Hãy đăng ký thành viên để có thể dễ dàng hỏi bài, trao đổi, giao lưu và chia sẻ về kiến thức
  1. Thủ thuật: Nếu muốn tìm lời giải một câu vật lý trên Google, bạn hãy gõ: tanggiap + câu hỏi.
    Dismiss Notice

Bài 3. DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC

Thảo luận trong 'Bài 1. Các dạng toán liên quan đến số phức' bắt đầu bởi Doremon, 6/12/14.

  1. Doremon

    Doremon Moderator Thành viên BQT

    Tham gia ngày:
    29/9/14
    Bài viết:
    1,299
    Đã được thích:
    210
    Điểm thành tích:
    63
    Giới tính:
    Nam
    I. LÝ THUYẾT
    1. Số phức dưới dạng lượng giác:
    a) Acgumen của số phức z ≠ 0:

    • Cho số phức z = a + bi ≠ 0 được biểu diễn bởi điểm M(a; b) trên mặt phẳng Oxy. Số đo (rađian) của góc $\varphi = (\overrightarrow {Ox} ,\overrightarrow {OM} )$ được gọi là một acgumen của z.
    • Mọi acgumen của z sai khác nhau là 2kπ tức là có dạng φ + 2kπ ($k \in Z$ )
    (z và nz sai khác nhau k2p với n là một số thực khác 0).
    VD: Biết z ≠0 có một acgumen là φ. Hãy tìm một acgumen của mỗi số phức sau: –z; $\overline z $; –$\overline z $; 1/z.

    • z biểu diễn bởi $\overrightarrow {OM} $ thì –z biểu diễn bởi –$\overrightarrow {OM} $ nên có acgumen là φ + (2k + 1)π.
    • $\overline z $ biểu diễn bởi M¢ đối xứng M qua Ox nên có acgumen là – φ + 2kπ
    • –$\overline z $ biểu diễn bởi –$\overrightarrow {OM'} $ nên có acgumen là – φ + (2k + 1)π
    • $\frac{1}{z} = {z^{ - 1}} = \frac{{\bar z}}{{|z{|^2}}}$, vì $\frac{1}{{|z{|^2}}}$ là một số thực nên ${z^{ - 1}}$ có cùng acgumen với $\overline z $ là – φ + 2kπ.
    b) Dạng lượng giác của số phức z = a + bi:
    • Dạng lượng giác của số phức z ≠ 0 là z = r(cosφ + isinφ) với φ là một acgumen của z.
    $z = a + bi \Leftrightarrow z = r\left( {cos\varphi + isin\varphi } \right)\,\,\,{\rm{V\^o \`u i }}r = \sqrt {{a^2} + {b^2}} ;\,\,\,cos\varphi = \frac{a}{r};\,\,sin\varphi = \frac{b}{r}$

    VD

    • Số –1 có môđun là 1 và một acgumen bằng p nên có dạng lượng giác là z = cosπ + sinπ
    • Số 1 +$\sqrt 3 $ có môđun bằng 2 và một acgumen bằng φ thoả cosφ = 1/2 và sinφ = $\frac{{\sqrt 3 }}{2}$. Lấy φ = π/3 thì 1 +$\sqrt 3 $ = 2[cos(π/3) + isin(π/3)]
    • Số 0 có môđun là 0 và một acgumen tuỳ ý nên có dạng lượng giác 0 = 0(cosφ+ isinφ)
    Chú ý:
    • Số – cosφ –isinφ có dạng lượng giác là cos( φ+ p) + sin( φ+ p)
    • Số cosφ – isinφ có dạng lượng giác là cos(- φ) + isin(- φ)
    • Số – cosφ + isinφ có dạng lượng giác là cos(π – φ) + isin(π – φ)
    2. Nhân, chia số phức dưới dạng lượng giác:
    Cho z = r(cos φ + isin φ) và z' = r'(cosφ’ + isinφ’) với r, r ≥ 0
    $z.z' = r.r'[cos(\varphi + \varphi ') + isin(\varphi + \varphi ')]$ và $\frac{z}{{z'}} = \frac{r}{{r'}}[cos(\varphi - \varphi ') + isin(\varphi - \varphi ')]$ (r' ≠ 0)

