Cho hình lăng trụ tam giác đều \(ABC.A'B'C'\) có độ dài cạnh đáy bằng a và chiều cao bằng h. Tính thể tích V của khối trụ ngoại tiếp lăng trụ đã cho. A. \(V = \frac{{\pi {a^2}h}}{9}\) B. \(V = \frac{{\pi {a^2}h}}{3}\) C. \(V =3\pi a^2h\) D. \(V =\pi {a^2}h\)
Bán kính đường tròn ngoại tiếp đáy lăng trụ cũng chính là bán kính đáy khối trụ: \(R = \frac{2}{3}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2} = \frac{a}{{\sqrt 3 }}.\) Do đó: \(V = \pi {R^2}h = \pi \frac{{{a^2}h}}{3}.\)
Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 2AD. Gọi V1 là thể tích khối trụ sinh ra do hình chữ nhật ABCD quay quanh đường thẳng AB và V2 là thể tích khối trụ sinh ra do hình chữ nhật ABCD quay quanh đường thẳng AD. Tính tỉ số \(\frac{V_2}{V_1}\). A. \(\frac{V_2}{V_1}=\frac{1}{4}\) B. \(\frac{V_2}{V_1}=1\) C. \(\frac{V_2}{V_1}=2\) D. \(\frac{V_2}{V_1}=\frac{1}{2}\)
+ Khối trụ sinh ra do hình chữ nhật ABCD quay quanh đường thẳng AB có bán kính đáy AD, chiều cao AB: \({V_1} = AB.\left( {\pi A{D^2}} \right)\) + Khối trụ sinh ra do hình chữ nhật ABCD quay quanh đường thẳng AD có bán kính đáy AB, chiều cao AD: \({V_2} = AD.\left( {\pi A{B^2}} \right)\) \(\frac{{{V_2}}}{{{V_1}}} = \frac{{AD.\left( {\pi A{B^2}} \right)}}{{AB.\left( {\pi A{D^2}} \right)}} = \frac{{AB}}{{AD}} = 2.\)
Cho hình trụ có các đường tròn đáy là (O) và (O’), bán kính đáy bằng chiều cao và bằng a. Các điểm A; B lần lượt thuộc các đường tròn đáy là (O) và (O’) sao cho \(AB = \sqrt 3 a\). Tính thể tích V của khối tứ diện ABOO’. A. \(V = \frac{{{a^3}}}{2}\) B. \(V = \frac{{{a^3}}}{3}\) C. \(V = a^3\) D. \(V = \frac{{{a^3}}}{6}\)
a có tam giác A’AB vuông tại A’ nên \(A'B = \sqrt {A{B^2} - A'{A^2}} = a\sqrt 2\) Tam giác A’O’B có \(A'O{'^2} + O'{B^2} = {a^2} + {a^2} = 2{a^2} = A'{B^2} \Rightarrow\) tam giác A’O’B vuông cân tại O’. Từ đó suy ra \(O'B \bot A'O'.\) Ta có \(O'B \bot A'O';O'B \bot O'O\) nên \(O'B \bot \left( {AOO'A'} \right)\) hay \(O'B \bot \left( {AOO'} \right)\). Nên từ đây ta có O’B là đường cao của khối tứ diện ABOO’. Vậy \({V_{ABOO'}} = \frac{1}{3}.O'B.{S_{AOO'}} = \frac{1}{3}.a.\frac{1}{2}.a.a = \frac{{{a^3}}}{6}.\)
Tính diện tích xung quanh S của hình trụ có bán kính đường tròn đáy bằng chiều cao và bằng 2 cm. A. \(S = \frac{{8\pi }}{3}c{m^2}\) B. \(S = 4\pi \,\ {cm^2}\) C. \(S = 2\pi \, {cm^2}\) D. \(S = 8\pi\,c{m^2}\)
Ta có diện tích xung quanh của hình trụ được tính bằng công thức \(S = 2\pi R.h = 2\pi .2.2 = 8\pi\).
