Để viết phương trình tổng quát của đường thẳng $Δ$ ta cần xác định: + Điểm $A({x_0};{y_0}) \in \Delta $. + Một vectơ pháp tuyến $\overrightarrow n \left( {a;b} \right)$ của $Δ.$ Khi đó phương trình tổng quát của $Δ$ là $a\left( {x – {x_0}} \right) + b\left( {y – {y_0}} \right) = 0$. Chú ý: a. Đường thẳng $Δ$ có phương trình tổng quát là: $ax + by + c = 0$, ${a^2} + {b^2} \ne 0$ nhận $\overrightarrow n \left( {a;b} \right)$ làm vectơ pháp tuyến. b. Nếu hai đường thẳng song song với nhau thì VTPT đường thẳng này cũng là VTPT của đường thẳng kia. c. Phương trình đường thẳng $Δ$ qua điểm $M\left( {{x_0};{y_0}} \right)$ có dạng $Δ$: $a\left( {x – {x_0}} \right) + b\left( {y – {y_0}} \right) = 0$ với ${a^2} + {b^2} \ne 0$. Đặc biệt: + Nếu đường thẳng $Δ$ song song với trục $Oy:$ $Δ:$ $x = {x_0}$. + Nếu đường thẳng $Δ$ cắt trục $Oy:$ $Δ:$ $y – {y_0} = k\left( {x – {x_0}} \right)$. d. Phương trình đường thẳng đi qua $A\left( {a;0} \right), B\left( {0;b} \right)$ với $ab \ne 0$ có dạng $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$. Ví dụ 1: Cho tam giác $ABC$ biết $A\left( {2;0} \right), B\left( {0;4} \right), C(1;3)$. Viết phương trình tổng quát của: a. Đường cao $AH$. b. Đường trung trực của đoạn thẳng $BC$. c. Đường thẳng $AB$. d. Đường thẳng qua $C$ và song song với đường thẳng $AB$. a. Vì $AH \bot BC$ nên $\overrightarrow {BC} $ là vectơ pháp tuyến của $AH.$ Ta có $\overrightarrow {BC} \left( {1; – 1} \right)$ suy ra đường cao $AH$ đi qua $A$ và nhận $\overrightarrow {BC} $ là vectơ pháp tuyến có phương trình tổng quát là $1.\left( {x – 2} \right) – 1.\left( {y – 0} \right) = 0$ hay $x – y – 2 = 0$. b. Đường trung trực của đoạn thẳng $BC$ đi qua trung điểm $BC$ và nhận vectơ $\overrightarrow {BC} $ làm vectơ pháp tuyến. Gọi $I$ là trung điểm $BC$ khi đó ${x_I} = \frac{{{x_B} + {x_C}}}{2} = \frac{1}{2}$, ${y_I} = \frac{{{y_B} + {y_C}}}{2} = \frac{7}{2}$ $ \Rightarrow I\left( {\frac{1}{2};\frac{7}{2}} \right)$. Suy ra phương trình tổng quát của đường trung trực $BC$ là: $1.\left( {x – \frac{1}{2}} \right) – 1.\left( {y – \frac{7}{2}} \right) = 0$ hay $x – y + 3 = 0$. c. Phương trình tổng quát của đường thẳng $AB$ có dạng $\frac{x}{2} + \frac{y}{4} = 1$ hay $2x + y – 4 = 0$. d. Giải bằng 2 cách sau: Cách 1: Đường thẳng $AB$ có VTPT là $\overrightarrow n \left( {2;1} \right)$ do đó vì đường thẳng cần tìm song song với đường thẳng $AB$ nên nhận $\overrightarrow n \left( {2;1} \right)$ làm VTPT do đó có phương trình tổng quát là $2.\left( {x – 1} \right) + 1.\left( {y – 3} \right) = 0$ hay $2x + y – 5 = 0$. Cách 2: Đường thẳng $Δ$ song song với đường thẳng $AB$ có dạng $2x + y + c = 0$. Điểm $C$ thuộc $Δ$ suy ra $2.1 + 3 + c = 0$ $ \Rightarrow c = – 5$. Vậy đường thẳng cần tìm có phương trình tổng quát là $2x + y – 5 = 0$. Ví dụ 2: Cho đường thẳng $d:x – 2y + 3 = 0$ và điểm $M\left( { – 1;2} \right)$. Viết phương trình tổng quát của đường thẳng $Δ$ biết: a. $Δ$ đi qua điểm $M$ và có hệ số góc $k = 3$. b. $Δ$ đi qua $M$ và vuông góc với đường thẳng $d$. c. $Δ$ đối xứng với đường thẳng $d$ qua $M$. a. Đường thẳng $Δ$ có hệ số góc $k = 3$ có phương trình dạng $y = 3x + m$. Mặt khác $M \in \Delta $ $ \Rightarrow 2 = 3.\left( { – 1} \right) + m$ $ \Rightarrow m = 5$. Suy ra phương trình tổng quát đường thẳng $Δ$ là $y = 3x + 5$ hay $3x – y + 5 = 0$. b. Ta có $x – 2y + 3 = 0$ $ \Leftrightarrow y = \frac{1}{2}x + \frac{3}{2}$ do đó hệ số góc của đường thẳng $d$ là ${k_d} = \frac{1}{2}$. Vì $\Delta \bot d$ nên hệ số góc của $Δ$ là ${k_\Delta }$ thì ${k_d}.