    • Ta có $\frac{1}{{z'}}$ và $\overline z $ có cùng acgumen là – φ’ + k2p nên $\frac{1}{{z'}} = \frac{1}{{r'}}[\cos ( - \varphi ') + i\sin ( - \varphi ')]$.
    • Do đó $\frac{z}{{z'}} = \frac{r}{{r'}}[\cos (\varphi - \varphi ') + i\sin (\varphi - \varphi ')];\,r' \ne 0$
    VD: ${z_1} = 2\left( {\cos \frac{{3\pi }}{4} + i\sin \frac{{3\pi }}{4}} \right)$ và ${z_2} = \sqrt 2 \left( {\sin \frac{{5\pi }}{{12}} + i\cos \frac{{5\pi }}{{12}}} \right)$. Tính ${z_1}.{z_2}$ và $\frac{{{z_1}}}{{{z_2}}}$
    Với ${z_2} = \sqrt 2 \left( {\cos \frac{\pi }{{12}} + i\sin \frac{\pi }{{12}}} \right)$; ${z_1}.{z_2}$ = $2\sqrt 2 \left( {\cos \frac{{5\pi }}{6} + i\sin \frac{{5\pi }}{6}} \right) = 2\sqrt 2 \left( { - \frac{{\sqrt 3 }}{2} + \frac{1}{2}i} \right) = - \sqrt 6 + \sqrt 2 .i$
    và $\frac{{{z_1}}}{{{z_2}}} = \frac{2}{{\sqrt 2 }}\left( {\cos \frac{{2\pi }}{3} + i\sin \frac{{2\pi }}{3}} \right) = \sqrt 2 \left( { - \frac{1}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}i} \right) = - \frac{{\sqrt 2 }}{2} + \frac{{\sqrt 6 }}{2}i$

    3. Công thức Moa–vrơ (Moivre) và ứng dụng:
    a) Công thức Moa–vrơ: Cho số phức z = r(cosφ + isinφ)
    ${\left[ {r(cos\varphi + isin\varphi )} \right]^n} = {r^n}(cosn\varphi + isinn\varphi )$ ($n \in N*$)

    b) Căn bậc hai số phức dạng lượng giác:`
    Mọi số phức z = r(cosφ + isinφ) (r > 0) có 2 căn bậc hai là
    $\delta = \sqrt r \left( {cos\frac{\varphi }{2} + isin\frac{\varphi }{2}} \right)$ và ${\delta _2} = - \sqrt r \left( {\cos \frac{\varphi }{2} + i\sin \frac{\varphi }{2}} \right){\rm{ }} \Rightarrow {\delta _2} = \sqrt r \left[ {cos\left( {\frac{\varphi }{2} + \pi } \right) + isin\left( {\frac{\varphi }{2} + \pi } \right)} \right]$
    VD: Đổi sang dạng lượng giác rồi tính: ${\left( {1 + i} \right)^{100}}$ và căn bậc hai của w = 1 +$\sqrt 3 .i$

    • Ta có 1 + i= $\sqrt 2 \left( {\frac{1}{{\sqrt 2 }} + \frac{1}{{\sqrt 2 }}i} \right) = \sqrt 2 \left( {\cos \frac{\pi }{4} + i\sin \frac{\pi }{4}} \right)$.
    • Do đó ${\left( {1 + i} \right)^{100}}$= ${\left[ {\sqrt 2 \left( {\cos \frac{\pi }{4} + i\sin \frac{\pi }{4}} \right)} \right]^{100}} = {2^{50}}\left( {\cos 25\pi + i\sin 25\pi } \right)$
    • w = 1 +$\sqrt 3 .i$ = $2\left( {\cos \frac{\pi }{3} + i\sin \frac{\pi }{3}} \right)$ có 2 căn bậc hai là $\sqrt 2 \left( {\cos \frac{\pi }{6} + i\sin \frac{\pi }{6}} \right)$ và $\sqrt 2 \left( {\cos \frac{{7\pi }}{6} + i\sin \frac{{7\pi }}{6}} \right)$.

