Hãy đăng ký thành viên để có thể dễ dàng hỏi bài, trao đổi, giao lưu và chia sẻ về kiến thức
  1. Thủ thuật: Nếu muốn tìm lời giải một câu vật lý trên Google, bạn hãy gõ: tanggiap + câu hỏi.
    Dismiss Notice

Bài 1: Định nghĩa và các phép toán số phức

Thảo luận trong 'Bài 1. Các dạng toán liên quan đến số phức' bắt đầu bởi Doremon, 6/12/14.

  1. Doremon

    Doremon Moderator Thành viên BQT

    Tham gia ngày:
    29/9/14
    Bài viết:
    1,299
    Đã được thích:
    210
    Điểm thành tích:
    63
    Giới tính:
    Nam
    I. LÝ THUYẾT:
    1. Khái niệm số phức:
    • Là biểu thức có dạng a + bi, trong đó a, b là những số thực và số i thoả ${i^2}$ = –1.
    • Kí hiệu là z = a + bi với a là phần thực, b là phần ảo, i là đơn vị ảo.
    • Tập hợp các số phức kí hiệu là = {a + bi/ a, b ∈ R và ${i^2}$= –1}. Ta có $R \subset C$.
    • Số phức có phần ảo bằng 0 là một số thực: z = a + 0.i = $a \in R \subset C$
    • Số phức có phần thực bằng 0 là một số ảo: z = 0.a + bi = bi. Đặc biệt i = 0 + 1.
    • Số 0 = 0 + 0.i vừa là số thực vừa là số ảo.
    2. Số phức bằng nhau:
    • Cho hai số phức z = a + bi và z’ = a’ + b’i. Ta có z = z¢ ↔ $\left\{ \begin{array}{l}a = a'\\b = b'\end{array} \right.$
    VD: Tìm các số thực x, y biết: (2x – 3) – (3y + 1) = (2y + 1) + (3x – 7)i (1)
    (1) ↔ $\left\{ \begin{array}{l}2x - 3 = 2y + 1\\ - 3y - 1 = 3x - 7\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - y = 2\\x + y = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 0\end{array} \right.$

    3. Biểu diễn hình học của số phức:

    • Mỗi số phức z = a + bi được xác định bởi cặp số thực (a; b).
    • Trên mặt phẳng Oxy, mỗi điểm M(a; b) được biểu diễn bởi một số phức và ngược lại.
    • Mặt phẳng Oxy biểu diễn số phức được gọi là mặt phẳng phức. Gốc tọa độ O biểu diễn số 0, trục hoành Ox biểu diễn số thực, trục tung Oy biểu diễn số ảo.
    VD: Các điểm A, B, C, D biểu diễn các số phức là:
    ${z_A} = 1 + 4i;\,{z_B} = - 3 + 0i;\,\,{z_C} = 0 - 2i;\,\,{z_D} = 4 - i.$

    4. Môđun của số phức:

    • Số phức z = a + bi được biểu diễn bởi điểm M(a; b) trên mặt phẳng Oxy. Độ dài của véctơ $\overrightarrow {OM} $ được gọi là môđun của số phức z. Kí hiệu $\left| z \right| = \left| {a + bi} \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} $
    VD: z = 3 – 4i có $\left| z \right| = \left| {3 - 4i} \right| = \sqrt {{3^2} + {{( - 4)}^2}} $= 5
    12-6-2014 1-21-36 PM.png
    Chú ý: $\left| {{z^2}} \right| = \left| {{a^2} - {b^2} + 2abi} \right| = \sqrt {{{({a^2} - {b^2})}^2} + 4{a^2}{b^2}} = {a^2} + {b^2} = {\left| z \right|^2}$

    5. Số phức liên hợp:

    • Cho số phức z = a + bi, số phức liên hợp của z là $\bar z = a - bi$.
    $z = a + bi \leftrightarrow \bar z = a - bi;\,\,\overline {\bar z} = z;\,\left| {\bar z} \right| = \left| z \right|$
    * Chú ý: $(\overline {{z^n}} ) = {(\overline z )^n};\overline i = - i; - \overline i = i$

    • z là số thực $\leftrightarrow \overline z = z$
    • z là số ảo $\leftrightarrow \overline z = - z$
    * Môđun số phức z = a + b.i (a; b $ \in $ R) $\left| z \right| = \left| {OM} \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} = \sqrt {z.\overline z } $

    Chú ý: $\left| z \right| = \left| {\overline z } \right|;\,\forall z \in C$
    Hai điểm biểu diễn z và $\bar z$ đối xứng nhau qua trục Ox trên mặt phẳng Oxy.

    6. Cộng, trừ số phức:

    • Số đối của số phức z = a + bi là –z = –a – bi
    • Cho z = a + b.i và z’ = a’ + b’i. Ta có z + z’ = (a ± a’) + (b ± b’)
    • Phép cộng số phức có các tính chất như phép cộng số thực.
    7. Phép nhân số phức:
    • Cho hai số phức z = a + bi và z’ = a’ + b’.i. Nhân hai số phức như nhân hai đa thức rồi thay $i^2$ = –1 và rút gọn, ta được:
    • k.z = k(a + bi) = ka + kb.i . Đặc biệt 0.z = 0 $\forall z \in C$
    • $\overline z $ = (a + bi)(a – bi) hay $z.\bar z = {a^2} + {b^2} = {\left| z \right|^2}$
    VD: Phân tích ${z^2}$+ 4 thành nhân tử. ${z^2}$ + 4 = ${z^2}$ – ${(2i)^2}$ = (z – 2i)(z + 2i).
    • Phép nhân số phức có các tính chất như phép nhân số thực.
    8. Phép chia số phức:
    • Số nghịch đảo của số phức z = a + bi ≠ 0 là ${z^{ - 1}} = \frac{1}{z} = \frac{{\bar z}}{{{{\left| z \right|}^2}}}$ hay $\frac{1}{{a + bi}} = \frac{{a - bi}}{{{a^2} + {b^2}}}$
    • Cho hai số phức z = a + bi ≠ 0 và z’ = a’ + b’i thì $\frac{{z'}}{z} = \frac{{z'.\overline z }}{{{{\left| z \right|}^2}}}$ hay $\frac{{a' + b'i}}{{a + bi}} = \frac{{(a' + b'i)(a - bi)}}{{{a^2} + {b^2}}}$
    VD: Tìm z thoả (1 + 2i)z = 3z – i.
    Ta có (3 – 1 – 2i)z = i ↔ z = $\frac{i}{{2 - 2i}}$ ↔ $z = \frac{{i(2 + 2i)}}{{4 + 4}} \Leftrightarrow z = \frac{{ - 2 + 2i}}{8} \Leftrightarrow z = - \frac{1}{4} + \frac{1}{4}i$