{k_\Delta } = – 1 \Rightarrow {k_\Delta } = – 2$. Do đó $\Delta :y = – 2x + m$, $M \in \Delta $ $ \Rightarrow 2 = – 2.( – 1) + m$ $ \Rightarrow m = – 2$. Suy ra phương trình tổng quát đường thẳng $\Delta $ là $y = – 2x – 2$ hay $2x + y + 2 = 0$. c. Giải bằng 2 cách sau: Cách 1: Ta có $ – 1 – 2.2 + 3 \ne 0$ do đó $M \notin d$ vì vậy đường thẳng $Δ$ đối xứng với đường thẳng $d$ qua $M$ sẽ song song với đường thẳng $d$ suy ra đường thẳng $Δ$ có VTPT là $\overrightarrow n \left( {1; – 2} \right)$. Ta có $A\left( {1;2} \right) \in d$, gọi $A’$ đối xứng với $A$ qua $M$ khi đó $A’ \in \Delta $. Ta có $M$ là trung điểm của $AA’$. $ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_M} = \frac{{{x_A} + {x_{A’}}}}{2}}\\ {{y_M} = \frac{{{y_A} + {y_{A’}}}}{2}} \end{array}} \right.$ ${ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_{A’}} = 2{x_M} – {x_A} = – 3}\\ {{y_{A’}} = 2{y_M} – {y_A} = 2} \end{array}} \right.}$ $ \Rightarrow A’\left( { – 3;2} \right)$. Vậy phương trình tổng quát đường thẳng $Δ$ là $1.\left( {x + 3} \right) – 2\left( {y – 2} \right) = 0$ hay $x – 2y + 7 = 0$. Cách 2: Gọi $A\left( {{x_0};{y_0}} \right)$ là điểm bất kỳ thuộc đường thẳng $d$, $A’\left( {x;y} \right)$ là điểm đối xứng với $A$ qua $M$. Khi đó $M$ là trung điểm của $AA’$, suy ra: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_M} = \frac{{{x_0} + x}}{2}}\\ {{y_M} = \frac{{{y_0} + y}}{2}} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} { – 1 = \frac{{{x_0} + x}}{2}}\\ {2 = \frac{{{y_0} + y}}{2}} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_0} = – 2 – x}\\ {{y_0} = 4 – y} \end{array}} \right.$ Ta có $A \in d$ $ \Rightarrow {x_0} – 2{y_0} + 3 = 0$, suy ra: $\left( { – 2 – x} \right) – 2.\left( {4 – y} \right) + 3 = 0$ $ \Leftrightarrow x – 2y + 7 = 0$. Vậy phương trình tổng quát của $Δ$ đối xứng với đường thẳng $d$ qua $M$ là $x – 2y + 7 = 0$. Ví dụ 3: Biết hai cạnh của một hình bình hành có phương trình $x – y = 0$ và $x + 3y – 8 = 0$, tọa độ một đỉnh của hình bình hành là $\left( { – 2;2} \right)$. Viết phương trình các cạnh còn lại của hình bình hành. Đặt tên hình bình hành là $ABCD$ với $A\left( { – 2;2} \right)$, do tọa độ điểm $A$ không là nghiệm của hai phương trình đường thẳng trên nên ta giả sử $BC: x – y = 0$, $CD:x + 3y – 8 = 0$. Vì $AB\parallel CD$ nên cạnh $AB$ nhận $\overrightarrow {{n_{CD}}} \left( {1;3} \right)$ làm VTPT do đó có phương trình là $1.\left( {x + 2} \right) + 3.\left( {y – 2} \right) = 0$ hay $x + 3y – 4 = 0$. Tương tự cạnh $AD$ nhận $\overrightarrow {{n_{BC}}} \left( {1; – 1} \right)$ làm VTPT do đó có phương trình là $1.\left( {x + 2} \right) – 1.\left( {y – 2} \right) = 0$ hay $x – y + 4 = 0$. Ví dụ 4: Cho điểm $M\left( {1;4} \right)$. Viết phương trình đường thẳng qua $M$ lần lượt cắt hai tia $Ox$, tia $Oy$ tại $A$ và $B$ sao cho tam giác $OAB$ có diện tích nhỏ nhất. Giả sử $A\left( {a;0} \right), B\left( {0;b} \right)$ với $a > 0, b > 0$. Khi đó đường thẳng đi qua $A, B$ có dạng $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$. Do $M \in AB$ nên $\frac{1}{a} + \frac{4}{b} = 1$. Mặt khác ${S_{OAB}} = \frac{1}{2}OA.OB = \frac{1}{2}ab$. Áp dụng BĐT Côsi, ta có: $1 = \frac{1}{a} + \frac{4}{b} \ge 2\sqrt {\frac{4}{{ab}}} $ $ \Rightarrow ab \ge 16 \Rightarrow {S_{OAB}} \ge 8$. Suy ra ${S_{OAB}}$ nhỏ nhất khi $\frac{1}{a} = \frac{4}{b}$ và $\frac{1}{a} + \frac{4}{b} = 1$ do đó $a = 2; b = 8$. Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là $\frac{x}{2} + \frac{y}{8} = 1$ hay $4x + y – 8 = 0$.
