Hãy đăng ký thành viên để có thể dễ dàng hỏi bài, trao đổi, giao lưu và chia sẻ về kiến thức
  1. Thủ thuật: Nếu muốn tìm lời giải một câu vật lý trên Google, bạn hãy gõ: tanggiap + câu hỏi.
    Dismiss Notice

16 dạng bài toán về phương trình đường thẳng

Thảo luận trong 'Bài 3. Lí thuyết cơ sở về đường thẳng' bắt đầu bởi Doremon, 22/1/15.

  1. Doremon

    Doremon Moderator Thành viên BQT

    Tham gia ngày:
    29/9/14
    Bài viết:
    1,299
    Đã được thích:
    210
    Điểm thành tích:
    63
    Giới tính:
    Nam
    Nhiều học sinh than phiền rằng phần phương trình đường thẳng khó học,... Ơ lại nhỉ, nó không khó học thì cần gì phải học đúng chưa :D. Một vấn đề cực quan trọng là năm nào trong đề thi chính thức của BGD cũng có, làm bạn thêm thất vọng phát nữa là năm nay cả 2 đề mình họa đều có :D. Ok, nêu bạn cần đỗ ĐH thì học bài này là hiển nhiên. Mà nó có khó đâu cơ chứ, hãy thử học 16 dạng bài viết phương trình đường thẳng dưới đây mà xem:

    Dạng 1: Viết phương trình đường thẳng (d) qua M(x$_0$ ;y$_0$ ;z$_0$) coự vtcp = (a; b; c) $\overrightarrow u $= (a; b; c).
    Phương pháp: PT tham số của đường thẳng d là: $ (d):\,\left\{ \begin{array}{l}x = {x_o} + at\\y = {y_o} + bt\\ = {z_o} + ct\end{array} \right.\,\,;\,\,t \in R$

    Chú ý: Nếu abc ≠ 0 thì (d) có PT chính tắc là: $\frac{{x - {x_0}}}{a} = \frac{{y - {y_0}}}{b} = \frac{{z - {z_0}}}{c}$

    Chú ý: Đây là bài toán cơ bản. Về nguyên tắc muốn viết PT đường thẳng d cần biết toạ độ 1 điểm thuộc d và toạ độ véc tơ chỉ phương của d.

    Dạng 2: đường thẳng (d) đi qua 2 điểm A, B.
    • Bước 1: Tìm $\overrightarrow {AB} $
    • Bước 2: Viết PT đường thẳng d đi qua điểm A và nhận $\overrightarrow {AB} $ làm véc tơ chỉ phương.
    Dạng 3: Viết PT đường thẳng (d) qua A và song song với đường thẳng Δ
    • B1: Tìm VTCP $\overrightarrow u $ của Δ.
    • B2: Viết phương trình đường thẳng d đi qua A và nhận $\overrightarrow u $ làm VTCP.
    Dạng 4: Cách viết phương trình đường thẳng (d) qua điểm A và phương trình mặt phẳng (α)
    • B1: Tìm VTPT cuỷa ( $\overrightarrow n $.
    • B2: Viết PT đường thẳng d đi qua điểm A và nhận $\overrightarrow n $ làm VTCP.
    Dạng 5: Viết PT đường thẳng (d) đi qua điểm A vaứ vuoõng goực với cả 2 đường thẳng (d$_1$),(d$_2$)
    • B1: Tìm các VTCP $\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} $của d$_1$; d$_2$.
    • B2: Đường thẳng d có VTCP là: $\overrightarrow u = \left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right]$
    • B3: Viết PT đường thẳng d đi qua điểm A và nhận $\overrightarrow u $ làm VTCP.

