Bài 2: CĂN BẬC HAI CỦA SỐ PHỨC & PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

I. LÝ THUYẾT

1. Căn bậc hai của số phức:
Cho số phức w, mỗi số phức z = a + bi thoả ${z^2}$= w được gọi là căn bậc hai của w.

• w là số thực: w = $a \in R$
• a = 0: Căn bậc hai của 0 là 0
• a > 0: Có hai căn bậc hai đối nhau là $\sqrt a $ và - $\sqrt a $
• a < 0: Có hai căn bậc hai đối nhau là $\sqrt {\left| a \right|} .i$ và – $\sqrt {\left| a \right|} .i$
• w là số phức: w = a + bi (a, b $ \in R$, b ¹ 0) và z = x + y.i là 1 căn bậc hai của w khi ${z^2} = w \Leftrightarrow {(x + yi)^2} = a + bi \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} - {y^2} = a\\2xy = b\end{array} \right.$
• Mỗi số phức đều có hai căn bậc hai đối nhau.
• VD: Tính căn bậc hai của w = –3 + 4i.

ĐS: có 2 căn bậc hai của w là ${z_1}$= 1 + 2i, ${z_2}$= –1 – 2i.

2. Phương trình bậc hai:
a) Phương trình bậc hai với hệ số a, b, c là số thực:
$a{x^2} + bx + c = 0\,\,(a \ne 0),\,\,\,\,\,\,\,\,\Delta = {b^2} - 4ac$.

• D ³ 0: Phương trình có 2 nghiệm thực ${x_{1,2}} = \frac{{ - b \pm \sqrt \Delta }}{{2a}}$
• D < 0: Phương trình có 2 nghiệm phức ${x_{1,2}} = \frac{{ - b \pm \sqrt {|\Delta |} .i}}{{2a}}$

VD: Giải phương trình ${x^3} + 8 = 0$
ĐS: Phương trình có 3 nghiệm ${x_1} = 1 + \sqrt 3 .i,\,\,\,\,{x_2} = 1 - \sqrt 3 .i,\,\,\,{x_3} = - 2$

b) Phương trình bậc hai với hệ số phức:
$A{x^2} + Bx + C = 0\,\,(A \ne 0),\,\,\,\,\,\,\,\,\Delta = {B^2} - 4AC,\,\,\Delta = a + bi$

• Δ= 0: Phương trình có nghiệm kép $x = \frac{{ - B}}{{2A}}$
• Δ¹ 0: Phương trình có 2 nghiệm ${x_{1,2}} = \frac{{ - B \pm \delta }}{{2A}}$ với $\delta $ là 1 căn bậc hai của D.

VD: Giải phương trình:
a) ${\rm{2}}{z^2} - iz + 1 = 0$;
b) ${z^2} + (3 - 2i)z + 5 - 5i = 0$;

Giải​

a) ${\rm{2}}{z^2} - iz + 1 = 0$ có D = –1 – 8 = – 9 = ${(3i)^2}$.
Phương trình có 2 nghiệm phức ${z_1} = \frac{{i + 3i}}{4} = i;\,{z_2} = \frac{{i - 3i}}{4} = - \frac{1}{2}i$
b) ${z^2} + (3 - 2i)z + 5 - 5i = 0$ có D = ${(3 - 2i)^2} - 4(5 - 5i) = 9 - 12i + 4{i^2} - 20 + 20i = - 15 + 8i$= ${(1 + 4i)^2}$ Phương trình có 2 nghiệm phức ${z_1} = \frac{{ - 3 + 2i + 1 + 4i}}{2} = - 1 + 3i$; ${z_2} = \frac{{ - 3 + 2i - 1 - 4i}}{2} = - 2 – i$

B. BÀI TẬP ÁP DỤNG
1) Giải các phương trình sau trên tập phức:
a) $ - 3{z^2} + 2z - 1 = 0$
b) $7{z^2} + 3z + 2 = 0$;
c) $5{z^2} - 7z + 11 = 0$

Hướng dẫn​

a) $\frac{{1 \pm i\sqrt 2 }}{3}$
b) $\frac{{ - 3 \pm i\sqrt {47} }}{{14}}$
c) $\frac{{7 \pm i\sqrt {171} }}{{10}}$