    9. Lũy thừa của đơn vị ảo: Cho k $ \in $ N
    ${i^{4k}} = 1;\,\,\,{i^{4k + 1}} = i;\,\,\,\,{i^{4k + 2}} = - 1;\,\,\,\,{i^{4k + 3}} = - i$
    VD: Tìm phần thực và ảo của số phức: z = ${(2 - 2i)^{13}}$
    $z = {\left[ {{{(2 - 2i)}^2}} \right]^6}(2 - 2i) = {(8i)^6}(2 - 2i) = - {8^6}.2 + {8^6}.2i = - {2^{19}} + {2^{19}}i$
    Phần thực a = $ - {2^{19}}$, phần ảo b = ${2^{19}}$

    II. Bài tập rèn luyện
    1) Tìm các số thực x, y biết:
    a) (3x –2) + (2y +1)i = (x + 1) – (y – 5)i;
    b) (1 – 2x) – i$\sqrt 3 $ = $\sqrt 5 $ + (1 – 3y)i;
    c) (2x + y) + (2y – x)i = (x – 2y + 3) + (y + 2x +1)i;

    ĐS:
    a) x = 1,5 ; y = 4/3
    b) x = 0 ; y = 1
    c) x = $\frac{{1 - \sqrt 5 }}{2}$; y = $\frac{{1 + \sqrt 3 }}{3}$

    2) Trên mặt phẳng tọa độ, tìm tập hợp điểm biểu diễn bởi số phức z thỏa:
    a) Phần thực của z bằng –2;
    b) Phần ảo của z bằng 3;
    c) Phần thực của z thuộc khoảng (–1; 2);
    d) Phần ảo của z thuộc đoạn [1; 3];
    e) Phần thực và phần ảo của z đều thuộc đoạn [–2; 2].

    Hướng dẫn
    a) Là đường thẳng x = –2;
    b) Là đường thẳng y = 3;
    c) Là miền trong giới hạn bởi hai đường thẳng song song x = –1 và x = 2 không tính biên;
    d) Là miền trong giới hạn bởi hai đường thẳng song song y = 1 và y = 3 tính cả biên;
    e) Là miền trong giới hạn bởi bốn đường thẳng đôi một song song x = –2, x = 2 và y = –2, y = 2 tính cả biên.

    3) Trên mặt phẳng tọa độ, tìm tập hợp điểm biểu diễn bởi số phức z thỏa:
    a) |z| = 1;
    b) |z| ≤ 1
    c) 1 < |z| ≤ 2
    d) |z| = 1 và phần ảo của z bằng 1.

    Hướng dẫn
    a) Tập hợp các điểm M(a; b) thỏa ${a^2} + {b^2} = 1$, là đường tròn tâm O, bán kính R = 1;
    b) Tập hợp các điểm M(a; b) thỏa ${a^2} + {b^2} \le 1$, là hình tròn tâm O, bán kính R = 1 tính cả biên;
    c) Tập hợp các điểm M(a; b) thỏa $1 < {a^2} + {b^2} \le 2$, là hình vành khăn tâm O, bán kính r = 1 không tính biên, bán kính lớn R = 2 tính biên;

    4) Thực hiện các phép tính sau:
    a) 2i(3 + i)(2 + 4i)
    b) $\frac{{{{(1 + i)}^2}{{(2i)}^3}}}{{ - 2 + i}}$

    5) Giải phương trình sau:
    a) (3 – 2i)z + (4 + 5i) = 7 + 3i;
    b) (1 + 3i)z – (2 + 5i) = (2 + i)z
    c) $\frac{z}{{4 - 3i}} + (2 - 3i) = 5 - 2i$

    Hướng dẫn
    a) z = 1
    b) z = $\frac{8}{5} - \frac{9}{5}i$
    c) z = 15 – 5i.

    6)
    Xác định các số phức biểu diễn bởi các đỉnh của một lục giác đều có tâm là gốc tọa độ O trong mặt phẳng phức, biết rằng một đỉnh biểu diễn số i.

    Hướng dẫn
    12-6-2014 1-39-12 PM.png
    Gọi A là điểm biểu diễn số phức i thì D biểu diễn số –i. $F\left( {\cos \frac{\pi }{6};\sin \frac{\pi }{6}} \right)$ nên F biểu diễn số $\frac{{\sqrt 3 }}{2} + \frac{1}{2}i$. C đối xứng F qua O nên C biểu diễn số $ - \frac{{\sqrt 3 }}{2} - \frac{1}{2}i$. E đối xứng F qua Ox nên E biểu diễn số $\frac{{\sqrt 3 }}{2} - \frac{1}{2}i$. B đối xứng E qua O nên B biểu diễn số $ - \frac{{\sqrt 3 }}{2} + \frac{1}{2}i$
    7)
    Cho $z = - \frac{1}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}i$. Hãy tính: $\frac{1}{z};\,\,\bar z;\,\,{z^2};\,{(\bar z)^3};\,1 + z + {z^2}$.