    II. BÀI TẬP ÁP DỤNG
    1) Dùng công thức khai triển nhị thức Niutơn ${\left( {1 + i} \right)^{19}}$ và công thức Moavrơ để tính $C_{19}^0 - C_{19}^1 + C_{19}^4 - ... + C_{19}^{16} - C_{19}^{18}$
    Hướng dẫn
    $1 + i = \sqrt 2 \left( {\cos \frac{\pi }{4} + i\sin \frac{\pi }{4}} \right)$
    Ta có ${\left( {1 + i} \right)^{19}} = \sum\limits_{k = 0}^{n = 19} {C_n^k{i^k}} = C_{19}^0{i^0} + C_{19}^1{i^1} + C_{19}^2{i^2} + ... + C_{19}^{18}{i^{18}} + C_{19}^{19}{i^{19}}$ với phần thực là $C_{19}^0 - C_{19}^2 + C_{19}^4 - ... + C_{19}^{16} - C_{19}^{18}$
    ${\left( {1 + i} \right)^{19}} = {\sqrt 2 ^{19}}\left( {\cos \frac{{19\pi }}{4} + i\sin \frac{{19\pi }}{4}} \right) = {\sqrt 2 ^{19}}\left( { - \frac{{\sqrt 2 }}{2} + i\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right) = - {2^9} + {2^9}i$ có phần thực $ - {2^9} = - 512$
    Vậy $C_{19}^0 - C_{19}^2 + C_{19}^4 - ... + C_{19}^{16} - C_{19}^{18} = - 512$

    2) Tính: $\,\,\,{\left( {\frac{i}{{1 + i}}} \right)^{2004}};\,\,\,\,{\left( {\frac{{5 + 3\sqrt 3 i}}{{1 - 2\sqrt 3 i}}} \right)^{21}}$
    Hướng dẫn
    ${\left( {\frac{i}{{1 + i}}} \right)^{2004}} = {\left( {\frac{{1 + i}}{2}} \right)^{2004}} = {\left[ {\frac{{\sqrt 2 }}{2}\left( {\cos \frac{\pi }{4} + i\sin \frac{\pi }{4}} \right)} \right]^{2004}} = \frac{1}{{{2^{1002}}}}\left( {\cos \pi + i\sin \pi } \right) = - \frac{1}{{{2^{1002}}}}$
    $\,{\left( {\frac{{5 + 3\sqrt 3 i}}{{1 - 2\sqrt 3 i}}} \right)^{21}} = {\left( { - 1 + \sqrt 3 i} \right)^{21}} = {\left[ {2\left( {\cos \frac{{2\pi }}{3} + i\sin \frac{{2\pi }}{3}} \right)} \right]^{21}} = {2^{21}}\left( {\cos 14\pi + i\sin 14\pi } \right) = {2^{21}}$

    3) Cho số phức $w = - \frac{1}{2}\left( {1 + \sqrt 3 i} \right)$. Tìm các số nguyên dương n để ${w^n}$ là số thực. Hỏi có số nguyên dương m để ${w^m}$ là số ảo?
    Hướng dẫn
    $w = - \frac{1}{2}\left( {1 + \sqrt 3 i} \right) = \cos \frac{{4\pi }}{3} + i\sin \frac{{4\pi }}{3} \Rightarrow {w^n} = \cos \frac{{4n\pi }}{3} + i\sin \frac{{4n\pi }}{3}$
    W là số thực khi $\sin \frac{{4n\pi }}{3} = 0$, điều này xảy ra khi n là bội nguyên dương của 3.
    Không có m nào để ${w^m}$ là số ảo.
     