Một cái phễu rỗng phần trên có kích thước như hình vẽ. Tính diện tích xung quanh cái phễu. A. \({S_{xq}} = 360\pi \,\,c{m^2}\) B. \({S_{xq}} = 424\pi \,\,c{m^2}\) C. \({S_{xq}} = 296\pi \,\,c{m^2}\) D. \({S_{xq}} = 960\pi \,\,c{m^2}\)
Thiết diện qua trục của một hình trụ là hình vuông có chu vi là 8a. Tính diện tích xung quanh của hình trụ đó. A. \({S_{xq}} = 2\pi {a^2}\) B. \({S_{xq}} = 4\pi {a^2}\) C. \({S_{xq}} = 8\pi {a^2}\) D. \({S_{xq}} = 4{a^2}\)
Thiết diện qua trục của hình trụ là hình vuông có chu vi Cạnh hình vuông là 2a. + Chiều cao của hình trụ là cạnh của thiết diện qua trục: h=2a. + Bán kính đáy của hình trụ là nửa cạnh của thiết diện qua trục: R=a. \(\Rightarrow {S_{xq}} = 2\pi Rh = 4{a^2}\pi\)
Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng b. Tính diện tích xung quanh S của hình trụ ngoại tiếp hình lăng trụ ABC.A’B’C’. A. \(S = \frac{{2\sqrt 3 \pi ab}}{3}\) B. \(S = \frac{{\sqrt 3 \pi ab}}{3}\) C. \(S = \frac{{\pi {a^2}b}}{3}\) D. \(S = \sqrt 3 \pi ab\)
Lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ \(\Rightarrow AA' \bot \left( {ABC} \right)\)và \(\Delta ABC\) đều. Hình trụ T ngoại tiếp lăng trụ ABC.A’B’C’ có đường cao h = b. Tam giác ABC đều \(\Rightarrow {R_T} = \frac{{AB\sqrt 3 }}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow S = 2\pi {R_T}h = 2\pi .\frac{{a\sqrt 3 }}{2}.b = \pi ab\sqrt 3\)
Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có độ dài đáy bằng 3a và chiều cao bằng h. Tính thể tích V của khối trụ ngoại tiếp lăng trụ đã cho. A. \(\pi {a^2}h\) B. \(3\pi {a^2}h\) C. \(27\pi {a^2}h\) D. \(9\pi {a^2}h\)
Gọi O, O’ lần lượt là tâm của đường tròn ngoại tiếp \(\Delta ABC,\Delta A'B'C'\). Bán kính đường tròn đáy của khối trụ là \(R = OA = a\sqrt 3 \Rightarrow {V_{k.tru}} = \pi .{r^2}h = \pi .{\left( {a\sqrt 3 } \right)^2}.h = 3\pi {a^2}h\)
Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A′B′C′D′ có \(AB=AD=2a, AA' = 3\sqrt 2 a.\) Tính điện tích toàn phần S của hình trụ có hai đáy lần lượt ngoại tiếp hai đáy của hình hộp chữ nhật đã cho. A. \(S=16 \pi a^2\) B. \(S=20 \pi a^2\) C. \(S=7 \pi a^2\) D. \(S=12 \pi a^2\)
Hình trụ có bán kính đáy: \(AI = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2}\sqrt {A{B^2} + A{D^2}} = a\sqrt 2\) Diện tích toàn phần của hình trụ là: \(S = {S_{xq}} + 2.{S_{day}} = 2\pi \sqrt 2 a.3\sqrt 2 a + 2\pi {(\sqrt 2 a)^2} = 16\pi {a^2}.\)
Cho hình trụ có bán kính đáy là R, độ dài đường cao là h. Đường kính MN của đáy dưới vuông góc với đường kính PQ đáy trên. Tính thể tích V của khối tứ diện MNPQ. A. \(V = \frac{2}{3}{R^2}h\) B. \(V = \frac{1}{6}{R^2}h\) C. \(V = \frac{1}{3}{R^2}h\) D. \(V = 2{R^2}h\)
Gọi O và O’ lần lượt là tâm hai đáy của hình trụ, ta có: \(PQ \bot (O'MN).\) Do O’ là trung điểm của PQ nên \(d(Q,(O'MN)) = d(P,(O'MN)) \Rightarrow {V_{Q.O'MN}} = {V_{P.O'MN}}\) Khi đó thể tích tứ diện MNPQ là: \(V = 2{V_{P.O'MN}} = 2.\frac{1}{3}.O'Q.{S_{O'MN}} = \frac{2}{3}{R^2}h.\)
Một cái tục lăn sơn nước có dạng một hình trụ. Đường kính của đường tròn đáy là 5 cm, chiều dài lăn là 23 cm (hình bên). Sau khi lăn trọn 15 vòng thì trục lăn tạo nên sân phẳng một diện diện tích bao nhiêu? A. \(1725\pi \,\,(c{m^2}).\) B. \(3450\pi \,\,(c{m^2}).\) C. \(1752\pi \,\,(c{m^2}).\) D. \(862,5\pi \,\,(c{m^2}).\)
Diện tích xung quanh của mặt trụ là \({S_{xq}} = 2\pi Rl = 2\pi .5.23 = 230\pi \,\,c{m^2}.\) Sau khi lăn 15 vòng thì diện tích phần sơn được là: \(S= 230\pi .15 = 3450\pi \,\,c{m^2}.\)
Trong không gian cho hình chữ nhật ABCD có \(AB = a,AC = a\sqrt 5 \). Tính diện tích xung quanh \({S_{xq}}\) của hình trụ khi quay đường gấp khúc BCDA xung quanh trục AB. A. \({S_{xq}} = 2\pi {a^2}\) B. \({S_{xq}} = 4\pi {a^2}\) C. \({S_{xq}} = 2{a^2}\) D. \({S_{xq}} = 4{a^2}\)
Bán kính hình trụ là: \(AD = BC = \sqrt {A{C^2} - A{B^2}} = \sqrt {{{\left( {a\sqrt 5 } \right)}^2} - {a^2}} = 2a\) Diện tích xung quanh của hình trụ là: \({S_{xq}} = 2\pi .AD.AB = 2\pi .2a.a = 4\pi {a^2}\).
