Hãy đăng ký thành viên để có thể dễ dàng hỏi bài, trao đổi, giao lưu và chia sẻ về kiến thức
  1. Thủ thuật: Nếu muốn tìm lời giải một câu vật lý trên Google, bạn hãy gõ: tanggiap + câu hỏi.
    Dismiss Notice

Bài toán 5: Dạng vô định các hàm lượng giác.

Thảo luận trong 'Chủ đề 4. GIỚI HẠN' bắt đầu bởi moon, 5/12/18.

  1. moon

    moon Thành viên cấp 2 Thành viên BQT

    Tham gia ngày:
    2/10/14
    Bài viết:
    160
    Đã được thích:
    46
    Điểm thành tích:
    28
    Phương pháp: Ta sử dụng các công thức lượng giác biến đổi về các dạng sau:
    + $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sin x}}{x}$ $ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{x}{{\sin x}}$ $ = 1$, từ đó suy ra $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\tan x}}{x}$ $ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{x}{{\tan x}}$ $ = 1.$
    + Nếu $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} u(x) = 0$ $ \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{\sin u(x)}}{{u(x)}} = 1$ và $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{\tan u(x)}}{{u(x)}} = 1.$

    Ví dụ 13. Tìm các giới hạn sau:
    1. $A = $ $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt {\cos x} – \sqrt[3]{{\cos x}}}}{{{{\sin }^2}x}}.$
    2. $B = $ $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt {1 + 2x} – \sqrt[3]{{1 + 3x}}}}{{1 – \sqrt {\cos 2x} }}.$

    1. Ta có: $A = $ $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt {\cos x} – 1}}{{{x^2}}}\frac{{{x^2}}}{{{{\sin }^2}x}}$ $ + \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{1 – \sqrt[3]{{\cos x}}}}{{{x^2}}}.\frac{{{x^2}}}{{{{\sin }^2}x}}.$
    Mà:
    $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt {\cos x} – 1}}{{{x^2}}}$ $ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\cos x – 1}}{{{x^2}}}.\frac{1}{{\sqrt {\cos x} + 1}}$ $ = – \frac{1}{4}.$
    $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{1 – \sqrt[3]{{\cos x}}}}{{{x^2}}}$ $ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{1 – \cos x}}{{{x^2}}}$$.\frac{1}{{\sqrt[3]{{{{\cos }^2}x}} + \sqrt[3]{{\cos x}} + 1}}$ $ = \frac{1}{6}.$
    Do đó: $A = – \frac{1}{4} + \frac{1}{6} = – \frac{1}{{12}}.$
    2. Ta có: $B = $ $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\frac{{\sqrt {1 + 2x} – \sqrt[3]{{1 + 3x}}}}{{{x^2}}}}}{{\frac{{1 – \sqrt {\cos 2x} }}{{{x^2}}}}}.$
    Mà:
    $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt {1 + 2x} – \sqrt[3]{{1 + 3x}}}}{{{x^2}}}$ $ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt {1 + 2x} – (1 + x)}}{{{x^2}}}$ $ + \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{(x + 1) – \sqrt[3]{{1 + 3x}}}}{{{x^2}}}$ $ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{ – 1}}{{\sqrt {1 + 2x} + x + 1}}$ $ + \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{x + 3}}{{{{(x + 1)}^2} + (x + 1)\sqrt[3]{{1 + 3x}} + \sqrt[3]{{{{\left( {1 + 3x} \right)}^2}}}}}$ $ = – \frac{1}{2} + 1 = \frac{1}{2}.$
    $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{1 – \sqrt {\cos 2x} }}{{{x^2}}}$ $ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{1 – \cos 2x}}{{{x^2}}}$$.\frac{1}{{1 + \sqrt {\cos 2x} }}$ $ = 1.$
    Vậy $B = \frac{1}{2}.$

    Ví dụ 14. Tìm các giới hạn sau:
    1. $A = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {x^3}\sin \frac{1}{{{x^2}}}.$
    2. $B = $ $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {2\sin x + {{\cos }^3}x} \right)\left( {\sqrt {x + 1} – \sqrt x } \right).$

    1. Ta có: $0 \le \left| {{x^3}\sin \frac{1}{{{x^2}}}} \right| \le {x^3}.$
    Mà $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {x^3} = 0$ $ \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left| {{x^3}\sin \frac{1}{{{x^2}}}} \right| = 0$ $ \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {x^3}\sin \frac{1}{{{x^2}}} = 0.$
    Vậy $A = 0.$
    2. Ta có: $B = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{2\sin x + {{\cos }^3}x}}{{\sqrt {x + 1} + \sqrt x }}.$
    Mà $0 \le \left| {\frac{{2\sin x + {{\cos }^2}x}}{{\sqrt {x + 1} + \sqrt x }}} \right|$ $ \le \frac{3}{{\sqrt {x + 1} + \sqrt x }} \to 0$ khi $x \to + \infty .$
    Do đó: $B = 0.$
     

    Bình Luận Bằng Facebook

Chia sẻ trang này