Hãy đăng ký thành viên để có thể dễ dàng hỏi bài, trao đổi, giao lưu và chia sẻ về kiến thức

Buổi 1: Các phương trình lượng giác cơ bản.

Thảo luận trong 'Bài 01. Phương trình đẳng cấp đối với sin , cos' bắt đầu bởi Doremon, 9/12/14.

  1. Doremon

    Doremon Moderator Thành viên BQT

    Tham gia ngày:
    29/9/14
    Bài viết:
    1,299
    Đã được thích:
    210
    Điểm thành tích:
    63
    Giới tính:
    Nam
    a) Giải và biện luận phương trình sin(x) = m (1)
    Do sin(x) ∈ [-1; 1] nên để giải phương trình (1) ta đi biện luận theo các bước sau
    Bước 1: Nếu |m|>1 phương trình vô nghiệm
    Bước 2: Nếu |m|<1 ,ta xét 2 khả năng
    • Khả năng 1: Nếu m được biểu diễn qua sin của góc đặc biệt ,giả sử α khi đó phương trình sẽ có dạng đặc biệt: $\sin x = \sin \alpha \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \alpha + k2\pi \\x = \pi - \alpha + k2\pi\end{array} \right.\,\,\,\,\,,k \in Z$
    • Khả năng 2: Nếu m không biểu diễn được qua sin của góc đặc biệt khi đó đặt m = sinα. Ta có: $\sin x = \sin \alpha \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \alpha + k2\pi \\x = \pi - \alpha + k2\pi\end{array} \right.\,\,\,\,\,,k \in Z$
    • Như vậy ta có thể kết luận phương trình có 2 họ nghiệm
    Đặc biệt ta cần phải nhớ được các giá trị của các cung đặc biệt như {π/6; π/4; π/2; π/3; π; 2π } vì sau khi biến đổi các bài toán thương đưa về các cung đặc biệt.

    Ví dụ 1: Giải phương trình sin(x) = 0,25
    Giải
    Ta nhận thấy 0,25 không là giá trị của cung đặc biệt nào nên ta đặt 0,25 = sinα
    Khi đó ta có: $\sin x = \sin \alpha \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \alpha + k2\pi \\x = \pi - \alpha + k2\pi \end{array} \right.\,\,\,\,\,,k \in Z$
    Vậy phương trình có 2 họ ngiệm

    Ví dụ 2: Giải phương trình $\sin (3x + \frac{\pi }{4})\,\, = \,\,\frac{{\sqrt 3 }}{2}$
    Giải
    Do $\sin \frac{\pi }{3} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}$ nên $\begin{array}{l}
    \sin (3x + \frac{\pi }{4})\,\, = \,\,\frac{{\sqrt 3 }}{2} \Leftrightarrow \sin (3x + \frac{\pi }{4})\,\, = \,\,\sin \frac{\pi }{3}\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3x + \frac{\pi }{4} = \frac{\pi }{3} + k2\pi \\3x + \frac{\pi }{4} = \pi - \frac{\pi }{3} + k2\pi \end{array} \right.\,\,\, \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3x = - \frac{\pi }{4} + \frac{\pi }{3} + k2\pi \\3x = \pi - \frac{\pi }{3} - \frac{\pi }{4} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{{24}} + k\frac{{2\pi }}{3}\\x = \frac{{5\pi }}{{24}} + k\frac{{2\pi }}{3}\end{array} \right.\,\,\,\,\,\,k \in Z\end{array}$
    Vậy phương trình có hai họ nghiệm .

    b) Giải và biện luận phương trình lượng giác cos(x) = m (2)
    Ta cũng đi biện luận (2) theo m
    Bước 1: Nếu |m| > 1 phương trình vô nghiệm .
    Bước 2: Nếu |m| ≤ 1 ta xét 2 khả năng:
    • Khả năng 1: Nếu m được biểu diễn qua cos của góc đặc biệt, giả sử góc α. Khi đó phương trình có dạng
    $\cos x = \cos \alpha \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \alpha + k2\pi \\x = - \alpha + k2\pi \end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,,k \in Z$
    • Khả năng 2: Nếu m không biểu diễn được qua cos của góc đặc biệt khi đó
    đặt m = cosα. Ta có: $\cos x = \cos \alpha \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \alpha + k2\pi \\x = - \alpha + k2\pi\end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,,k \in Z$
    • Như vậy ta có thể kết luận phương trình có 2 họ nghiệm
    Ví Dụ Minh Hoạ.