Một hình trụ có bán kính đáy là 4cm và có thiết diện qua trục là một hình vuông. Tính thể tích V của khối trụ đó. A. \(V = 64\pi c{m^3}\) B. \(V = 128\pi c{m^3}\) C. \(V = \pi c{m^3}\) D. \(V = 256\pi c{m^3}\)
Chiều cao của hình trụ là \(h = 2r = 8\left( {cm} \right)\) suy ra \(V = \pi {r^2}h = 128\pi \left( {c{m^3}} \right).\)
Cho hình trụ có hai đáy là hai hình tròn (O) và (O’), bán kính đáy bằng R, chiều cao có độ dài bằng 2R. Một mặt phẳng đi qua trung điểm OO’ và tạo với OO’ một góc \({30^0}\) thì cắt đường tròn đáy theo một dây cung có độ dài m. Tính m theo R. A. \(m = \frac{{4\sqrt 3 R}}{9}\) B. \(m = \frac{{2R}}{3}\) C. \(m = \frac{{2\sqrt 6 R}}{3}\) D. \(m = R\)
Gọi I, J lần lượt là trung điểm của OO’ và AB Ta có: \(\widehat {JIO} = {30^0}\) và \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{I{\rm{O}}' = \sqrt {{R^2} - \frac{{{m^2}}}{4}} }\\{I{\rm{O}}' = R}\end{array}} \right. \Rightarrow \tan {30^0} = \frac{{JO'}}{{I{\rm{O}}'}} \Leftrightarrow \frac{R}{{\sqrt 3 }} = \sqrt {{R^2} - \frac{{{m^2}}}{4}} \Leftrightarrow m = \frac{{2R\sqrt 6 }}{3}\)
Một hình trụ có bán kính đáy R = 5, chiều cao \(h = 2\sqrt 3 \). Lấy hai điểm A, B lần lượt nằm trên hai đường tròn đáy sao cho góc giữa đường thẳng AB và trục của hình trụ bằng 600. Tính khoảng cách giữa đường thẳng AB và trục của hình trụ. A. 3 B. 4 C. \(\frac{{3\sqrt 3 }}{2}.\) D. \(\frac{{5\sqrt 3 }}{3}.\)
Từ hình vẽ kết hợp với giả thiết, ta có \(OA = O'B = R\). Gọi AA' là đường sinh của hình trụ thì O'A = R; AA' = h và \(\widehat {BAA'} = {60^0}\). Vì \({\rm{OO}}'\parallel \left( {ABA'} \right)\) nên \(d\left[ {OO',\left( {AB} \right)} \right] = d\left[ {OO',\left( {ABA'} \right)} \right] = d\left[ {O',\left( {ABA'} \right)} \right]\). Gọi H là trung điểm A'B. \( \Rightarrow \left. \begin{array}{l}O'H \bot A'B\\O'H \bot AA'\end{array} \right\} \Rightarrow O'H \bot \left( {ABA'} \right) \Rightarrow d\left[ {O',\left( {ABA'} \right)} \right] = O'H\) Tam giác ABA' vuông tại A' nên \(BA' = AA'.tan{60^0} = h\sqrt 3 = 6\) Tam giác A'HO' vuông tại H, có \(O'H = \sqrt {O'A{'^2} - A'{H^2}} = 4\).
