là tâm mặt cầu ngoài tiếp khối chóp S.ABC. Gọi N là trung điểm của AB. Ta có: PN // IM (Cùng vuông góc mặt phẳng (ABC)). Suy ra I, M, N, P đồng phẳng.
Mặc khác: \(\left\{ \begin{array}{l} CA \bot SA\\ CA \bot AB \end{array} \right. \Rightarrow CA \bot (SAB) \Rightarrow NM \bot (SAB) \Rightarrow NM \bot SB.\) Ta có \(PI \subset (Q)\) mà (Q) là mặt phẳng trung trục của SB nên \(SB \bot PI.\) Suy ra: NM // PI ( hai đường thẳng đồng phẳng và cùng vuông góc SB) Mà \(IM \bot (ABC) \Rightarrow IM \bot MN\) nên PIMN là hình chữ nhật. Suy ra \(IM = PN = \frac{1}{2}SA = a\sqrt 2 .\) Ta có: \(BM = \frac{1}{2}BC = a.\) Xét tam giác MBI vuông tại I ta có: \(IB = \sqrt {{a^2} + 2{a^2}} = \sqrt 3 a.\) Vậy thể tích khối cầu là: \(V = \frac{4}{3}\pi {r^3} = 4\pi \sqrt 3 {a^3}.\)
Cho khối chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại A, AB=a, AC=2a. Biết \(\widehat {SBA} = \widehat {SCA} = {90^0}\) và khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC bằng \(\frac{{2a}}{3}.\) Tính diện tích S của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC. A. \(S = 6\pi {a^2}.\) B. \(S = 4\pi {a^2}.\) C. \(S = 9\pi {a^2}.\) D. \(S = 8\pi {a^2}.\)
Gọi I là trung điểm của SA, H là trung điểm của BC Do \(\widehat {SBA} = {90^0} \Rightarrow IS = IA = IB\) và \(\widehat {SCA} = {90^0} \Rightarrow IA = IS = IC\) \( \Rightarrow IA = IB = IC = IS \Rightarrow I\) là tâm đường tròn ngoại tiếp Gọi M là trung điểm của \(AB \Rightarrow MH//AC,MI//SB\) Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}AB \bot MH\\AB \bot MI\end{array} \right. \Rightarrow AB \bot (MIH) \Rightarrow AB \bot IH(1)\) Mà IB=IC và H là trung điểm của \(BC \Rightarrow IH \bot BC(2)\) Từ (1),(2) suy ra \(IH \bot (ABC)\)
Dựng hình bình hành \(ABCD \Rightarrow AD//BC\) \( \Rightarrow d\left( {SA,BC} \right) = d\left( {BC,(SAD)} \right) = d\left( {H,(SAD)} \right)\) Kẻ \(HE \bot AD,HF \bot IE\) ta có \(\left\{ \begin{array}{l}AD \bot HE\\AD \bot IH\end{array} \right. \Rightarrow AD \bot (IHE)\) \( \Rightarrow AD \bot HF\) mà \(HF \bot IE \Rightarrow HF \bot (SAD) \Rightarrow HF = d\left( {H,(SAD)} \right) = \frac{{2a}}{3}\) Ta có \(\frac{1}{{H{F^2}}} = \frac{1}{{H{I^2}}} + \frac{1}{{H{E^2}}} \Rightarrow \frac{1}{{H{I^2}}} = \frac{1}{{H{F^2}}} - \frac{1}{{H{E^2}}} = \frac{1}{{{a^2}}} \Rightarrow HI = a\) Ta có \(BC = \sqrt {A{B^2} + A{C^2}} = a\sqrt 5 \Rightarrow HB = \frac{1}{2}BC = \frac{{a\sqrt 5 }}{2} \Rightarrow R = IB = \sqrt {I{H^2} + H{B^2}} = \frac{{3a}}{2}\) Diện tích của mặt cầu ngoại tiếp là \(S = 4\pi {R^2} = 4\pi {\left( {\frac{{3a}}{2}} \right)^2} = 9\pi {a^2}.\)
Tính thể tích của khối cầu ngoại tiếp một khối lập phương có cạnh bằng a. A. \(V = \frac{{\pi {a^3}\sqrt 3 }}{2}.\) B. \(V = \frac{{\pi {a^3}\sqrt 3 }}{3}.\) C. \(V = \frac{{\pi {a^3}8\sqrt 2 }}{3}.\) D. \(V = \frac{{\pi {a^3}}}{3}.\)
\(R = IC = \frac{{A'C}}{2} = \frac{{\sqrt {A{C^2} + AA'} }}{2} = \frac{{\sqrt {A{B^2} + B{C^2} + AA{'^2}} }}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}.\) Vậy \(V = \frac{4}{3}\pi .{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)^3} = \frac{{\pi {a^3}\sqrt 3 }}{2}\left( {dvtt} \right).\)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh bằng a, SA vuông góc với đáy, \(SA = a\sqrt 2\). Tính thể tích V của khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD. A. \(V = \frac{{ }}{3}\pi {a^3}\). B. \(V = \frac{{4}}{3}\pi {a^3}\). C. \(V =4\pi {a^3}\). D. \(V = \frac{{4\sqrt 2 }}{3}\pi {a^3}\).
