Hãy đăng ký thành viên để có thể dễ dàng hỏi bài, trao đổi, giao lưu và chia sẻ về kiến thức

Các quy tắc tính đạo hàm

Thảo luận trong 'Chủ đề 5. ĐẠO HÀM' bắt đầu bởi moon, 5/12/18.

  1. moon

    moon Thành viên cấp 2 Thành viên BQT

    Tham gia ngày:
    2/10/14
    Bài viết:
    160
    Đã được thích:
    46
    Điểm thành tích:
    28
    I. Kiến thức cần nắm:
    1. Quy tắc tính đạo hàm:

    a. Đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương các hàm số:
    • $({u_1} \pm {u_2} \pm … \pm {u_n})’$ $ = {u_1}’ \pm {u_2}’ \pm … \pm {u_n}’.$
    • $(k.u(x))’ = k.u'(x).$
    • $(uv)’ = u’v + uv’.$
    • $(uvw)’ = u’vw + uv’w + uvw’.$
    • $({u^n}(x))’ = n{u^{n – 1}}(x).u'(x).$
    • $\left( {\frac{c}{{u(x)}}} \right)’ = – \frac{{c.u'(x)}}{{{u^2}(x)}}.$
    • ${\left( {\frac{{u(x)}}{{v(x)}}} \right)}’$ $ = \frac{{u'(x)v(x) – v'(x)u(x)}}{{{v^2}(x)}}.$
    b. Đạo hàm của hàm số hợp: Cho hàm số $y = f(u(x)) = f(u)$ với $u = u(x).$ Khi đó: $y{‘_x} = y{‘_u}.u{‘_x}.$
    2. Bảng công thức đạo hàm các hàm sơ cấp cơ bản:

    Đạo hàm Hàm hợp

    Đạo hàm.PNG
    II. Ví dụ minh họa:
    Ví dụ 1
    . Tính đạo hàm các hàm số sau:
    a. $y = {x^3} – 3{x^2} + 2x + 1.$
    b. $y = – {x^3} + 3x + 1.$
    c. $y = \frac{{{x^4}}}{4} – {x^2} + 1.$
    d. $y = – 2{x^4} + \frac{3}{2}{x^2} + 1.$
    e. $y = \frac{{2x + 1}}{{x – 3}}.$
    f. $y = \frac{{{x^2} – 2x + 2}}{{x + 1}}.$

    a. $y’ = {\left( {{x^3} – 3{x^2} + 2x + 1} \right)’}$ $ = 3{x^2} – 6x + 2.$
    b. $y’ = {\left( { – {x^3} + 3x + 1} \right)’}$ $ = – 3{x^2} + 3.$
    c. $y’ = {\left( {\frac{{{x^4}}}{4} – {x^2} + 1} \right)’}$ $ = {x^3} – 2x.$
    d. $y’ = {\left( { – 2{x^4} + \frac{3}{2}{x^2} + 1} \right)’}$ $ = – 8{x^3} + 3x.$
    e. $y’ = $ $\frac{{(2x + 1)'(x – 3) – (x – 3)'(2x + 1)}}{{{{(x – 3)}^2}}}$ $ = \frac{{ – 7}}{{{{(x – 3)}^2}}}.$
    f. $y’ = $ $\frac{{({x^2} – 2x + 2)'(x + 1) – ({x^2} – 2x + 2)(x + 1)’}}{{{{(x + 1)}^2}}}$ $ = \frac{{(2x – 2)(x + 1) – ({x^2} – 2x + 2)}}{{{{(x + 1)}^2}}}$ $ = \frac{{{x^2} + 2x – 4}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}.$