    Chỉnh sửa cuối: 6/12/14

    Bình Luận Bằng Facebook

  2. Tống Thanh Hà

    Tống Thanh Hà Mới đăng kí

    Tham gia ngày:
    16/2/16
    Bài viết:
    17
    Đã được thích:
    1
    Điểm thành tích:
    3
    Thầy cho em xin ít tài liệu học kiến thức cơ bản để đề vận dụng.... đc khộng ạ... nếu đc xin thầy gửi qua email hộ em với ạ... dokimhuyen@gmail.com em cảm ơn!
     
  3. Xác định tập hợp các điểm trong hệ tọa độ vuông góc biểu diễn số phức \(z = x + iy\) thỏa mãn điều kiện \(\left| z \right| = 2\).
    A. Đường tròn \({x^2} + {y^2} = 4\)
    B. Đường thẳng y=2
    C. Đường thẳng x=2
    D. Hai đường thẳng x=2 và y=2
     
    1. Minh Toán
      \(\begin{array}{l} z = \left( {5 + 3i} \right)\left( {3 - 5i} \right) = 30 - 16i\\ \Rightarrow \left| z \right| = 16 \end{array}\)
       
      Minh Toán, 9/12/17
  4. Vân Anh2k

    Vân Anh2k Mới đăng kí

    Tham gia ngày:
    6/10/17
    Bài viết:
    37
    Đã được thích:
    0
    Điểm thành tích:
    0
    Giới tính:
    Nữ
    Trên mặt phẳng phức, tập hợp tất cả các số phức z thỏa mãn \(\left| {z - i} \right| = 1\) là đường tròn có phương trình nào sau đây?
    A. \({x^2} + {y^2} - 2x - 1 = 0.\)
    B. \({x^2} + {y^2} - 2x + y - 1 = 0.\)
    C. \({x^2} + {y^2} - 4x + 2y - 3 = 0\)
    D. \({x^2} + {y^2} - 2y = 0\)
     
    1. Minh Toán
      Đặt \(z = x + yi\,(x,y \in R)\)
      M(x;y) là điểm biểu diễn của số phức z trên mặt phẳng phức
      \(z - i = x + \left( {y - 1} \right)i \Rightarrow \left| {z - i} \right| = \sqrt {{x^2} + {{\left( {y - 1} \right)}^2}} = 1\)
      \(\Rightarrow {x^2} + {(y - 1)^2} = 1 \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} - 2y = 0.\)
       
      Minh Toán, 9/12/17
  5. goaphuden321123

    goaphuden321123 Mới đăng kí

    Tham gia ngày:
    7/5/17
    Bài viết:
    2
    Đã được thích:
    0
    Điểm thành tích:
    0
    Giới tính:
    Nữ
    Tìm số z phức biết phần thực bằng 12 và môđun của z bằng 13.
    A. \(z = 5 \pm 12i\)
    B. \(z = 1 \pm 12i\)
    C. \(z = 12 \pm 5i\)
    D. \(z = 12\pm i\)
     
    1. Minh Toán
      Gọi \(z = a + bi\,\left( {a,b \in\mathbb{R} } \right)\) ta có: a=12.
      \(\begin{array}{l} \left| z \right| = 13 \Rightarrow \sqrt {{a^2} + {b^2}} = 13\\ \Rightarrow \sqrt {{{12}^2} + {b^2}} = 13 \Leftrightarrow b = \pm 5 \end{array}\)
       
      Minh Toán, 9/12/17
  6. gobinop33

    gobinop33 Mới đăng kí

    Tham gia ngày:
    10/10/17
    Bài viết:
    5
    Đã được thích:
    0
    Điểm thành tích:
    0
    Giới tính:
    Nam
    Cho số phức \(z = a + (a - 1)i\,(a \in\mathbb{R} )\). Tìm a để \(\left| z \right| = 1\).
    A. \(a = \frac{1}{2}\)
    B. \(a = \frac{2}{3}\)
    C. \(a =0\) hoặc \(a =1\)
    D. \(\left| a \right| = 1\)
     
    1. Minh Toán
      Ta có: \(\left| z \right| = \sqrt {{a^2} + {{(a - 1)}^2}} = \sqrt {2{a^2} - 2a + 1}\)
      \(\left| z \right| = 1 \Leftrightarrow \sqrt {2{a^2} - 2a + 1} = 1 \Leftrightarrow 2{a^2} - 2a + 1 = 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} a = 0\\ a = 1 \end{array} \right.\)
       