    Hướng dẫn
    Ta có $\left| z \right| = 1$ nên
    $\frac{1}{z} = - \frac{1}{2} - \frac{{\sqrt 3 }}{2}i = \bar z$;
    ${z^2} = - \frac{1}{2} - \frac{{\sqrt 3 }}{2}i$;
    ${\bar z^3} = \bar z.{\bar z^2} = 1$;
    $1 + z + {z^2} = 0$

    8) Chứng minh rằng:
    a) Phần thực của số phức z bằng $\frac{1}{2}\left( {z + \bar z} \right)$, phần ảo của số phức z bằng $\frac{1}{{2i}}\left( {z - \bar z} \right)$
    b) Số phức z là số ảo khi và chỉ khi $z = - \bar z$.
    c) Số phức z là số thực khi và chỉ khi $z = \bar z$.
    d) Với mọi số phức z, z¢, ta có $\overline {z + z'} = \overline z + \overline {z'} \,,\,\,\,\overline {zz'} = \overline z .\overline {z'} $ và nếu z ¹ 0 thì $\frac{{\overline {z'} }}{{\bar z}} = \overline {\left( {\frac{{z'}}{z}} \right)} $

    Hướng dẫn
    $z = a + bi,\,\,\bar z = a - bi$ (1)
    a) Lấy vế cộng vế → Phần thực của số phức z bằng $\frac{1}{2}\left( {z + \bar z} \right)$. Lấy vế trừ vế → phần ảo của số phức z bằng $\frac{1}{{2i}}\left( {z - \bar z} \right)$.
    b) Số phức z là số ảo khi và chỉ khi phần thực bằng 0 ↔ $z + \bar z = 0 \Leftrightarrow z = - \bar z$.
    c) Số phức z là số thực khi và chỉ khi phần ảo bằng 0 ↔ $z - \bar z = 0 \Leftrightarrow z = \bar z$.
    d) $z = a + bi;\,\,\,\,\,z' = a' + b'i;\,\,\,\,\,\,\,z\,\bar z = {a^2} + {b^2}$ là số thực
    $\overline {z + z'} = \overline {(a + a') + (b + b')i} = (a + a') - (b + b')i = (a - bi) + (a' - b'i) = \overline z + \overline {z'} $
    $\overline {zz'} = \overline {(aa' - bb') + (ab' + a'b)i} = (aa' - bb') - (ab' + a'b)i = (a - bi)(a' - b'i) = \overline z .\overline {z'} $
    $\overline {\left( {\frac{{z'}}{z}} \right)} = \overline {\left( {\frac{{z'.\bar z}}{{z.\bar z}}} \right)} = \frac{{\overline {z'} .\overline {\bar z} }}{{z.\bar z}} = \frac{{\overline {z'} .z}}{{z.\bar z}} = \frac{{\overline {z'} }}{{\bar z}}$

    9)
    Chứng minh rằng với mọi số nguyên m > 0, ta có ${i^{4m}} = 1;\,\,{i^{4m + 1}} = i;\,\,\,{i^{4m + 2}} = - 1;\,\,\,{i^{4m + 3}} = - i$

    Hướng dẫn
    Ta có ${i^4} = {i^2}.{i^2} = 1$
    $\begin{array}{l}
    {\left( {{i^4}} \right)^m} = {1^m} \leftrightarrow {i^{4m}} = 1 \leftrightarrow {i^{4m}}.i = 1.i\\
    \leftrightarrow {i^{4m + 1}} = i \leftrightarrow {i^{4m + 1}}.i = i.i\\
    \leftrightarrow {i^{4m + 2}} = - 1 \leftrightarrow {i^{4m + 2}}.i = - 1.i\\
    \leftrightarrow {i^{4m + 3}} = - i
    \end{array}$

    10)
    Chứng minh rằng:
    a) Nếu $\overrightarrow u $ của mặt phẳng phức biểu diễn số phức z thì $|\overrightarrow u |\, = \,|z|$ và từ đó nếu hai điểm ${A_1},\,{A_2}$ theo thứ tự biểu diễn số phức ${z_1},\,{z_2}$ thì $\left| {\overrightarrow {{A_1}{A_2}} } \right| = \left| {{z_2} - {z_1}} \right|$.
    b) Với mọi số phức z, z¢, ta có |z.z'| = |z|.|z'| và khi z ≠ 0 thì $\left| {\frac{{z'}}{z}} \right| = \frac{{\left| {z'} \right|}}{{\left| z \right|}}$
    c) Với mọi số phức z, z', ta có $\left| {z + z'} \right| \le \left| z \right| + \left| {z'} \right|$

    Hướng dẫn
    a) z = a + bi thì $\left| z \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} $, $\overrightarrow u $ biểu diễn số phức z thì $\overrightarrow u $= (a; b)→ $\left| {\overrightarrow u } \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} $ do đó $|\overrightarrow u |\, = \,|z|$
    ${A_1},\,{A_2}$ theo thứ tự biểu diễn số phức ${z_1},\,{z_2}$ thì $\overrightarrow {{A_1}{A_2}} = \overrightarrow {O{A_2}} - \overrightarrow {O{A_1}} = {z_2} - {z_1} \Rightarrow \left| {\overrightarrow {{A_1}{A_2}} } \right| = \left| {{z_2} - {z_1}} \right|$