    Ví dụ 1:
    Giải phương trình sau: cosx = - 0,5
    Giải
    Do $\cos (\pi - \frac{\pi }{3}) = \cos \frac{{2\pi }}{3} = - \frac{1}{2}$ nên $\cos x = - \frac{1}{2} \Leftrightarrow \cos x = \cos \frac{{2\pi }}{3} \Leftrightarrow x = \pm \frac{\pi }{3} + k2\pi \,\,\,(k \in Z)$
    Vậy phương trình có 2 họ nghiệm

    Ví dụ 2: Giải phương trình: $3\cos (2x + \frac{\pi }{6}) = 1$
    Giải
    $3\cos (2x + \frac{\pi }{6}) = 1 \Leftrightarrow \cos (2x + \frac{\pi }{6}) = \frac{1}{3}$
    Vì $\frac{1}{3}\,\, \in \left[ {\, - \,1;\,1\,} \right]$ và 1/3 không là giá trị của cung đặc biệt nên tồn tại góc α ∈ [0; π] sao cho cosα = 1/3
    Ta có: $\cos (2x + \frac{\pi }{6}) = \cos \alpha \Leftrightarrow 2x + \frac{\pi }{6} = \pm \alpha + k2\pi $
    $ \Leftrightarrow 2x = - \frac{\pi }{6} \pm \alpha + k2\pi \Leftrightarrow x = - \frac{\pi }{{12}} \pm \frac{\alpha }{2} + k\pi \,\,\,\,\,(k \in Z)$
    Vậy phương trình có hai họ nghiệm.

    c) Giải và biện luận phương trình lượng giác tanx = m (3)
    Ta cũng biện luận phương trình (3) theo các bước sau:
    Bước 1: Đặt điều kiện cosx ≠ 0 ↔ x ≠ π/2 + kπ, k ∈ Z
    Bước 2: Xét 2 khả năng
    • Khả năng 1: Nếu m được biểu diễn qua tan của góc đặc biệt , giả sử α khi đó phương trình có dạng tan x = tan α ↔ x = α + kπ, k ∈ Z
    • Khả năng 2: Nếu m không biểu diễn được qua tan của góc đặc biệt , khi đó đặt m = tan α ta được tan x = tan α ↔ x = α + kπ, k ∈ Z
    • Nhận xét: Như vậy với mọi giá trị của tham số phương trình luôn có nghiệm
    Ví Dụ Minh Hoạ:

    Ví dụ 1:
    Giải phương trình $\tan x = \sqrt 3 $
    Giải
    Do $\sqrt 3 = \tan \frac{\pi }{6}$ nên ta có: $\tan x = \sqrt 3 \Leftrightarrow \tan x = \tan \frac{\pi }{6} \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{6} + k\pi ,\,k \in Z$
    Vậy phương trình có 1 họ nghiệm.

    Ví dụ 2: Giải phương trình $\tan (\frac{\pi }{5} - x) = 2$
    Giải
    Điều kiện: $\cos (\frac{\pi }{5} - x) \ne \,\,0 \Leftrightarrow \frac{\pi }{5} - x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi $
    Do không thể biểu diễn được qua của góc đặc biệt nên ta đặt tan α = 2.
    Từ đó ta có
    $\tan (\frac{\pi }{5} - x)\,\, = \,\,2\,\, \Leftrightarrow \tan (\frac{\pi }{5} - x) = \tan \alpha \Leftrightarrow \frac{\pi }{5} - x = \alpha + k\pi \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{5} - \alpha - k\pi \,\,\,\,\,(k \in Z)$ Vậy phương trình có một họ nghiệm.