2) Giải các phương trình sau trên tập phức:
a) ${z^4} + {z^2} - 6 = 0$
b) b) ${z^4} + 7{z^2} + 10 = 0$

Hướng dẫn​

a) $ \pm \sqrt 2 ;\, \pm i\sqrt 3 $
b) $ \pm i\sqrt 2 ;\,\, \pm i\sqrt 5 $

3) Cho a, b, c Î R, a ¹ 0, ${z_1},\,{z_2}$ là hai nghiệm phương trình $a{z^2} + bz + c = 0$. Hãy tính ${z_1} + {z_2}$ và ${z_1}{z_2}$ theo các hệ số a, b, c.

Hướng dẫn​

${z_1} + {z_2} = - \frac{b}{a};\,{z_1}{z_2} = \frac{c}{a}$

4) Cho z = a + bi là một số phức. Hãy tìm một phương trình bậc hai với hệ số thực nhận z, $\bar z$ làm nghiệm.

Hướng dẫn​

Phương trình ẩn x nhận z, $\bar z$ làm nghiệm nên có (x – z)(x –$\bar z$) = 0 ↔ ${x^2} - (z + \bar z)x + z\bar z = 0$.
Với z + $\bar z$= 2a, z$\bar z$= ${a^2} + {b^2}$. Vậy phương trình đó là ${x^2} - 2ax + {a^2} + {b^2} = 0$

5) Chứng minh rằng nếu z là một căn bậc hai của w thì $\left| z \right| = \sqrt {\left| w \right|} $

Hướng dẫn​

z = a + bi là một căn bậc hai của w →${z^2} = w \Leftrightarrow \left| {{z^2}} \right| = \left| w \right| \Leftrightarrow {\left| z \right|^2} = \left| w \right| \Leftrightarrow \left| z \right| = \sqrt {\left| w \right|} $
VD: $3 - 4i = {\left( {2 - i} \right)^2}$ tức z = 2 - i là một căn bậc hai của w = 3 – 4i thì $\left| z \right| = \sqrt {\left| w \right|} $

6) Tìm nghiệm phức của các phương trình sau:
a) ${z^2} = z + 1$
b) ${z^2} + 2z + 5 = 0$
c) ${z^2} + (1 - 3i)z - 2(1 + i) = 0$

Hướng dẫn:​

a) ${z^2} - 2.z.\frac{1}{2} + \frac{1}{4} = \frac{5}{4} \Leftrightarrow {\left( {z - \frac{1}{2}} \right)^2} = \frac{5}{4} \Leftrightarrow z = \frac{1}{2} \pm \frac{{\sqrt 5 }}{2}$
b) ${z^2} + 2z + 5 = 0 \Leftrightarrow {\left( {z + 1} \right)^2} = - 4 \Leftrightarrow {\left( {z + 1} \right)^2} = {\left( {2i} \right)^2} \Leftrightarrow z + 1 = \pm 2i \Leftrightarrow z = - 1 \pm 2i$
c) $\Delta = {\left( {1 - 3i} \right)^2} + 8\left( {1 + i} \right) = 2i = {\left( {1 + i} \right)^2}$
Phương trình có hai nghiệm phức là ${z_1} = 2i;\,\,\,{z_2} = - 1 + i$.

7)
a) Hỏi công thức Viét về phương trình bậc hai với hệ số thực có đúng cho phương trình bậc hai với hệ số phức không? Vì sao?
b) Tìm hai số phức, biết tổng của chúng bằng 4 – i và tích của chúng bằng 5(1 – i).
c) Có phải mọi phương trình bậc hai (B, C là hai số phức) nhận hai nghiệm là hai số phức liên hợp không thực phải có các hệ số B, C là hai số thực? Vì sao? Điều ngược lại có đúng không?