    b) z = a + bi, z’ = a’ + b’i, z.z’ = (aa’ - bb’) + (ab’ + a’b)i, $\left| z \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} ,\,\,\left| {z'} \right| = \sqrt {a{'^2} + b{'^2}} $
    Ta có ${\left| z \right|^2}.{\left| {z'} \right|^2} = \left( {{a^2} + {b^2}} \right)\left( {a{'^2} + b{'^2}} \right)$
    Ta có
    ${\left| {z.z'} \right|^2} = {\left( {aa' - bb'} \right)^2} + {\left( {ab' + a'b} \right)^2} = {\left( {aa'} \right)^2} + {\left( {bb'} \right)^2} + {\left( {ab'} \right)^2} + {\left( {a'b} \right)^2} = \left( {{a^2} + {b^2}} \right)\left( {a{'^2} + b{'^2}} \right)$
    Vậy |z.z'| = |z|.|z'|
    Khi z ≠ 0 ta có $\left| {\frac{{z'}}{z}} \right| = \left| {\frac{{z'.\bar z}}{{z.\bar z}}} \right| = \frac{{\left| {z'} \right|.\left| {\bar z} \right|}}{{{{\left| z \right|}^2}}} = \frac{{\left| {z'} \right|.\left| z \right|}}{{{{\left| z \right|}^2}}} = \frac{{\left| {z'} \right|}}{{\left| z \right|}}$

    c) $\overrightarrow u $ biểu diễn z, $\overrightarrow u’ $ biểu diễn z¢ thì $\overrightarrow u + \overrightarrow {u'} $ biểu diễn z + z¢ và $\left| {z + z'} \right| = \left| {\overrightarrow u + \overrightarrow {u'} } \right|$
    Khi $\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} \ne \overrightarrow 0 $, ta có ${\left| {\overrightarrow u + \overrightarrow {u'} } \right|^2} = {\overrightarrow u ^2} + {\overrightarrow {u'} ^2} + 2\left| {\overrightarrow u } \right|\left| {\overrightarrow {u'} } \right|\cos \left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right) \le {\left| {\overrightarrow u } \right|^2} + {\left| {\overrightarrow {u'} } \right|^2} + 2\left| {\overrightarrow u } \right|\left| {\overrightarrow {u'} } \right| = {\left( {\left| {\overrightarrow u } \right| + \left| {\overrightarrow {u'} } \right|} \right)^2}$
    → $\left| {\overrightarrow u + \overrightarrow {u'} } \right| \le \left| {\overrightarrow u } \right| + \left| {\overrightarrow {u'} } \right|$ do đó $\left| {z + z'} \right| \le \left| z \right| + \left| {z'} \right|$

    12) Tìm số phức thỏa mãn đk ở bài 11 mà có mô đun nhỏ nhất.

    13)
    Chứng minh rằng với mọi số phức z ¹ 1, ta có $1 + z + {z^2} + ... + {z^9} = \frac{{{z^{10}} - 1}}{{z - 1}}$

    Hướng dẫn
    Với z ¹ 1, $\left( {1 + z + {z^2} + ... + {z^9}} \right)\left( {z - 1} \right) = z + {z^2} + ... + {z^9} + {z^{10}} - \left( {1 + z + {z^2} + ... + {z^9}} \right) = {z^{10}} – 1$
    Chia hai vế cho z – 1 hằng đẳng thức được chứng minh.(Cấp số nhân)

    14)
    Hỏi mỗi số sau đây là số thực hay số ảo (z là số phức tùy ý sao cho biểu thức xác định)?
    a) ${z^2} + {(\bar z)^2}$
    b) $\frac{{z - \bar z}}{{{z^3} + {{(\bar z)}^3}}}$
    c) $\frac{{{z^2} - {{(\bar z)}^2}}}{{1 + z\bar z}}$

    Hướng dẫn
    Ta có $z = a + bi,\,\,\bar z = a - bi$, $\,{z^2} = ({a^2} - {b^2}) + 2abi,\,\,\,\,{\bar z^2} = ({a^2} - {b^2}) - 2abi,\,$
    Và $\,{z^3} = ({a^3} - 3a{b^2}) + (3{a^2}b - {b^3})i,\,\,{\bar z^3} = ({a^3} - 3a{b^2}) - (3{a^2}b - {b^3})i$
    Vậy${z^2} + {(\bar z)^2} = 2({a^2} - {b^2})$ là số thực; $\frac{{z - \bar z}}{{{z^3} + {{(\bar z)}^3}}} = \frac{b}{{{a^3} - 3a{b^2}}}i$ là số ảo; $\frac{{{z^2} - {{(\bar z)}^2}}}{{1 + z.\bar z}} = \frac{{4ab}}{{1 + {a^2} + {b^2}}}i$ là số ảo.

    15)
    Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn số phức z thỏa điều kiện sau:
    a) ${z^2}$ là số thực âm;
    b) ${z^2}$ là số ảo ;
    c) ${z^2} = {(\bar z)^2}$ d
    ) $\frac{1}{{z - i}}$ là số ảo.

    Hướng dẫn
    M(x; y) biểu diễn z thì $z = x + yi \Rightarrow {z^2} = {x^2} - {y^2} + 2xyi;\,\,{\bar z^2} = {x^2} - {y^2} - 2xyi$
    a) ${z^2}$ là số thực âm khi xy = 0 và ${x^2} - {y^2} < 0$ ↔ x = 0 và y ≠ 0. Tập hợp các điểm M là trục Oy trừ O

    b) ${z^2}$ là số ảo khi ${x^2} - {y^2} = 0$↔ y = ± x. Tập hợp các điểm M là 2 đường phân giác của gốc tọa độ.

    c) ${z^2} = {(\bar z)^2}$ khi xy = 0 ↔ x = 0 hoặc y = 0. Tập hợp các điểm M là 2 trục tọa độ.

    d) $\frac{1}{{z - i}} = \frac{1}{{x + (y - 1)i}} = \frac{{x - (y - 1)i}}{{{x^2} + {{(y - 1)}^2}}}$ là số ảo khi x = 0, y ≠ 1. Tập hợp M là trục Oy bỏ điểm M(0;1)