    d) Giải và biện luận phương trình lượng giác cot(x) = m (4)
    Ta cũng đi biện luận theo m
    Bước1: Đặt điều kiện $\sin x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne k\pi \,\,\,\,\,k \in Z$
    Bước 2: Xét 2 khả năng
    • Khả năng 1: Nếu m được biểu diễn qua cot của góc đặc biệt , giả sử α khi đó phương trình có dạng
    $\cot x = \cot \alpha \Leftrightarrow x = \alpha + k\pi \,,\,\,k \in Z$
    • Khả năng 2: Nếu m không biểu diễn được qua cot của góc đặc biệt , khi đó đặt m = cot(α) ta được
    $\cot x = \cot \alpha \Leftrightarrow x = \alpha + k\pi \,\,\,\,,k \in Z$
    • Nhận xét: Như vậy với mọi giá trị của tham số phương trình (4) luôn có nghiệm.

    Ví Dụ Minh Hoạ:
    Ví dụ 1:
    Giải phương trình sau: $\cot (\frac{\pi }{4} - x) = \frac{1}{{\sqrt 3 }}$ (1)
    Giải
    Điều kiện $\cos (\frac{\pi }{4} - x) \ne 0 \Leftrightarrow \frac{\pi }{4} - x \ne k\pi \Leftrightarrow x \ne \frac{\pi }{4} - k\pi \,\,\,\,k \in Z$ (*)
    Ta có:
    (1) $\cot (\frac{\pi }{4} - x) = \cot \frac{\pi }{3} \Leftrightarrow \frac{\pi }{4} - x = \frac{\pi }{3} + k\pi \Leftrightarrow x = - \frac{\pi }{{12}} - k\pi \,\,\,\,\,\,\,k \in Z$
    Họ nghiệm trên thoả mãn điều kiện (*)
    Vậy phương trình có 1 họ nghiệm.

    Ví dụ 2: Giải phương trình $\cot (4x + {35^o}) = - 1$
    Giải
    Ta nhận thấy $\cot ( - {45^o}) = - 1$ nên ta có $\cot (4x + {35^o}) = - 1\,\, \Leftrightarrow \cot (4x + {35^o}) = \cot ( - {45^o})$
    $4x + {35^o} = - {45^o} + k{180^o} \Leftrightarrow 4x = - {80^o} + k{180^o}x = - {20^o} + k{45^o}\,\,\,(k \in Z)$
    Vậy phương trình có 1 họ nghiệm .
    Lưu ý: Không được ghi hai loại đơn vị ( radian hoặc độ ) trong cùng một công thức.
     
  2. Nguyễn Kim huyền

    Nguyễn Kim huyền Mới đăng kí

    Tham gia ngày:
    16/2/16
    Bài viết:
    14
    Đã được thích:
    0
    Điểm thành tích:
    1
    Em nghĩ, admin nên có thêm ví dụ minh họa từ đề thi thử thì hay hơn nữa ạ
     
  3. AnhNguyen

    AnhNguyen Mới đăng kí Thành viên BQT

    Tham gia ngày:
    12/4/16
    Bài viết:
    23
    Đã được thích:
    13
    Điểm thành tích:
    3
    Giới tính:
    Nam
    Cảm ơn bạn đã góp ý và theo dõi. Các dạng toán sẽ được bổ sung và hoàn thiện trong thời gian tới.
    Thân ái !
     
  4. Alibaba

    Alibaba Mới đăng kí

    Tham gia ngày:
    15/12/17
    Bài viết:
    2
    Đã được thích:
    0
    Điểm thành tích:
    1
    Giới tính:
    Nam
    Ví dụ 1: Giải phương trình sau: cosx = - 0,5
    Giải
    Do cos(π−π3)=cos2π3=−12 nên cosx=−12⇔cosx=cos2π3⇔x=±π3+k2π(k∈Z)
    Vậy phương trình có 2 họ nghiệm

    cho em hỏi -0.5 = cos2π/3 => x=+-2π/3 +k2π đúng ko ạ
     

Chia sẻ trang này