      Minh Toán, 9/12/17
  7. gobinop33

    gobinop33 Mới đăng kí

    Tham gia ngày:
    10/10/17
    Bài viết:
    5
    Đã được thích:
    0
    Điểm thành tích:
    0
    Giới tính:
    Nam
    Gọi M là điểm biểu diễn số phức z trong mặt phẳng phức. Số phức -z được biểu diễn bởi điểm nào sau đây?
    A. Điểm M’ đối xứng với M qua gốc tọa độ O
    B. Điểm M’ đối xứng với M qua Oy
    C. Điểm M’ đối xứng với M qua Ox
    D.Không xác định được
     
    1. Minh Toán
      Số phức -z được biểu diễn bởi điểm M’(-a;-b) đối xứng với M qua O.
       
      Minh Toán, 9/12/17
  8. goby199

    goby199 Mới đăng kí

    Tham gia ngày:
    30/6/16
    Bài viết:
    2
    Đã được thích:
    0
    Điểm thành tích:
    0
    Giới tính:
    Nữ
    Biết \(M\left( {2; - 1} \right),N\left( {3;2} \right)\) lần lượt là hai điểm biểu diễn số phức \({z_1},{z_2}\) trên mặt phẳng phức. Tính môđun của số phức \(\omega = z_1^2 + {z_2}.\)
    A. \(\left| \omega \right| = \sqrt {10}\)
    B. \(\left| \omega \right| = \sqrt {68}\)
    C. \(\left| \omega \right| =2 \sqrt {10}\)
    D. \(\left| \omega \right| =4 \sqrt {2}\)
     
    1. Minh Toán
      Ta có: \(z_1^2 + {z_2} = {(2 - i)^2} + 3 + 2i = 4 - 4i - 1 + 3 + 2i = 6 - 2i\)
      Vậy: \(\left| \omega \right| = 2\sqrt {10} .\)
       
      Minh Toán, 9/12/17
  9. gobinop33

    gobinop33 Mới đăng kí

    Tham gia ngày:
    10/10/17
    Bài viết:
    5
    Đã được thích:
    0
    Điểm thành tích:
    0
    Giới tính:
    Nam
    Cho số phức \(z = 6 + 7i.\) Tìm điểm biểu diễn của \(\overline z\) trên mặt phẳng phức.
    A. M(6;7)
    B. M(6;-7)
    C. M(-6;7)
    D. M(-6;-7)
     
    1. Minh Toán
      Ta có: \(z = 6 + 7i \Rightarrow \overline z = 6 - 7i.\)
       
      Minh Toán, 9/12/17
  10. goo ara

    goo ara Mới đăng kí

    Tham gia ngày:
    12/9/17
    Bài viết:
    1
    Đã được thích:
    0
    Điểm thành tích:
    1
    Giới tính:
    Nữ
    Tìm số phức z thỏa \(\left| z \right| + z = 3 + 4i.\)
    A. \(z = - \frac{7}{6} + 4i\)
    B. \(z = - \frac{7}{6} - 4i\)
    C. \(z = \frac{7}{6} - 4i\)
    D. \(z =- 7+4i\)
     
    1. Minh Toán
      Đặt: \(z = a + bi,\,\,(a,b \in \mathbb{R}),\) ta có: \(a + \sqrt {{a^2} + {b^2}} + bi = 3 + 4i \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} b = 4\\ a + \sqrt {{a^2} + {b^2}} = 3 \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} b = 4\\ a = - \frac{7}{6} \end{array} \right..\)
       
      Minh Toán, 9/12/17
  11. An Nhiên

    An Nhiên Mới đăng kí

    Tham gia ngày:
    5/5/17
    Bài viết:
    9
    Đã được thích:
    1
    Điểm thành tích:
    0
    Giới tính:
    Nữ
    Cho A, B, C lần lượt là các điểm biểu diễn của số phức 1+i, 2+4i, 6+5i trên mặt phẳng phức. Tìm số phức z có điểm biểu diễn là D sao cho ABDC là hình bình hành.
    A. z=7+8i
    B. z=5+2i
    C. z=-3
    D. z=-3+8i
     