    16) Tìm nghiệm phức của phương trình sau:
    a) iz + 2 – i = 0
    b) $\left( {2 - i} \right)\bar z - 4 = 0$
    c) ${z^2} + 4 = 0$
    d) (2 + 3i)z = z - 1
    e) $\left( {iz - 1} \right)\left( {z + 3i} \right)\left( {\bar z - 2 + 3i} \right) = 0$


    Hướng dẫn
    a) z = 1 + 2i
    b) $z = - \frac{1}{{10}} + \frac{3}{{10}}i$
    c) $z = \frac{8}{5} - \frac{4}{5}i$
    d) – i – 3i; 2 + 3i
    e) z = ± 2i

    17)
    a) Cho số phức z = x + yi (x, y ∈R). Khi z ≠ 1, hãy tìm phần thực và phần ảo của số phức $\frac{{z + i}}{{z - i}}$
    b) Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn số phức z thỏa điều kiện $\frac{{z + i}}{{z - i}}$ là số thực dương.

    Hướng dẫn
    a) Phần thực là $\frac{{{x^2} + {y^2} - 1}}{{{x^2} + {{(y - 1)}^2}}}$, phần ảo $\frac{{2x}}{{{x^2} + {{(y - 1)}^2}}}$
    b) Là số thực dương khi x = 0 và ${x^2} + {y^2} - 1 > 0$ Þ Tập hợp là trục Oy bỏ đoạn IJ với I, J là điểm biểu diễn hai số phức i, - i.

    18)
    a) Trong mặt phẳng phức cho 3 điểm A, B, C không thẳng hàng theo thứ tự biểu diễn số phức ${z_1},\,{z_2},\,{z_3}$. Hỏi trọng tâm DABC biểu diễn số phức nào?
    b) Xét 3 điểm A, B, C của mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn số phức ${z_1},\,{z_2},\,{z_3}$ thỏa $\left| {{z_1}} \right| = \,\left| {{z_2}} \right| = \left| {\,{z_3}} \right|$. Chứng minh rằng A, B, C là 3 đỉnh của một tam giác đều khi và chỉ khi ${z_1} + \,{z_2} + \,{z_3} = 0$

    Hướng dẫn
    a) Gọi G là trọng tâm DABC, ta có $\overrightarrow {OG} = \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} } \right) = \frac{1}{3}\left( {{z_1} + {z_2} + {z_3}} \right)$ vậy G biểu diễn số phức $z = \frac{1}{3}\left( {{z_1} + {z_2} + {z_3}} \right)$
    b) Vì $\left| {\overrightarrow {OA} } \right| = \left| {\overrightarrow {OB} } \right| = \left| {\overrightarrow {OC} } \right|$ nên A, B, C thuộc đường tròn tâm O. Tam giác ABC đều khi trọng tâm G trùng O hay ${z_1} + \,{z_2} + \,{z_3} = 0$.
     
    Chỉnh sửa cuối: 6/12/14
    Siêu Nhân thích bài này.

    Bình Luận Bằng Facebook

  2. Cẩm hồ

    Cẩm hồ Mới đăng kí

    Tham gia ngày:
    23/7/17
    Bài viết:
    10
    Đã được thích:
    0
    Điểm thành tích:
    1
    Tìm phần thực của số phức z biết: \(z + \frac{{{{\left| z \right|}^2}}}{z} = 10\)
    A. 10
    B. 5
    C. -5
    D. \(\sqrt{10}\)
     
    1. Minh Toán
      Đặt \(z = a + bi;\,a,b \in R\)
      Ta có:
      \(z + \frac{{{{\left| z \right|}^2}}}{z} = z + \bar z = 2.a = 10 \Rightarrow a = 5\)
      Vậy đáp án là B.
       
      Minh Toán, 7/12/17
  3. nale2962

    nale2962 Mới đăng kí

    Tham gia ngày:
    10/7/17
    Bài viết:
    8
    Đã được thích:
    0
    Điểm thành tích:
    0
    Giới tính:
    Nam
    Cho số phức \(z = a + bi\) thỏa mãn \(z + 2i.\bar z = 3 + 3i\). Tính giá trị biểu thức: \(P = {a^{2016}} + {b^{2017}}\).
    A. P=0
    B. P=2
    C. \(P = \frac{{{3^{4032}} - {3^{2017}}}}{{{5^{2017}}}}\)
    D. \(P = - \left( {\frac{{{3^{4032}} - {3^{2017}}}}{{{5^{2017}}}}} \right)\)
     
    1. Minh Toán
      Đặt: \(z = a + bi;\,\,a,b \in R\)
      \(\bar z = a - bi \Rightarrow i.z = ia + b\)
      \(\Rightarrow z + 2i.\bar z = a + bi + 2\left( {ia + b} \right) = \left( {a + 2b} \right) + \left( {b + 2a} \right)i\)
      \(\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} a + 2b = 3\\ b + 2a = 3 \end{array} \right. \Rightarrow a = b = 1 \Rightarrow P = {1^{2016}} + {1^{2017}} = 2\)
       
      Minh Toán, 7/12/17
  4. Tìm số phức \(\bar z\) thỏa mãn \frac{{2 + i}}{{1 - i}}z = \frac{{ - 1 + 3i}}{{2 + i}}.
    A. \(\frac{{22}}{{25}} + \frac{4}{{25}}i\)
    B. \(\frac{{22}}{{25}} - \frac{4}{{25}}i\)
    C. \(\frac{{22}}{{25}}i + \frac{4}{{25}}\)
    D. \(- \frac{{22}}{{25}} + \frac{4}{{25}}i\)
     
    1. Minh Toán
      Ta có:
      \(\frac{{2 + i}}{{1 - i}}z = \frac{{ - 1 + 3i}}{{2 + i}} \Rightarrow z = \frac{{\left( { - 1 + 3i} \right)\left( {1 - i} \right)}}{{{{\left( {2 + i} \right)}^2}}}\)
      \(= \frac{{\left( { - 1 + 3i} \right)\left( {1 - i} \right){{\left( {2 - i} \right)}^2}}}{{25}} = \frac{{22}}{{25}} + \frac{4}{{25}}i \Rightarrow \overline z = \frac{{22}}{{25}} - \frac{4}{{25}}i.\)
      Vậy đáp án cần tìm là B.
       