Dễ thấy SAC, SAC, SDC là các tam giác vuông nhận SC làm cạnh huyền, nên tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABCD là trung điểm của SC. Bán kính khối cầu ngoại tiếp hình chóp SABCD là: \(R = \frac{{SC}}{2} = \frac{{\sqrt {S{A^2} + A{C^2}} }}{2} = a.\) Thể tích khối cầu \(V = \frac{4}{3}\pi {R^3} = \frac{4}{3}\pi {a^3}\).
Cho hình chóp tam giác đều có cạnh đáy bằng a và góc giữa mặt bên và cạnh đáy là 600. Hỏi diện tích S của mặt cầu (S) có tâm O và tiếp xúc với các cạnh bên bằng bao nhiêu? (O là tâm mặt đáy). A. \(S = \frac{{2\pi {a^2}}}{3}\) B. \(S = \frac{{\pi {a^2}\sqrt 3 }}{2}\) C. \(S = \frac{{\pi {a^2}\sqrt 2 }}{3}\) D. \(S = \pi {a^2}\)
Ta có \(\widehat {SAO} = {60^0}\) (Góc giữa cạnh bên SA và đáy (ABC)) \(\Rightarrow SO = AO.\tan SAO = \frac{2}{3}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2}.\tan {60^0} = a\) \(\Rightarrow \frac{1}{{O{H^2}}} = \frac{1}{{S{O^2}}} = \frac{1}{{O{A^2}}} = \frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{3}} \right)}^2}}} = \frac{4}{{{a^2}}}\) Bán kính mặt cầu (S) là \(R = OH = \frac{a}{2}.\) Vậy diện tích mặt cầu (S) là: \({S_C} = 4\pi {R^2} = 4\pi {\left( {\frac{a}{2}} \right)^2} = \pi {a^2}.\)
Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, cạnh \(SA = \frac{{2a\sqrt 3 }}{3}.\) Gọi D là điểm đối xứng của B qua C. Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC. A. \(R = \frac{{a\sqrt {39} }}{7}.\) B. \(R = \frac{{a\sqrt {35} }}{7}.\) C. \(R = \frac{{a\sqrt {37} }}{6}.\) D. \(R = \frac{{a\sqrt {29} }}{6}.\)
Gọi G là trọng tâm tam giác ABC thì \(SG \bot \left( {ABC} \right).\) Do CB=CA=CD nên C là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD. Qua C kẻ đường thẳng d song song SG thì d là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD. Gọi \(I \in d\) là tâm mặt cầu cần tìm, đặt: \(IC = x \Rightarrow SK = \left| {SG - x} \right|.\) Kẻ \(IK \bot SG\) \(\Rightarrow IK = CG = AG = \frac{2}{3}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{3},{\rm{ }}SG = \sqrt {S{A^2} - A{G^2}} = a.\) Ta có \(IS = ID \Leftrightarrow I{K^2} + S{K^2} = I{C^2} + C{D^2} \Leftrightarrow \frac{{{a^2}}}{3} + {\left( {a - x} \right)^2} = {x^2} + {a^2} \Rightarrow x = \frac{a}{6}.\) Vậy tâm mặt cầu I được xác định, bán kính mặt cầu là \(R = \sqrt {{x^2} + {a^2}} = \frac{{a\sqrt {37} }}{6}.\)
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, \(BC=2a\) . SA vuông góc (ABC) và \(SA = 2a\sqrt 2\). Tính thể tích V của khối cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho. A. \(V = 4\pi {a^3}\sqrt 3\) B. \(V = \frac{{2\pi {a^3}\sqrt 3 }}{3}\) C. \(V=\frac{{4\pi {a^3}\sqrt 3 }}{3}\) D. \(V=\pi {a^3}\sqrt 3\)
Ta có: \(AB = AC = \frac{{BC}}{{\sqrt 2 }} = a\sqrt 2 ;AM = \frac{{BC}}{2} = a\) Gọi M là trung điểm của BC, dựng đường thẳng qua M song song với SA và cắt mặt phẳng trung trực của SA tại O Khi đó O là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối cầu ngoại tiếp hình chóp. Ta có: \(R = OA = \sqrt {O{M^2} + M{A^2}} = \sqrt {{{\left( {a\sqrt 2 } \right)}^2} + {a^2}} = a\sqrt 3\) \(\Rightarrow V = \frac{4}{3}\pi {R^3} = 4\pi {a^3}\sqrt 3 .\)