    1. Minh Toán
      Theo giả thuyết ta có \(A(1;1),\,B(2;4),\,C(6;5).\)
      Gọi \(D(x,y)\) ta có: \(\overrightarrow {AB} = \left( {1;3} \right),\,\overrightarrow {CD} = \left( {x - 6;y - 5} \right)\)
      Tứ giác ABDC là hình bình hành khi: \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {CD} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 1 = x - 6\\ 3 = y - 5 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = 7\\ y = 8 \end{array} \right..\)
       
      Minh Toán, 9/12/17
  12. an trang

    an trang Mới đăng kí

    Tham gia ngày:
    30/10/17
    Bài viết:
    2
    Đã được thích:
    0
    Điểm thành tích:
    1
    Giới tính:
    Nữ
    Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện \(\left| {z - i} \right| = 1\) trên mặt phẳng phức.
    A. Đường thẳng đi qua hai điểm \(A(1;1)\) và \(B(-1;1)\)
    B. Hai điểm \(A(1;1)\) và \(B(-1;1)\)
    C. Đường tròn tâm \(I(0;1)\) bán kính \(R=1\)
    D. Đường tròn tâm \(I(0;-1)\) bán kính \(R=1\)
     
    1. Minh Toán
      Đặt \(z = x + yi\left( {x,y \in \mathbb{R}} \right)\), khi đó
      \(\left| {z - i} \right| = 1 \Leftrightarrow \left| {x + \left( {y - 1} \right)i} \right| = 1 \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} + {{\left( {y - 1} \right)}^2}}\) \(= 1 \Leftrightarrow {x^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 1\)
      Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đừờng tròn tâm I(0;1) bán kính R=1.
       
      Minh Toán, 9/12/17
  13. andytrihuynh

    andytrihuynh Mới đăng kí

    Tham gia ngày:
    5/12/16
    Bài viết:
    4
    Đã được thích:
    1
    Điểm thành tích:
    0
    Giới tính:
    Nam
    Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho các điểm \(A\left( {0;4} \right),B\left( {1;4} \right),C\left( {1; - 1} \right).\) Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Biết rằng G là điểm biểu diễn của số phức z. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
    A. \(z=2-i\)
    B. \(z = 3 + \frac{3}{2}i\)
    C. \(z=2+i\)
    D. \(z = 3 - \frac{3}{2}i\)
     
    1. Minh Toán
      Ta có \(G\left( {\frac{{4 + 1 + 1}}{3};\frac{{0 + 4 - 1}}{3}} \right) \Rightarrow G\left( {2;1} \right) \Rightarrow z = 2 + i.\)
       
      Minh Toán, 9/12/17
  14. ANA ĐÀ LẠT

    ANA ĐÀ LẠT Mới đăng kí

    Tham gia ngày:
    4/11/17
    Bài viết:
    8
    Đã được thích:
    1
    Điểm thành tích:
    3
    Giới tính:
    Nữ
    Cho số phức \(z = 5 - 4i\). Số phức đối của z có điểm biểu diễn là:
    A. \(\left( { - 5;4} \right)\)
    B. \(\left( { - 5; - 4} \right)\)
    C. \(\left( {5; - 4} \right)\)
    D. \(\left( {5;4} \right)\)
     
    1. Minh Toán
      \(z = 5 - 4i \Rightarrow - z = - 5 + 4i\) \( \Rightarrow \) số đối của z có điểm biểu diễn là \(\left( { - 5;4} \right).\)
       
