Bài tập trắc nghiệm hình lăng trụ

Bài 1
Hình lăng trụ có thể có số cạnh là số nào sau đây?
A. 2015
B. 2017
C. 2018
D. 2016

Hướng dẫn​

Nếu hình lăng trụ có đáy là đa giác n cạnh thì số cạnh đáy của hình lăng trụ là 2n và số cạnh bên là n ⇒ tổng số cạnh của hình lăng trụ là 3n. Vậy số cạnh của hình lăng trụ là một số chia hết cho 3.
⇒ Loại A, B, C
D đúng vì 2016 chia hết cho 3


Bài 2
Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có thể tích bằng 30 (đơn vị thể tích). Thể tích của khối tứ diện AB'C'C là:
A. \({V_{AB'C'C}} = 12,5\)
B. \({V_{AB'C'C}} = 10\)
C. \({V_{AB'C'C}} = 7,5\)
D. \({V_{AB'C'C}} = 5\)

Hướng dẫn​

Khối B'ABC có chung đường cao kẻ từ đỉnh B’ đến đáy (ABC) và chung đáy ABC với hình lăng trụ ABC.A'B'C'. Do vậy \(\frac{{{V_{B'ABC}}}}{{{V_{ABCA'B'C'}}}} = \frac{1}{3}\)
Tương tự ta có \(\frac{{{V_{AA'B'C'}}}}{{{V_{ABCA'B'C'}}}} = \frac{1}{3}\), khi đó:
\(\Rightarrow {V_{AB'C'C}} = \frac{1}{3}{V_{ABCA'B'C'}} \Rightarrow {V_{AB'C'C}} = \frac{{30}}{3} = 10\).

Bài 3
Cho khối lăng trụ tam giác \(ABC.A'B'C'\) có thể tích bằng 30 (đơn vị thể tích). Tính thể tích V của khối tứ diện \(AB'C'C\).
A. V=12,5 (đơn vị thể tích)
B. V=10 (đơn vị thể tích)
C. V=7,5 (đơn vị thể tích)
D. V=5 (đơn vị thể tích)

Hướng dẫn​

Khi đó ta có thể so sánh trực tiếp cũng được, tuy nhiên ở đây ta có thể suy luận nhanh như sau:
Khối B'ABC có chung đường cao kẻ từ đỉnh B’ đến đáy (ABC) và chung đáy ABC với hình lăng trụ ABC.A'B'C'.
Do đó:\(\frac{{{V_{B'ABC}}}}{{{V_{ABCA'B'C'}}}} = \frac{1}{3}\)
Tương tự ta có: \(\frac{{{V_{AA'B'C'}}}}{{{V_{ABCA'B'C'}}}} = \frac{1}{3}\), khi đó:
\(\Rightarrow {V_{AB'C'C}} = {V_{ABC.A'B'C'}} - {V_{B'.ABC}} - {V_{A.A'B'C'}}\)
\(= {V_{ABC.A'B'C'}} - \frac{1}{3}{V_{ABC.A'B'C'}} - \frac{1}{3}{V_{ABC.A'B'C'}} = \frac{1}{3}{V_{ABCA'B'C'}}\)
\(\Rightarrow {V_{AB'C'C}} = \frac{{30}}{3} = 10\)

Hướng dẫn​

Bài 4
Biết thể tích của khối lăng trụ ABC.A'B'C' bằng V. Tính thể tích \(V_1\) tứ diện A'ABC' theo V.
A. \(V_1=\frac{V}{4}\)
B. \(V_1=2V\)
C. \(V_1=\frac{V}{2}\)
D. \(V_1=\frac{V}{3}\)

Hướng dẫn​

Ta có \({S_{ABC}} = {S_{A'B'C'}} \Rightarrow {V_{CA'B'C'}} = {V_{C'ABC}}\)
Mà ta lại có ACC'A’ là hình bình hành nên \(d\left( {C,\left( {ABC'} \right)} \right) = d\left( {A',\left( {ABC'} \right)} \right)\)
\(\Rightarrow {V_{C.ABC'}} = {V_{A.ABC'}} \Rightarrow {V_{B.A'B'C'}} = {V_{C'.ABC}} = {V_{A'.ABC'}}\)
\(\Rightarrow {V_{A'.ABC'}} = \frac{V}{3}\)

Bài 5
Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ vì M là trung điểm của CC’. Gọi khối đa diện (H) là phần còn lại của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ sau khi cắt bỏ đi khối chóp M.ABC. Tính tỷ số thể tích của (H) và khối chóp M.ABC.
A. \(\frac{{{V_{(H)}}}}{{{V_{M.ABC}}}} = \frac{1}{6}\)
B. \(\frac{{{V_{(H)}}}}{{{V_{M.ABC}}}} = 6\)
C. \(\frac{{{V_{(H)}}}}{{{V_{M.ABC}}}} = \frac{1}{5}\)
D. \(\frac{{{V_{(H)}}}}{{{V_{M.ABC}}}} = 5\)

Hướng dẫn​

Gọi V là thể tích khối chóp M.ABC.
M là trung điểm của CC’
Theo bài ra ta có:
\(\frac{{{V_{C'ABM}}}}{{{V_{C'ABC}}}} = \frac{{C'M}}{{C'C}} = \frac{1}{2} \Rightarrow {V_{C'ABM}} = \frac{1}{2}{V_{C'ABC}}\)
\(\Rightarrow {V_{C'ABM}} = {V_{M.ABC}} = = \frac{1}{2}{V_{C'ABC}} = V\)
\(\Rightarrow {V_{C'ABC}} = 2V\)
Ta lại có \({V_{C'ABC}} = {V_{AA'B'C'}} = {V_{BA'B'C'}} = 2V\)
Nên: \({V_{(H)}}= {V_{C'ABC}} + {V_{AA'B'C'}} + {V_{BA'B'C'}} - {V_{MABC}} = 5V\)
Vậy \(\frac{V_{(H)}}{{{V_{M.ABC}}}} = 5\)