      Minh Toán, 7/12/17
  5. CaiWinTaiNha

    CaiWinTaiNha Mới đăng kí

    Tham gia ngày:
    26/6/17
    Bài viết:
    9
    Đã được thích:
    0
    Điểm thành tích:
    0
    Giới tính:
    Nam
    Cho số phức z thỏa mãn điều kiện \(z - 2\bar z = 3 + 4i\). Phát biểu nào sau đây là phát biểu sai?
    A. z có phần thực là -3.
    B. \(\bar z + \frac{4}{3}i\) có môđun là \(\frac{{\sqrt {97} }}{3}\).
    C. z có phần ảo là \(\frac{4}{3}\).
    D. z có modun là \(\frac{\sqrt{97}}{3}\).
     
    1. Minh Toán
      Đặt \(z = x + yi,\,\left( {x,y \in R} \right) \Rightarrow \bar z = x - yi \Rightarrow - 2\bar z = - 2x + 2yi\)
      \(x + yi - 2x + 2yi = 3 + 4i \Leftrightarrow - x + 3yi = 3 + 4i \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - x = 3\\ 3y = 4 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = - 3\\ y = \frac{4}{3} \end{array} \right.\)
      Vậy \(z = - 3 + \frac{4}{3}i \Rightarrow \left| z \right| = \sqrt {{{\left( { - 3} \right)}^2} + {{\left( {\frac{4}{3}} \right)}^2}} = \sqrt {\frac{{97}}{9}} = \frac{{\sqrt {97} }}{3}\)
       
      Minh Toán, 7/12/17
  6. Phạm Chí Năng

    Phạm Chí Năng Mới đăng kí

    Tham gia ngày:
    9/8/17
    Bài viết:
    11
    Đã được thích:
    1
    Điểm thành tích:
    0
    Giới tính:
    Nam
    Tìm điểm biểu diễn của số phức \(z = 5 - 3i\) trên mặt phẳng phức.
    A. \(M\left( {5; - 3} \right)\)
    B. \(N\left( { - 3;5} \right)\)
    C. \(P\left( { - 5;3} \right)\)
    D. \(Q\left( {3; - 5} \right)\)
     
    1. Minh Toán
      Ta cùng nhắc lại kiến thức sách giáo khoa như sau:
      Điểm biểu diễn số phức \(z = x + yi\,\,\left( {x,y \in R} \right)\) trong mặt phẳng vuông góc là điểm \(M\left( {x;y} \right)\).
      Vậy \(M\left( {5; - 3} \right)\) chính là điểm biểu diễn số phức \(z = 5 - 3i\).
       
      Minh Toán, 7/12/17
  7. phạm hồng thanh

    phạm hồng thanh Mới đăng kí

    Tham gia ngày:
    23/7/17
    Bài viết:
    13
    Đã được thích:
    0
    Điểm thành tích:
    0
    Giới tính:
    Nam
    Trên mặt phẳng phức, tìm đồ thị của tập hợp các điểm biểu diễn số phức z biết \(z.\overline z = 4\) (đối với các đồ thị có gạch chéo thì tập hợp điểm là cả phần gạch chéo và cả biên).
    A.[​IMG]
    B.[​IMG]
    C.[​IMG]
    D.[​IMG]
     
    1. Minh Toán
      Bài toán yêu cầu tìm tập hợp các điểm biểu diễn của z , tức là liên quan đến x, y. Do vậy ta sẽ đặt \(z = x + iy\), khi đó \(\bar z = x - iy\). Vậy \(z.\bar z = \left( {x + iy} \right)\left( {x - iy} \right) = {x^2} + {y^2}\)
      Theo đề bài thì \({x^2} + {y^2} = 4\). Nhận thấy đây là phương trình đường tròn tâm O(0;0) bán kính R=2. Vậy ta sẽ chọn phương án B.
       
      Minh Toán, 7/12/17
  8. Hồ Tấn

    Hồ Tấn Mới đăng kí

    Tham gia ngày:
    19/6/17
    Bài viết:
    13
    Đã được thích:
    0
    Điểm thành tích:
    0
    Giới tính:
    Nam
    Tìm phần thực, phần ảo của số phức \(z = \frac{{3 - i}}{{1 + i}} + \frac{{2 + i}}{i}.\).
    A. phần thực: a=2; phần ảo b=-4i
    B. phần thực: a=2; phần ảo b=-4
    C. phần thực: a=2; phần ảo b=4i
    D. phần thực: a=2; phần ảo b=4
     
    1. Minh Toán
      \(z = \frac{{\left( {3 - i} \right)\left( {1 - i} \right)}}{{{1^2} - {i^2}}} + \frac{{\left( {2 + i} \right)i}}{{{i^2}}}\)
      \(= \frac{{{i^2} - 4i + 3}}{{1 + 1}} + \frac{{ - 1 + 2i}}{{ - 1}}\)
      \(= \frac{{ - 1 - 4i + 3}}{2} - \left( { - 1 + 2i} \right)\)\(= 2 - 4i\)
      Vậy phần thực: a=2 ; phần ảo b=-4.
      Có thể bấm máy tính để suy ra kết quả.
       