Cho hình trụ có hai đáy là hình tròn (O) và (O’) . Trên hai đường tròn lấy hai điểm A, B sao cho góc giữa AB và mặt phẳng chứa đường tròn đáy bằng \(45^\circ \)và khoảng cách đến trục OO' bằng \(\frac{{a\sqrt 2 }}{2}\). Biết bán kính đáy bằng a, tính thể tích của khối trụ theo a. A. \(V = \frac{{\pi {a^3}\sqrt 2 }}{6}\) B. \(V = \pi {a^3}\sqrt 2 \) C. \(V = \frac{{\pi {a^3}\sqrt 2 }}{2}\) D. \(V = \frac{{\pi {a^3}\sqrt 2 }}{3}\)
Đặt OO’ = h. Gọi I, E, D lần lượt là trung điểm của BC, BA, OO’. Ta có: \(d\left( {AB;OO'} \right) = ED = IO' = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\) Tam giác ABC vuông tại C có \(\widehat B = 45^\circ \Rightarrow \) vuông cân \( \Rightarrow BC = AC = h\) Ta có: \(CO{'^2} = C{I^2} + IO{'^2} \Leftrightarrow {a^2} = {\left( {\frac{h}{2}} \right)^2} + {\left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{2}} \right)^2} \Leftrightarrow h = a\sqrt 2 \) Thể tích khối trụ là: \(V = \pi {a^2}.a\sqrt 2 = \pi {a^3}\sqrt 2 \)
Cho hình trụ có bán kính đáy bằng a, chu vi của thiết diện qua trục bằng 12a. Thể tích của khối trụ đã cho bằng: A. \(4\pi {a^3}\). B. \(6\pi {a^3}\). C. \(5\pi {a^3}\). D. \(\pi {a^3}\).
Gọi chiều cao của hình trụ là h. Gọi P là chu vi thiết diện ta có: \(P = 2h + 2.(2R) \Rightarrow h = \frac{{P - 4R}}{2} = \frac{{12a - 4a}}{2} = 4a.\) Thể tích của khối trụ là: \(V = \pi {r^2}h = \pi {a^2}.4a = 4\pi {a^3}\).
Người ta xếp 7 viên bi có cùng bán kính r vào một cái lọ hình trụ sao cho tất cả các viên bi đều tiếp xúc với đáy, viên bi nằm chính giữa tiếp xúc với 6 viên bi xung quanh và mỗi viên bi xung quanh đều tiếp xúc với các đường sinh của lọ hình trụ. Khi đó diện tích đáy của cái lọ hình trụ là: A. \(16\pi {r^2}\) B. \(18\pi {r^2}\) C. \(9\pi {r^2}\) D. \(36\pi {r^2}\)
Bán kính đáy của hình trụ là: \(\frac{{3.2r}}{2} = 3r\). Diện tích đáy của cái lọ hình trụ là: diện tích đáy của cái lọ hình trụ là \(S = \pi .{\left( {3r} \right)^2} = 9\pi {r^2
Trong không gian cho đường thẳng d. Tìm tập hợp tất cả các điểm trong không gian cách d một khoảng không đổi R. A. Hình nón có trục là đường thẳng d và bán kính đáy R. B. Mặt trụ có trục là đường thẳng d và bán kính đáy R. C. Khối trụ có trục là đường thẳng d và bán kính đáy R. D. Hình trụ có trục là đường thẳng d và bán kính đáy R.
Tập hợp tất cả các điểm trong không gian cách d một khoảng không đổi R là mặt trụ có trục là đường thẳng d và bán kính đáy R.
Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B. Cạnh \(AC = 2a\sqrt 2 \). Biết AA' = h. Tính thể tích V của khối trụ ngoại tiếp lăng trụ đã cho. A. \(V = \frac{2}{3}\pi {a^2}h.\) B. \(V = \frac{4}{3}\pi {a^2}h.\) C. \(V = \pi {a^2}h.\) D. \(V = 2\pi {a^2}h.\)
Gọi I là trung điểm của AC. Khi đó I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là: \(R = \frac{{AC}}{2} = \frac{{2a\sqrt 2 }}{2} = a\sqrt 2 \) Thể tích của khối trụ ngoại tiếp lăng trụ là: \(V = \pi {R^2}h = \pi {\left( {a\sqrt 2 } \right)^2}h = 2\pi {a^2}h\).