Gọi \(V_1\) là thể tích giữa khối lập phương và \(V_2\) là thể tích khối cầu ngoại tiếp khối lập phương đó. Tính tỉ số \(\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}}.\) A. \(\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \frac{{3\pi }}{{2\sqrt 3 }}.\) B. \(\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \frac{{\pi \sqrt 2 }}{3}.\) C. \(\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \frac{3}{{\pi \sqrt 2 }}.\) D. \(\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \frac{{2\sqrt 3 }}{{3\pi }}.\)
Không mất tính tổng quát gọi độ dài cạnh của khối lập phương bằng 1, khi đó bán kính khối cầu ngoại tiếp khối lập phương là \(R = \frac{{\sqrt {{1^2} + {1^2} + {1^2}} }}{2} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}.\) Suy ra \({V_1} = 1;{\rm{ }}{V_2} = \frac{4}{3}\pi {\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)^3} = \frac{{\pi \sqrt 3 }}{2} \Rightarrow \frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \frac{{2\sqrt 3 }}{{3\pi }}.\)
Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có \(AB = a;AD = 2a\) và \(AA' = 3a.\) Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ACB’D’. A. \(R = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\) B. \(R = \frac{{a\sqrt {14} }}{2}\) C. \(R = \frac{{a\sqrt 6 }}{2}\) D. \(R = \frac{{a\sqrt 3 }}{4}\)
Nhận xét: Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ACB’D’ chính là mặt cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’. Ta có: \(AC' = \sqrt {A{C^2} + AA{'^2}} = \sqrt {A{C^2} + C{B^2} + AA{'^2}}\) \(= \sqrt {a + {{\left( {2a} \right)}^2} + \left( {3{a^2}} \right)} = a\sqrt {14} .\) Suy ra: \(R = OC' = \frac{{a\sqrt {14} }}{2}.\)
Một quả bóng bàn và một chiếc chén hình trụ có cùng chiều cao. Người ta đặt quả bóng lên chiếc chén thấy phần ở ngoài của quả bóng có chiều cao bằng \(\frac{3}{4}\) chiều cao của nó. Gọi V1, V2 lần lượt là thể tích của quả bóng và chiếc chén. Khẳng định nào sau đây là đúng? A. \(9V_1=8V_2\) B. \(3V_1=2V_2\) C. \(16V_1=9V_2\) D. \(27V_1=8V_2\)
Gọi chiều cao của chiếc chén hình trụ là 2h và bán kính đường tròn đáy của hình trụ là r. Gọi O là tâm của quả bóng bàn, khi đó khoảng cách từ O đến mặt phẳng thiết diện bằng \(\frac{h}{2}\) Bán kính đường tròn đáy hình trụ là \(AI = \sqrt {O{A^2} - O{I^2}} = \frac{{h\sqrt 3 }}{2}.\) Thể tích của quả bóng bàn là \({V_1} = \frac{4}{3}\pi {R^3} = \frac{4}{3}\pi {h^3} = \frac{{4\pi {h^3}}}{3}.\) Thể tích của chiếc chén là: \({V_2} = \pi {r^2}{h_c} = \pi {\left( {\frac{{h\sqrt 3 }}{2}} \right)^2}.2h = \frac{{3\pi {h^3}}}{2}.\) Vậy tỉ số \({V_1}:{V_2} = \frac{{4\pi {h^3}}}{3}:\frac{{3\pi {h^3}}}{2} = \frac{4}{3}.\frac{2}{3} = \frac{8}{9} \Rightarrow 9{V_1} = 8{V_2}.\)
Một bình đựng nước dạng hình nón (không có đáy), đựng đầy nước. Người ta thả vào đó một khối cầu có đường kính bằng chiều cao của bình nước và đo được thể tích nước tràn ra ngoài là \(18\pi (dm^3)\) . Biết rằng khối cầu tiếp xúc với tất cả các đường sinh của hình nón và đúng một nửa của khối cầu chìm trong nước (hình bên). Tính thể tích V của nước còn lại trong bình. A. \(V = 6\pi \left( {d{m^3}} \right)\) B. \(V = 12\pi \left( {d{m^3}} \right)\) C. \(V = 54\pi \left( {d{m^3}} \right)\) D. \(V = 24\pi \left( {d{m^3}} \right)\)