      Minh Toán, 7/12/17
  9. Tr9

    Tr9 Mới đăng kí

    Tham gia ngày:
    14/10/17
    Bài viết:
    13
    Đã được thích:
    0
    Điểm thành tích:
    1
    Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề sau?
    A. Số phức \(z=a+bi\) được biểu diễn bằng điểm M(a;b) trong mặt phẳng phức Oxy
    B. Số phức \(z=a+bi\) có môđun là \(\sqrt {{a^2} + {b^2}}\)
    C. Số phức \(z=a+bi\) thì a=0 và b=0
    D. Số phức \(z=a+bi\) có số phức liên hợp là \(\overline z = - a - bi\)
     
    1. Minh Toán
      Số phức \(z = a + bi\) có số phức liên hợp là \(\overline z = a - bi.\)
       
      Minh Toán, 7/12/17
  10. tra0995497882

    tra0995497882 Mới đăng kí

    Tham gia ngày:
    3/6/16
    Bài viết:
    10
    Đã được thích:
    0
    Điểm thành tích:
    1
    Giới tính:
    Nữ
    Tìm cặp số thực x, y thỏa mãn \(x + 2y + \left( {2x - y} \right)i = 2x + y + \left( {x + 2y} \right)i.\)
    A. \(x = y = 0\)
    B. \(x = y = \frac{1}{2}\)
    C. \(x = \frac{1}{3};y = \frac{2}{3}\)
    D. \(x = - \frac{1}{3};y = - \frac{2}{3}\)
     
    1. Minh Toán
      \(\begin{array}{l} x + 2y + \left( {2x - y} \right)i = 2x + y + \left( {x + 2y} \right)i\\ \Leftrightarrow \left( {x + 2y - 2x - y} \right) + \left( {2x - y - z - 2y} \right)i = 0 \end{array}\)
      \(\Leftrightarrow \left( {y - x} \right) + \left( {x - 3y} \right)i = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = y\\ x = 3y \end{array} \right. \Leftrightarrow x = y = 0.\)
       
      Minh Toán, 7/12/17
  11. Ramsey999

    Ramsey999 Mới đăng kí

    Tham gia ngày:
    24/7/16
    Bài viết:
    6
    Đã được thích:
    0
    Điểm thành tích:
    1
    Giới tính:
    Nữ
    Cho các số phức \(z = 1 + 2i,w = 2 + i.\) Số phức \(u = z.\overline w .\) Khẳng định nào sau đây là đúng về số phức u?
    A. Phần thực là 4 và phần ảo là 3.
    B. Phần thực là 0 và phần ảo là 3.
    C. Phần thực là 0 và phần ảo là 3i.
    D. Phần thực là 4 và phần ảo là 3i.
     
    1. Minh Toán
      Ta có \(\overline w = 2 - i \Rightarrow u = \left( {1 + 2i} \right)\left( {2 - i} \right) = 4 + 3i.\)
      Do đó u có phần thực là 4 và phần ảo là 3.
       
      Minh Toán, 7/12/17
  12. rangsuzirconia10

    rangsuzirconia10 Mới đăng kí

    Tham gia ngày:
    5/12/17
    Bài viết:
    3
    Đã được thích:
    0
    Điểm thành tích:
    1
    Giới tính:
    Nam
    Cho các mệnh đề sau:
    (1) Trên tập hợp các số phức thì phương trình bậc hai luôn có nghiệm.
    (2) Trên tập hợp các số phức thì số thực âm không có căn bậc hai.
    (3) Môđun của một số phức là một số phức.
    (4) Môđun của một số phức là một số thực dương.
    Trong bốn mệnh đề trên, có bao nhiêu mệnh đề đúng?
    A. 2
    B. 3
    C. 4
    D. 1
     
    1. Minh Toán
      (1) đúng, (2) sai, ta có thể lấy ví dụ là căn bậc hai của \( - 1\) là \(i\) và \( - i.\)
      (3) đúng vì mô đun của một số phức là một số phức (số thực cũng là số phức).
      (4) sai vì mô đun của một số phức là một số thực không âm. (0 cũng là só phức, môđun của 0 bằng 0).
       
      Minh Toán, 7/12/17
  13. rockman177

    rockman177 Mới đăng kí

    Tham gia ngày:
    8/5/17
    Bài viết:
    1
    Đã được thích:
    0
    Điểm thành tích:
    0
    Giới tính:
    Nam
    Cho z là một số phức tùy ý khác 0. Khẳng định nào sau đây sai?
    A. \(z - \overline z \) là số ảo
    B. \(z + \overline z \) là số thực
    C. \(z.\overline z \) là số thực
    D. \(\frac{z}{{\overline z }}\) là số ảo
     
    1. Minh Toán
      Giả sử \(z = a + bi \Rightarrow \overline z = a - bi\) ta có \(\frac{z}{{\overline z }} = \frac{{a + bi}}{{a - bi}} = \frac{{{{\left( {a + bi} \right)}^2}}}{{{a^2} + {b^2}}} = \frac{{{a^2} - {b^2}}}{{{a^2} + {b^2}}} + \frac{{2ab}}{{{a^2} + {b^2}}}i\) nên ta chưa thể khẳng định được \(\frac{z}{{\overline z }}\) là số ảo.
      Dễ dàng kiểm tra được A, B, C là những khẳng định đúng.
       