Hướng dẫn​

a) Hai nghiệm của phương trình bậc hai hệ số phức là ${z_{1,2}} = \frac{{ - B \pm \delta }}{{2A}}\,\,\left( {{\delta ^2} = \Delta = {B^2} - 4AC} \right)$ nên ${z_1} + {z_2} = - \frac{B}{A};\,\,\,{z_1}{z_2} = \frac{C}{A}$.
b) Hai số cần tìm là nghiệm phương trình ${z^2} - \left( {4 - i} \right)z + 5\left( {1 - i} \right) = 0$
Có $\Delta = - 5 + 12i = {\left( {2 - 3i} \right)^2}$ nên hai số cần tìm là ${z_1} = 3 + i;\,\,{z_2} = 1 - 2i$.
c) Phương trình ${z^2} + Bz + C = 0$ có hai nghiệm là $z = a + bi;\,\,\,\bar z = a - bi$ thì $B = - \left( {z + \bar z} \right) = - 2a$ là số thực và $C = z.\bar z = {a^2} + {b^2}$ là số thực. Điều ngược lại không đúng.
8)
a) Giải phương trình sau: $\left( {{z^2} + i} \right)\left( {{z^2} - 2iz - 1} \right) = 0$
b) Tìm số phức B để phương trình ${z^2} + Bz + 3i = 0$ có tổng bình phương hai nghiệm bằng 8.

Hướng dẫn​

a) $\left( {{z^2} + i} \right){\left( {z - i} \right)^2} = 0$ có 3 nghiệm là $\frac{{\sqrt 2 }}{2} - \frac{{\sqrt 2 }}{2}i;\,\,\,\, - \frac{{\sqrt 2 }}{2} + \frac{{\sqrt 2 }}{2}i;\,\,\,\,\,\,i$.
b) Ta có ${z_1} + {z_2} = - B;\,\,\,{z_1}.{z_2} = 3i$ nên
$\begin{array}{l}
z_1^2 + z_2^2 = 8 \Leftrightarrow {\left( {{z_1} + {z_2}} \right)^2} - 2{z_1}{z_2} = 8 \Leftrightarrow {B^2} - 6i = 8\\
\Leftrightarrow {B^2} = {\left( {3 + i} \right)^2} \Leftrightarrow B = \pm \left( {3 + i} \right)
\end{array}$

9) Tìm nghiệm của phương trình $z + \frac{1}{z} = k$ trong các trường hợp sau:
a) k = 1;
b) k = √2;
c) k = 2i.

Hướng dẫn​

$z + \frac{1}{z} = k \Leftrightarrow {z^2} - kz + 1 = 0$ có 2 nghiệm ${z_{1,2}} = \frac{{k \pm \delta }}{2}\,\,\,\left( {{\delta ^2} = \Delta = {k^2} - 4} \right)$
a) k = 1 thì ${z_{1,2}} = \frac{1}{2} \pm \frac{{\sqrt 3 }}{2}i\,\,$
b) k = √2 thì ${z_{1,2}} = \frac{{\sqrt 2 }}{2} \pm \frac{{\sqrt 2 }}{2}i\,\,$ c) $k = 2i \Rightarrow {z_{1,2}} = \left( {1 \pm \sqrt 2 } \right)i\,\,$

10) Giải phương trình và biểu diễn tập nghiệm trên mặt phẳng phức mỗi phương trình sau:
a) ${z^3} + 1 = 0$;
b) ${z^4} - 1 = 0$;
c) ${z^4} + 4 = 0$;
d) $8{z^4} + 8{z^3} = z + 1$

Hướng dẫn​

a) ${z^3} + 1 = 0 \Leftrightarrow \left( {z + 1} \right)\left( {{z^2} - z + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow z = - 1,\,\,\,z = \frac{1}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}i,\,\,z = \frac{1}{2} - \frac{{\sqrt 3 }}{2}i$.
b) ${z^4} - 1 = 0 \Leftrightarrow {z^4} = 1 \Leftrightarrow {z^2} = \pm 1 \Leftrightarrow z = \pm 1\,,\,\,z = \pm i$
c) ${z^4} + 4 = 0 \Leftrightarrow {z^4} = - 4 \Leftrightarrow {z^2} = \pm 2i \Leftrightarrow z = \pm \left( {1 - i} \right),\,\,z = \pm \left( {1 + i} \right)$
d) $\left( {z + 1} \right)\left( {8{z^3} - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left( {z + 1} \right)\left( {2z - 1} \right)\left( {4{z^2} + 2z + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow z = - 1,\,z = \frac{1}{2},\,z = - \frac{1}{4} \pm \frac{{\sqrt 3 }}{4}i$