    Dạng 6: Viết PT của đường thẳng d là giao tuyến của hai mp:
    (P): Ax+By+Cz+D=0
    (Q): A’x+B’y+C’z+D’=0
    Cách 1:
    • B1: Giải hệ $\left\{ \begin{array}{l}Ax + By + Cz + D = 0\\A'x + B'y + C'z + D' = 0\end{array} \right.$ tìm một nghiệm $({x_0};{y_0};{z_0})$ ta được 1 điểm M$({x_0};{y_0};{z_0})$ ∈ d. (Cho 1 trong 3 ẩn 1 giá trị xác định rồi giải hệ với 2 ẩn còn lại tìm 2 ẩn còn lại)
    • B2: Đường thẳng d có VTCP là: $\overrightarrow u = \left( {\left| \begin{array}{l}b{\rm{ }}c\\b'{\rm{ c'}}\end{array} \right|;\left| \begin{array}{l}c{\rm{ a}}\\{\rm{c' a'}}\end{array} \right|;\left| \begin{array}{l}a{\rm{ b}}\\{\rm{a' b'}}\end{array} \right|} \right)$
    • B3: Viết PT đường thẳng d đi qua điểm M$({x_0};{y_0};{z_0})$ và nhận $\overrightarrow u $ làm VTCP.

    Cách 2:
    • B1: Tìm toạ độ 2 điểm A, B∈ d. (Tìm 2 nghiệm của hệ 2PT trên)
    • B2: Viết PT đường thẳng AB.
    Cách 3: Đặt 1 trong 3 ẩn bằng t (chẳng hạn x = t), giải hệ 2 PT với 2 ẩn còn lại theo t rồi suy ra PT tham số của d.

    Dạng 7: Viết PT hình chiếu của đường thẳng d trên mp(P).
    • B1: Viết PTmp(Q) chứa d và vuông góc với mp(P).
    • B2: Hình chiếu cần tìm d’= (P) ∩ (Q)
    (Chú ý: Nếu d $\bot$ (P) thì hình chiếu của d là điểm H= d ∩ (P)

    Dạng 8 : Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm A và cắt hai đường thẳng d$_1$, d$_2$

    Cách 1:
    • B1: Viết PT mặt phẳng (α) đi qua điểm A và chứa đường thẳng d$_1$ .
    • B2: Tìm giao điểm B = (α) ∩ (d$_2$)
    • B3: Đường thẳng cần tìm là đt đi qua 2 điểm A, B.
    Cách 2:
    • B1: Viết PT mặt phẳng (α) đi qua điểm A và chứa đường thẳng d$_1$
    • B2: Viết PT mặt phẳng (β) đi qua điểm A và chứa đường thẳng d$_2$.
    • B3: Đường thẳng cần tìm d’= (α) ∩ (β)
    Dạng 9: Viết PT đường thẳng d song song với d$_1$ và cắt cả hai đường thẳng d$_2$ và d3.
    • B1: Viết PT mp(P) song song với d$_1$ và chứa d$_2$.
    • B2: Viết PT mp(Q) song song với d$_1$ và chứa d3.
    • B3: Đường thẳng cần tìm d = (P) ∩ (Q)
    Dạng 10: Viết PT đường thẳng d đi qua điểm A, vuông góc đường thẳng d$_1$ và cắt đường thẳng d$_2$
    Cách 1:

    • B1: Viết PT mặt phẳng (α) qua điểm A và vuông góc đường thẳng d$_1$ .
    • B2: Tìm giao điểm B = (α) ∩ (d$_2$)
    • B3 : Đường thẳng cần tìm là đường thẳng đi qua 2 điểm A, B.
    Cách 2:
    • B1: Viết PT mp (α) đi qua điểm A và vuông góc với d$_1$.
    • B2: Viết PT mp (β) đi qua điểm A và chứa d$_2$.
    • B3: Đường thẳng cần tìm d = (α) ∩ (β)
    Dạng 11 : Lập đường thẳng d đi qua điểm A , song song mặt phẳng ( α ) và cắt đường thẳng d’
    Cách 1:

    • B1: Viết PT mp(P) đi qua điểm A và song song với mp(α).
    • B2: Viết PT mp(Q) đi qua điểm A và chứa đường thẳng d’.
    • B3: Đường thẳng cần tìm d = (P) ∩ (Q)
    Cách 2:
    • B1: Viết PT mặt phẳng (P) qua điểm A và song song mặt phẳng ( α )
    • B2: Tìm giao điểm B = (P) ∩ d’
    • B3: Đường thẳng cần tìm d đi qua hai điểm A và B.
    Dạng 12: Viết PT đường thẳng d nằm trong mp( P ) và cắt hai đường thẳng d$_1$, d$_2$ cho trước .
    • B1: Tìm giao điểm A = d$_1$ ∩ (P); B = d$_2$ ∩ (P)
    • B2: d là đường thẳng qua hai điểm A và B .
    Dạng 13: Cách viết phương trình đường thẳng d nằm trong mp( P ) và vuông góc đường thẳng d’ cho trước tại giao điểm I của d’ và mp( P ).
    • B1: Tìm giao điểm I = d’∩ ( P ).
    • B2: Tìm VTCP $\overrightarrow u $ của d’ và VTPT $\overrightarrow n $ của (P) và $\overrightarrow v = \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow n } \right]$
    • B3: Viết PT đường thẳng d qua điểm I và có VTCP $\overrightarrow v $
    Dạng 14: Viết PT đường vuông góc chung d của hai đường thẳng chéo nhau d$_1$, d$_2$.
    Cách 1:

    • B1: Tìm các VTCP $\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} $ của d$_1$ và d$_2$ . Khi đó đường thẳng d có VTCP là $\overrightarrow u = \left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right]$
    • B2: Viết PT mp(P) chứa d$_1$ và có VTPT $\overrightarrow {{n_1}} = \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {{u_1}} } \right]$
    • B3: Viết PT mp(Q) chứa d$_2$ và có VTPT $\overrightarrow {{n_2}} = \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {{u_2}} } \right]$
    • B4: Đường thẳng cần tìm d = (P) ∩ (Q). (Lúc này ta chỉ cần tìm thêm 1 điểm M thuộc d).
    Cách 2:
    • B1: Gọi M(x$_0$+at; y$_0$+bt; z$_0$+ct) ∈ d$_1$; N(x$_0$’+a’t’; y$_0$’+b’t’; z$_0$’+c’t’) ∈ d$_2$ là chân các đường vuông góc chung của d$_1$ và d$_2$.
    • B2: Ta có $\left\{ \begin{array}{l}MN \bot {d_1}\\MN \bot {d_2}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {MN} .\overrightarrow {{u_1}} = 0\\\overrightarrow {MN} .\overrightarrow {{u_2}} = 0\end{array} \right. \Rightarrow t,t'$
    • B3: Thay t và t’ tìm được vào toạ độ M, N tìm được M, N. Đường thẳng cần tìm d là đường thẳng đi qua 2 điểm M, N
    (Chú ý : Cách 2 cho ta tìm được ngay độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau)

    Dạng 15: Viết phương trình đường thẳng d vuông góc với mp(P) và cắt cả hai đường thẳng d$_1$ và d$_2$.
    • B1: Viết PT mp(P) chứa d$_1$ và vuông góc với (P).
    • B2: Viết PT mp(Q) chứa d$_2$ và vuông góc với (P).
    • B3: Đường thẳng cần tìm d = (P) ∩ (Q).
    Dạng 16: Lập đường thẳng d đi qua điểm A , cắt và vuông góc với đường thẳng d.
    PP giải: Đây là trường hợp đặc biệt của dạng 10.
    Note: Trên là 16 cách viết phương trình đường thẳng lớp 12 mà các em cần nhớ.

    Bài tập phương trình đường thẳng

    Bài tập 1: [ Trích đề thi tham khảo lần 2 năm 2020]
    Trong không gian Oxyz,cho đường thẳng d: $\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y - 2}}{3} = \frac{{z + 1}}{{ - 1}}.$. Điểm nào dưới đây thuộc d ?
    A. P(1; 2; −1).
    B. M ( −1; −2; 1).
    C. N(2; 3; −1). D.
    Q ( −2; −3; 1).
    Lời giải​
    Thay tọa độ điểm ( P ) vào phương trình đường thẳng d thấy tọa độ thỏa mãn nên đường thẳng d đi qua điểm P(1; 2; −1).
    Chọn đáp án A