      Minh Toán, 7/12/17
  14. Cho số phức z có điểm biểu diễn là điểm A trong hình vẽ bên. Tìm phần thực, phần ảo của số phức \(\overline z \).
    [​IMG]
    A. Phần thực bằng 3, phẩn ảo bằng -2
    B. Phần thực bằng 3, phẩn ảo bằng 2
    C. Phần thực bằng 2, phẩn ảo bằng -3i
    D. Phần thực bằng 3, phẩn ảo bằng 2i
     
    1. Minh Toán
      Ta có \(z = 3 + 2i \Rightarrow \overline z = 3 - 2i.\)
       
      Minh Toán, 7/12/17
  15. vân cẩm

    vân cẩm Mới đăng kí

    Tham gia ngày:
    13/9/17
    Bài viết:
    31
    Đã được thích:
    0
    Điểm thành tích:
    0
    Giới tính:
    Nữ
    Trong các mệnh đề sau, hãy xác định mệnh đề đúng?
    A. \(\left( {z + \overline z } \right) \in \mathbb{R},\forall z \in \mathbb{C}.\)
    B. \(\left( {z - \overline z } \right) \in \mathbb{R},\forall z \in \mathbb{C}.\)
    C. \(\left( {z + 2\overline z } \right) \in \mathbb{R},\forall z \in \mathbb{C}.\)
    D. \(\left( {z - 2\overline z } \right) \in \mathbb{R},\forall z \in \mathbb{C}.\)
     
    1. Minh Toán
      Đặt \(z = a + bi \Rightarrow \overline z = a - bi \Rightarrow z + \overline z = 2a \in \mathbb{R}.\)
       
      Minh Toán, 7/12/17
  16. vân cẩm

    vân cẩm Mới đăng kí

    Tham gia ngày:
    13/9/17
    Bài viết:
    31
    Đã được thích:
    0
    Điểm thành tích:
    0
    Giới tính:
    Nữ
    Cho tam giác ABC đều cạnh a và nội tiếp trong đường tròn tâm O, AD là đường kính của đường tròn tâm O. Thể tích của khối tròn xoay sinh ra khi cho phần màu vàng nhạt (hình vẽ bên dưới) quay quanh đường thẳng AD bằng
    [​IMG]
    A. \(\frac{{23\pi {a^3}\sqrt 3 }}{{216}}\)
    B. \(\frac{{\pi {a^3}\sqrt 3 }}{{24}}\)
    C. \(\frac{{20\pi {a^3}\sqrt 3 }}{{217}}\)
    D. \(\frac{{4\pi {a^3}\sqrt 3 }}{{27}}\)
     
    1. Minh Toán
      thể tích của khối cầu là \({V_1} = \frac{4}{3}\pi {R^3} = \frac{4}{3}\pi {\left( {\frac{2}{3}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)^2} = \frac{{4\sqrt 3 }}{{27}}{a^3}\)
      Thể tích của khối nón có tam giác ABC thiết diện qua trục là:
      \({V_2} = \frac{1}{3}\pi {R^2}.h = \frac{1}{3}\pi {\left( {\frac{a}{2}} \right)^2}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2} = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{24}}\)
      Vậy thể tích phần tô đậm cần tính là \(V = {V_1} - {V_2} = \frac{{4\sqrt 3 }}{{27}}{a^3} - \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{24}} = \frac{{23\pi {a^3}\sqrt 3 }}{{216}}.\)
       
      Minh Toán, 7/12/17
  17. vetnang082015

    vetnang082015 Mới đăng kí

    Tham gia ngày:
    20/5/16
    Bài viết:
    44
    Đã được thích:
    2
    Điểm thành tích:
    0
    Giới tính:
    Nữ
    Cho số phức z = 6 + 7i. Tìm tọa độ điểm M là điểm biểu diễn số phức liên hợp của z.
    A. M (6; -7)
    B. M (-6; -7)
    C. M (-6; 7)
    D. M (6; 7)
     
    1. Minh Toán
      Ta có \(\overline z = 6 - 7i \Rightarrow M(6;7).\)
       
      Minh Toán, 7/12/17
  18. Võ Ngọc Mãnh

    Võ Ngọc Mãnh Mới đăng kí

    Tham gia ngày:
    1/11/17
    Bài viết:
    13
    Đã được thích:
    0
    Điểm thành tích:
    0
    Giới tính:
    Nam
    Cho số phức \(z = a + ib\) trong đó a, b là các số thực. Khẳng định nào sau đây là sai?
    A. z là số ảo khi \(\left\{ \begin{array}{l}a = 0\\b = 0\end{array} \right.\)
    B. z là số ảo khi \(a = 0\)
    C. z là số thực khi \(b = 0\,\)
    D. z là số thuần ảo khi \(\overline z \) là số thuần ảo
     
    1. Minh Toán
      z là số ảo khi \(b \ne 0.\)
       
      Minh Toán, 7/12/17
  19. võ thị mai anh

    võ thị mai anh Mới đăng kí

    Tham gia ngày:
    27/10/17
    Bài viết:
    14
    Đã được thích:
    0
    Điểm thành tích:
    0
    Giới tính:
    Nữ
    Cho số phức \(z = 4 - 3i\). Mệnh đề nào dưới đây sai?
    A. \(M\left( {4; - 3} \right)\) là điểm biểu diễn của z.
    B. \(\overline z = 4 + 3i\) là số phức liên hợp của z.
    C. z có phần thực là 4, phần ảo là 3.
    D. \(\left| z \right| = 5\)
     
    1. Minh Toán
      z có phần thực là 4, phần ảo là -3.
       
      Minh Toán, 7/12/17
  20. võ vũ đức

    võ vũ đức Mới đăng kí

    Tham gia ngày:
    5/10/17
    Bài viết:
    11
    Đã được thích:
    0
    Điểm thành tích:
    0
    Giới tính:
    Nam
    Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn hệ thức \({z^2} = {\left( {\overline z } \right)^2}\)?
    A. 0
    B. Vô số
    C. 1
    D. 2
     
    1. Minh Toán
      \(z = a + bi;a,b \in \mathbb{R}\)
      \( \Rightarrow {z^2} = {\left( {\overline z } \right)^2} \Leftrightarrow {\left( {a + bi} \right)^2} = {\left( {a - bi} \right)^2} \Leftrightarrow 2abi = - 2abi \Leftrightarrow ab = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 0\\b = 0\end{array} \right.\)
      Suy ra có vô số số phức z thỏa mãn đề bài.
       
      Minh Toán, 7/12/17

Chia sẻ trang này