      Minh Toán, 9/12/17
  15. anadopham3688

    anadopham3688 Mới đăng kí

    Tham gia ngày:
    17/10/16
    Bài viết:
    8
    Đã được thích:
    1
    Điểm thành tích:
    0
    Giới tính:
    Nữ
    Tính tích môđun của tất cả các số phức z thỏa mãn \(\left| {2z - 1} \right| = \left| {\overline z + 1 + i} \right|,\) đồng thời điểm biểu diễn của z trên mặt phẳng tọa độ thuộc đường tròn có tâm \(I\left( {1;1} \right)\) và bán kính \(R = \sqrt 5 .\)
    A. 1
    B. \(3\sqrt 5 .\)
    C. \(\sqrt 5 .\)
    D. 3
     
    1. Minh Toán
      Đặt \(z = x + yi\,\,\left( {x,y \in \mathbb{R}} \right)\). Khi đó: \(\left| {2{\rm{z}} - 1} \right| = \left| {\overline z + 1 + i} \right| \Leftrightarrow \left| {2{\rm{x}} - 1 + 2yi} \right| = \left| {x + 1 + \left( {1 - y} \right)i} \right|\)
      \( \Leftrightarrow {\left( {2{\rm{x}} - 1} \right)^2} + 4{y^2} = {\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {1 - y} \right)^2} \Leftrightarrow 3{{\rm{x}}^2} + 3{y^2} - 6{\rm{x}} + 2y - 1 = 0\,\,\left( 1 \right)\)
      Mà điểm biểu diễn \({M_z} \in \left( C \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 5\,\,\,\left( 2 \right)\)
      Từ (1), (2) suy ra: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 0;y = - 1\\x = 2;y = - 1\end{array} \right. \Rightarrow \left| {{z_1}} \right|\left| {{z_2}} \right| = \sqrt 5 .\)
       
      Minh Toán, 9/12/17
  16. andytrihuynh

    andytrihuynh Mới đăng kí

    Tham gia ngày:
    5/12/16
    Bài viết:
    4
    Đã được thích:
    1
    Điểm thành tích:
    0
    Giới tính:
    Nam
    Tìm phần thực của số phức z biết: \(z + \frac{{{{\left| z \right|}^2}}}{z} = 10\)
    A. 10
    B. 5
    C. -5
    D. \(\sqrt {10} \)
     
    1. Minh Toán
      Ta có: \(z + \frac{{{{\left| z \right|}^2}}}{z} = z + \bar z\)
      Đặt \(z = a + bi \Rightarrow z + \frac{{{{\left| z \right|}^2}}}{z} = z + \bar z = 2a = 10 \Rightarrow a = 5.\)
       
      Minh Toán, 9/12/17
  17. andytrihuynh

    andytrihuynh Mới đăng kí

    Tham gia ngày:
    5/12/16
    Bài viết:
    4
    Đã được thích:
    1
    Điểm thành tích:
    0
    Giới tính:
    Nam
    Cho số phức \(z\) có phần thực dương và thỏa \(\bar z - \frac{{\left( {5 + \sqrt 3 i} \right)}}{z} - 1 = 0\). Tính môđun của z.
    A. \(\left| z \right| = 2\).
    B. \(\left| z \right| = 3\).
    C. \(\left| z \right| = 4\).
    D. \(\left| z \right| = \sqrt 7 \).
     
    1. Minh Toán
      Ta có \(\bar z - \frac{{\left( {5 + \sqrt 3 i} \right)}}{z} - 1 = 0 \Leftrightarrow {\left| z \right|^2} - \left( {5 + \sqrt 3 i} \right) = z\).
      Đặt \(z = a + bi,\,\,a,b \in \mathbb{R},\,\,a > 0\). Ta có.
      \({a^2} + {b^2} - 5 - \sqrt 3 i = a + bi \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} + {b^2} - 5 = a\\ - \sqrt 3 = b\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} - a - 2 = 0\\b = - \sqrt 3 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}a = - 1\\a = 2\end{array} \right.\\b = - \sqrt 3 \end{array} \right.\).
      Vậy: \(z = 2 - \sqrt 3 i \Rightarrow \left| z \right| = 7.\)
       