Xét mặt cắt và các điểm như hình vẽ. Đường kính khối cầu bằng chiều cao bình nước nên \(OS=2OM\) Ta có thể tích nước tràn ra là thể tích của nửa quả cầu chìm trong bình nước: \(18\pi = \frac{{{V_C}}}{2} = \frac{{2\pi O{M^3}}}{3} \Leftrightarrow OM = 3\) Áp dụng \(\frac{1}{{O{M^2}}} = \frac{1}{{O{S^2}}} + \frac{1}{{O{B^2}}} \Rightarrow OB = 12\) Thể tích nước ban đầu là thể tích bình nước hình nón: \({V_n} = \frac{{\pi O{B^2}OS}}{3} = 24\pi\) Thể tích nước còn lại là: \(24\pi - 18\pi = 6\pi\) .
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh bằng a, SA vuông góc với đáy, SA = a\sqrt 2. Tính thể tích V của khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD. A. \(V = \frac{4}{3}\pi {a^3}\) B. \(V = \frac{{ }}{3}\pi {a^3}\) C. \(V = 4\pi {a^3}\) D. \(V = \frac{{4\sqrt 2 }}{3}\pi {a^3}\)
Gọi O là trung điểm của cạnh SC mà \(\Delta SAC\) vuông tại A \(\Rightarrow OS = OC = OA\) Từ \(\left\{ \begin{array}{l} BC \bot AB\\ BC \bot SA \end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow BC \bot SB \Rightarrow OS = OC = OB!\) Từ \(\left\{ \begin{array}{l} CD \bot A{\rm{D}}\\ C{\rm{D}} \bot {\rm{S}}A \end{array} \right. \Rightarrow C{\rm{D}} \bot \left( {SA{\rm{D}}} \right) \Rightarrow C{\rm{D}} \bot {\rm{SD}} \Rightarrow OS = OC = OD\) Do đó \(OS = OA = OB = OC = OD \Rightarrow V = \frac{4}{3}\pi O{S^3}\) Ta có \(SO = \frac{1}{2}SC = \frac{1}{2}\sqrt {S{A^2} + A{C^2}} = \frac{1}{2}\sqrt {S{A^2} + A{B^2} + B{C^2}}\) \(=\frac{1}{2}\sqrt {2{a^2} + {a^2} + {a^2}} = a \Rightarrow V = \frac{4}{3}\pi {a^3}\)
Cho khối cầu ngoại tiếp khối hộp chữ nhật có 3 kích thước lần lượt là a, 2a, 2a. Tính thể tích V của khối cầu. A. \(V = \frac{{9\pi {a^3}}}{2}\) B. \(V = 36\pi {a^3}\) C. \(V = \frac{{9\pi {a^2}}}{2}\) D. \(V = 18\pi {a^3}\)
Bán kính khối cầu là một nửa đường chéo của hình hộp chữ nhật: \(R = a\sqrt {{2^2} + {2^2} + {1^2}} = 3a\) Vậy thể tích khối cầu là: \(V = \frac{4}{3}\pi .27{a^3} = 36\pi {a^3}.\)
Cho hình lập phương có cạnh bằng 1. Tính diện tích S của mặt cầu đi qua các đỉnh của hình lập phương. A. \(S = 6\pi\) B. \(S = 3\pi\) C. \(S = \pi\) D. \(S = 2\pi\)
Ta thấy mặt cầu đi qua các đỉnh của hình lập phương có đường kính là đường chéo của hình lập phương: \(d = 2R = \sqrt {{1^2} + {1^2} + {1^2}} = \sqrt 3 \Rightarrow R = \frac{{\sqrt 3 }}{2}.\) Khi đó diện tích mặt cầu là: \(S = 4\pi {R^2} = 4\pi .{\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)^2} = 3\pi .\)
Cho hình chóp tứ giác đều có góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng 600. Biết rằng mặt cầu ngoại tiếp hình chóp tứ giác đều đó có bán kính \(\frac{{5a\sqrt 3 }}{6}.\) Tính độ dài l của cạnh đáy của hình chóp đó theo a. A. \(l=2a\) B. \(l=a\sqrt2\) C. \(l=a\sqrt3\) D. \(l=a\)
Cho hình chóp tứ giác đều có góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng a. Biết rằng mặt cầu ngoại tiếp hình chóp tứ giác đều đó có bán kính R khi đó độ dài đáy hình chóp xác định bởi công thức \(l = \frac{{4R.\tan \alpha }}{{{{\tan }^2}\alpha + 2}}\) Thay \(\alpha = {60^0};R = \frac{{5a\sqrt 3 }}{6}\) Ta có độ dài đáy hình chóp l=2a.