    Bài tập 2: [ Trích đề thi tham khảo lần 2 năm 2020] Trong không gian Oxyz,cho điểm M(2; 1; 0) và đường thằng ∆ : $\frac{{x - 3}}{1} = \frac{{y - 1}}{4} = \frac{{z + 1}}{{ - 2}}.$. Mặt phằng đi qua M và vuông góc với ∆ có phương trình là
    A. 3 x + y − z − 7 = 0 .
    B. x + 4 y − 2 z + 6 = 0.
    C. x + 4y − 2z − 6 = 0 .
    D. 3x + y − z + 7 = 0.
    Lời giải​
    Đường thẳng ∆: $\frac{{x - 3}}{1} = \frac{{y - 1}}{4} = \frac{{z + 1}}{{ - 2}}$ nhận vectơ $\overrightarrow u $ = (1; 4; −2) là một vectơ chỉ phương.
    Mặt phẳng đi qua M và vuông góc với ∆ nhận vectơ chỉ phương $\overrightarrow u $ = (1; 4; −2) của ∆ là vectơ pháp tuyến.
    Vậy phương trình mặt phẳng cần tìm 1.( x − 2) + 4.( y − 2) − 2.( z − 0) = 0 ⇔ x + 4 y − 2 z − 6 = 0.
    Chọn đáp án C.

    Bài tập 3: [ Trích đề thi tham khảo lần 2 năm 2020] Trong không gian Oxyz, cho hai điểm M(1; 0; 1) và N(3; 2; −1). Hãy viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm MN dưới dạng tham số
    A. $\left\{ \begin{array}{l} x = 1 + 2t\\ y = 2t\\ z = 1 + t \end{array} \right.$
    B. $\left\{ \begin{array}{l} x = 1 - t\\ y = t\\ z = 1 + t \end{array} \right.$
    C. $\left\{ \begin{array}{l} x = 1 + t\\ y = t\\ z = 1 + t \end{array} \right.$
    D. $\left\{ \begin{array}{l} x = 1 + t\\ y = 2t\\ z = 1 - t \end{array} \right.$
    Lời giải​
    Dựa vào phân dạng ở trên, ta có cách viết phương trình đường thẳng như sau:
    Đường thẳng MN nhận $\overrightarrow {MN} $ = (2; 2; −2) hoặc $\overrightarrow {u} $ = (1; 1; −1) là vectơ chỉ phương nên ta loại ngay phương án A,B và C. Thay tọa độ M(1; 0; l ) vào phương trình ở phương án D ta thấy thỏa mãn.
     
    Last edited by a moderator: 29/5/20
    k0ld3re4k5 and hà linh like this.

    Bình Luận Bằng Facebook

  2. Dương Cần

    Dương Cần Mới đăng kí

    Tham gia ngày:
    16/2/16
    Bài viết:
    9
    Đã được thích:
    1
    Điểm thành tích:
    1
    Admin đăng thêm vài bài tập nữa đi ạ
     
  3. AnhNguyen

    AnhNguyen Mới đăng kí Thành viên BQT

    Tham gia ngày:
    12/4/16
    Bài viết:
    23
    Đã được thích:
    13
    Điểm thành tích:
    3
    Giới tính:
    Nam
    Cảm ơn bạn đã tham gia diễn đàn, BT sẽ được đăng lên trong thời gian sớm nhất. (Trong tuần sau) Bạn nhớ ghé lại xem
     
    Huy Hoàng thích bài này.
  4. Vũ Quỳnh Anh

    Vũ Quỳnh Anh Mới đăng kí

    Tham gia ngày:
    24/10/15
    Bài viết:
    1
    Đã được thích:
    0
    Điểm thành tích:
    1
    Giới tính:
    Nữ
    Ad ơi. Em muốn tải về để in ra thì làm thế nào ạ
     
  5. noanh thoa

    noanh thoa Mới đăng kí

    Tham gia ngày:
    17/4/17
    Bài viết:
    6
    Đã được thích:
    0
    Điểm thành tích:
    1
    Giới tính:
    Nữ
    Cho em hoi... Neu bai toan hoi:

    Viet phuong trinh duong thang (d) qua A, vua vuong goc voi duong thang (d') vua // voi mat phang (P).

    Minh lam sao a?
     
    1. Hương B Hoàng
      Tính tích có hướng của vtpt của (P) với vtcp của (d'). Vecto tính đc chính là vtcp của (d) đó bạn.
       

Chia sẻ trang này