      Minh Toán, 9/12/17
  18. Anger of death

    Anger of death Mới đăng kí

    Tham gia ngày:
    1/8/17
    Bài viết:
    5
    Đã được thích:
    1
    Điểm thành tích:
    0
    Giới tính:
    Nữ
    Cho số phức z thỏa mãn điều kiện \(\left| {z - 1} \right| = \sqrt 2 \). Tìm giá trị lớn nhất của \(T = \left| {z + i} \right| + \left| {z - 2 - i} \right|.\)
    A. \(\max T = 8\sqrt 2 \)
    B. \(\max T = 4\)
    C. \(\max T = 4\sqrt 2 \)
    D. \(\max T = 8\)
     
    1. Minh Toán
      Đặt \(z = x + yi\). Ta có: \(\left| {z - 1} \right| = \sqrt 2 \Leftrightarrow \left| {x + yi - 1} \right| = \sqrt 2 \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} + {y^2} = 2\)
      Khi đó: \(T = \left| {z + 1} \right| + \left| {z - 2 - i} \right| = \left| {x + yi + i} \right| + \left| {x + yi - 2 - i} \right| = \sqrt {{x^2} + {{\left( {y + 1} \right)}^2}} + \sqrt {{{\left( {x - 2} \right)}^2} + {{\left( {y - 1} \right)}^2}} \)
      \( \le \sqrt {\left( {{1^2} + {1^2}} \right).\left[ {{x^2} + {{\left( {y + 1} \right)}^2} + {{\left( {x - 2} \right)}^2} + {{\left( {y - 1} \right)}^2}} \right]} \)
      \( = \sqrt {2\left( {2{x^2} - 4x + 4 + 2{y^2} + 2} \right)} = \sqrt {2\left( {2.\left( {{{\left( {x - 1} \right)}^2} + {y^2}} \right) + 4} \right)} = \sqrt {2.\left( {4 + 4} \right)} = 4\)
      Vậy \(\max T = 4.\)
       
      Minh Toán, 9/12/17
  19. anh anh

    anh anh Mới đăng kí

    Tham gia ngày:
    14/4/17
    Bài viết:
    3
    Đã được thích:
    1
    Điểm thành tích:
    0
    Giới tính:
    Nữ
    Cho hai số phức \({z_1},{z_2}.\) Chọn mệnh đề đúng.
    A. Nếu \(\left| {{z_1}} \right| = \left| {{z_2}} \right|\) thì \({z_1} = \overline {{z_2}} .\)
    B. ếu \({z_1} = \overline {{z_2}} \) thì \(\left| {{z_1}} \right| = \left| {{z_2}} \right|.\) N
    C.Nếu \(\left| {{z_1}} \right| = \left| {{z_2}} \right|\) thì \({z_1} = {z_2}.\)
    D. Nếu \(\left| {{z_1}} \right| = \left| {{z_2}} \right|\) thì các điểm biểu diễn cho \({z_1}\) và \({z_2}\) tương ứng trên mặt phẳng tọa độ sẽ đối xứng nhau qua gốc tọa độ O.
     
    1. Minh Toán
      Ta có: \({z_1} = \overline {{z_2}} = a + bi \Rightarrow {z_2} = a - bi \Rightarrow \left| {{z_1}} \right| = \left| {{z_2}} \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} .\)
       
      Minh Toán, 9/12/17
  20. Tú Tài

    Tú Tài Mới đăng kí

    Tham gia ngày:
    6/12/17
    Bài viết:
    3
    Đã được thích:
    0
    Điểm thành tích:
    1
    Giới tính:
    Nam
    Cho số phức \(z = 2 - 3i\). Tính môđun của số phức \(w = z - 1.\)
    A. \(\left| w \right| = \sqrt {13} \)
    B. \(\left| w \right| = 4\)
    C. \(\left| w \right| = \sqrt {10} \)
    D. \(\left| w \right| = 2\sqrt 5 \)
     
    1. Minh Toán
      Ta có \(w = z - 1 = 1 - 3i \Rightarrow \left| w \right| = \sqrt {{1^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}} = \sqrt {10} .\)
       
      Minh Toán, 9/12/17

Chia sẻ trang này