Cho hình hộp chữ nhật \(ABCD.A'B'C'D'\) có \(AB = a,AD = 2a,AA' = 2a.\) Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện \(ABB'C'.\) A. \(R = 3a\) B. \(R = \frac{3a}{4}\) C. \(R =\frac{ 3a}{2}\) D. \(R = 2a\)
Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện bằng với bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật đã cho và cũng bằng nửa độ dài đường chéo dài nhất của hình hộp. Suy ra: \(R = \frac{1}{2}\sqrt {A{B^2} + A{D^2} + AA{'^2}} = \frac{{3a}}{2}.\)
Cho hình lập phương có cạnh bằng a và tâm O. Tính diện tích S của mặt cầu tâm O tiếp xúc với các mặt của hình lập phương. A. \(S = 4\pi {a^2}\) B. \(S = 2\pi {a^2}\) C. \(S = 8\pi {a^2}\) D. \(S = \pi {a^2}\)
Mặt cầu tâm O tiếp xúc với các mặt của hình lập phương có bán kính \(R = \frac{a}{2}\) nên có diện tích \(S = 4\pi {R^2} = \pi {a^2}.\)
Cho hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với đáy, \(SA = a\sqrt 6\), đáy là hình thang vuông tại A và B.\(AB = BC = \frac{1}{2}AD = a,\) E là trung điểm AD. Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ECD. A. \(R = \frac{{a\sqrt {114} }}{6}\) B. \(R = \frac{{a\sqrt {30} }}{3}\) C. \(R = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\) D. \(R = \frac{{a\sqrt {26} }}{2}\)
Gọi M, N lần lượt là trung điểm của ED và CD Suy ra N là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông CDE. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác SED. Dựng hình chữ nhật MNIO suy ra OI và IN lầ lượt là trục các đường tròn ngoại tiếp tam giác SED và DEC. Vậy I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ECD. Ta có: \(\begin{array}{l} OD = \frac{{SE.ED.SD}}{{4.{S_{SED}}}} = \frac{{a\sqrt 7 .a\sqrt {10} .a}}{{4.\frac{{a\sqrt 6 }}{2}}} = \frac{{a\sqrt {105} }}{6}\\ R = ID = \sqrt {I{O^2} + O{D^2}} = \frac{{a\sqrt {114} }}{6} \end{array}\)
Một khối cầu có thể tích V đi qua đỉnh và đường tròn đáy của một hình nón có thiết diện qua trục là một tam giác đều. Tính tỉ số thể tích của phần khối cầu nằm ngoài khối nón (V1) và thể tích khối nón (V2). A. \(\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \frac{9}{{ }}\) B. \(\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \frac{{23}}{9}\) C. \(\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \frac{{ }}{{23}}\) D. \(\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \frac{{ }}{9}\)
Gọi \(R = OS\) là bán kính khối cầu. đều nên \(SI = \frac{{3R}}{2};IA = \frac{{R\sqrt 3 }}{2}.\) \(\begin{array}{l} {V_2} = {V_{kc}} = \frac{4}{3}\pi {R^3}\\ {V_{kn}} = \frac{3}{8}\pi {R^3}\\ \Rightarrow {V_1} = {V_{kc}} - {V_{kn}} = \frac{{23}}{{24}}\pi .{R^3}. \end{array}\) Suy ra \(\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \frac{{{V_{kc}} - {V_{kn}}}}{{{V_{kn}}}} = \frac{{23}}{9}.\)