​

Câu 6
Cho khối lăng trụ ABC.A’B’C’ có thể tích V, tính thể tích V’ của khối chóp C’.ABC.
A. \(V' = \frac{1}{2}V\)
B. \(V' = \frac{1}{6}V\)
C. \(V' = \frac{1}{3}V\)
D. \(V' = V\)

Hướng dẫn​

Thể tích hình chóp sẽ được tính như sau: \(V' = {V_{C'ABC}} = \frac{1}{3}d\left( {C',\left( {ABC} \right)} \right).{S_{ABC}} = \frac{1}{3}V\)

Câu 7
Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ cạnh đáy bằng a, chiều cao bằng 2a. Mặt phẳng (P) qua B’ và vuông góc A’C chia lăng trụ thành hai khối. Tính tỉ lệ thể tích của hai khối đó.
A. \(\frac{5}{{47}}\)
B. \(\frac{2}{{47}}\)
C. \(\frac{3}{{47}}\)
D. \(\frac{1}{{47}}\)

Hướng dẫn​

Gọi M là trung điểm của A’C’, Ta có: B’M vuông góc với mặt phẳng (ACC’A’) nên \(B' M \bot A'C.\)
Do đó \(M \in \left( P \right).\)
Trong mặt phẳng (ACC’A’), kẻ MN vuông góc với A’C \(\left( {N \in AA' } \right),\) do đó \(N \in \left( P \right).\)
Thiết diện cắt bởi (P) là tam giác B’MN.
Hai tam giác A’C’C và NA’M đồng dạng nên \(A' {\rm N} = \frac{1}{2}A' M = \frac{a}{4}\)
Thể tích tứ diện A’B’MN là \({V_1} = \frac{1}{3}A'N.{s_{B' {\rm A}'{\rm M}}} = \frac{1}{3}\frac{a}{4}\frac{1}{2}a\frac{a}{2}\sin {60^0} = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{96}}\)
Thể tích lăng trụ là \(V = AA' .S{ _{ABC}} = 2a.\frac{1}{2}a.a.\sin {60^0} = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{2}\)
Ta có \(\frac{{{V_1}}}{V} = \frac{1}{{48}}\) nên tỉ lệ thể tích của hai khối là \(\frac{1}{47}\)

Câu 8
Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có thể tích V. Tính thể tích V_\1 của khối tứ diện A’B’C'C.
A. \(V_{1} =\frac{V}{4}\)
B. \(V_{1} =\frac{V}{3}\)
C. \(V_{1} =\frac{V}{2}\)
D. \(V_{1} =\frac{2}{3}V\)

Hướng dẫn​

Ta có \({V_{ABC.A'B'C'}} = d(C,(A'B'C').{S_{A'B'C'}}\)
Mặt khác \({V_{A'B'C'C}} = \frac{1}{3}d\left( {C,(A'B'C'} \right)).{S_{A'B'C'}} = \frac{1}{3}.{V_{ABC.A'B'C'}} = \frac{1}{3}V.\)

Câu 9
Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có thể tích V. Trên cạnh AA’ lấy trung điểm M, tính thể tích \(V_1\) của khối đa diện MAB’C’BC theo V.
A. \({V_1} = \frac{{3V}}{4}\)
B. \({V_1} = \frac{{2V}}{3}\)
C. \({V_1} = \frac{V}{2}\)
D. \({V_1} = \frac{{5V}}{6}\)

Hướng dẫn​

Ta có: \({V_{M.A'B'C'}} = \frac{1}{2}{V_{A.A'B'C'}};{V_{A.A'B'C'}} = \frac{1}{3}{V_{ABC.A'B'C'}} = \frac{1}{3}V\)

Khi đó
\({V_{MAB'.C'BC}} = V - {V_{M.A'B'C'}} = V - \frac{1}{2}{V_{A.A'B'C'}} = V - \frac{1}{2}.\frac{V}{3} = \frac{{5V}}{6}.\)

Câu 10
Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có thể tích bằng V. Các điểm M, N, P lần lượt thuộc các cạnh AA’, BB’, CC’ sao cho \(\frac{{AM}}{{AA'}} = \frac{1}{2},\frac{{BN}}{{BB'}} = \frac{{CP}}{{CC'}} = \frac{2}{3}\). Tình thể tích V’ khối đa diện ABC.MNP.
A. \(V' = \frac{2}{3}V\)
B. \(V' = \frac{9}{{16}}V\)
C. \(V' = \frac{{20}}{{27}}V\)
D. \(V' = \frac{{11}}{{18}}V\)

Hướng dẫn​

Gọi K là hình chiếu của P trên AA’.
Khi đó \({V_{ABC.KPN}} = \frac{2}{3}V\)
\({V_{M.KPN}} = \frac{1}{3}MK.{S_{KNP}} = \frac{1}{3}.\frac{1}{6}AA'{S_{ABC}} = \frac{1}{{18}}V\)
Do đó: \({V_{ABC.MNP}} = \frac{2}{3}V - \frac{1}{{18}}V = \frac{{11}}{{18}}V.\)