    Ví dụ 2. Tính đạo hàm các hàm số sau:
    a. $y = {\left( {{x^7} + x} \right)^2}.$
    b. $y = \left( {{x^2} + 1} \right)\left( {5 – 3{x^2}} \right).$
    c. $y = {x^2}\left( {2x + 1} \right)\left( {5x – 3} \right).$
    d. $y = {\left( {4x + \frac{5}{{{x^2}}}} \right)^3}.$
    e. $y = {(x + 2)^3}{(x + 3)^2}.$

    a. $y’ = 2({x^7} + x)({x^7} + x)’$ $ = 2({x^7} + x)(7{x^6} + 1).$
    b. Ta có: $y = \left( {{x^2} + 1} \right)\left( {5 – 3{x^2}} \right)$ $ = – 3{x^4} + 2{x^2} + 5$ $ \Rightarrow y’ = – 12{x^3} + 4x.$
    c. Ta có: $y = {x^2}\left( {2x + 1} \right)\left( {5x – 3} \right)$ $ = 10{x^4} – {x^3} – 3{x^2}$ $ \Rightarrow y’ = 40{x^3} – 3{x^2} – 6x.$
    d. $y’ = 3{\left( {4x + \frac{5}{{{x^2}}}} \right)^2}\left( {4x + \frac{5}{{{x^2}}}} \right)’$ $ = 3{\left( {4x + \frac{5}{{{x^2}}}} \right)^2}\left( {4 – \frac{{10}}{{{x^3}}}} \right).$
    e. $y’ = 3{({x^2} + 5x + 6)^2} + 2(x + 3){(x + 2)^3}.$

    Ví dụ 3. Giải bất phương trình $f'(x) \ge 0$, biết:
    a. $f(x) = x\sqrt {4 – {x^2}} .$
    b. $f(x) = x – 2\sqrt {{x^2} + 12} .$
    c. $f(x) = \sqrt[4]{{{x^2} + 1}} – \sqrt x .$

    a. Tập xác định: $D = \left[ { – 2;2} \right].$
    Ta có: $f'(x) = \sqrt {4 – {x^2}} – \frac{{{x^2}}}{{\sqrt {4 – {x^2}} }}$ $ = \frac{{4 – 2{x^2}}}{{\sqrt {4 – {x^2}} }}.$
    Do đó: $f'(x) \ge 0$ $ \Leftrightarrow 4 – 2{x^2} \ge 0$ $ \Leftrightarrow – \sqrt 2 \le x \le \sqrt 2 .$
    b. Tập xác định: $D = R.$
    Ta có: $f'(x) = 1 – \frac{{2x}}{{\sqrt {{x^2} + 12} }}$ $ = \frac{{\sqrt {{x^2} + 12} – 2x}}{{\sqrt {{x^2} + 12} }}.$
    Suy ra: $f'(x) \ge 0$ $ \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} + 12} \ge 2x$ $(1).$
    • Với $x < 0$ thì $(1)$ luôn đúng.
    • Với $x \ge 0$ thì $(1) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
    x \ge 0\\
    {x^2} + 12 \ge 4{x^2}
    \end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow 0 \le x \le 2.$
    Vậy bất phương trình $f'(x) \ge 0$ có nghiệm khi và chỉ khi $x \le 2.$
    c. Tập xác định: $D = \left[ {0; + \infty } \right).$
    Ta có: $f'(x) = \frac{x}{{2\sqrt[4]{{{{({x^2} + 1)}^3}}}}} – \frac{1}{{2\sqrt x }}.$
    $f'(x) \ge 0$ $ \Leftrightarrow x\sqrt x \ge \sqrt[4]{{{{({x^2} + 1)}^3}}}$ $ \Leftrightarrow {x^6} \ge {({x^2} + 1)^3}$ $ \Leftrightarrow {x^2} \ge {x^2} + 1$, bất phương trình này vô nghiệm.

    Ví dụ 4. Tính đạo hàm các hàm số sau:
    a. $y = \sqrt {2{x^2} + 3x + 1} .$
    b. $y = \sqrt[5]{{\sqrt {2{x^2} + 1} + 3x + 2}}.$
    c. $y = \sqrt {2{{\sin }^2}(2x – 1) + \cos \sqrt x } .$
    d. $y = \tan ({\sin ^2}3x) + \sqrt {{{\cot }^2}(1 – 2{x^3}) + 3} .$
    e. $y = \sqrt[3]{{\sin (\tan x) + \cos (\cot x)}}.$

    a. $y’ = \frac{{(2{x^2} + 3x + 1)’}}{{2\sqrt {2{x^2} + 3x + 1} }}$ $ = \frac{{4x + 3}}{{2\sqrt {2{x^2} + 3x + 1} }}.$
    b. $y’ = \frac{1}{{5.\sqrt[5]{{{{(\sqrt {2{x^2} + 1} + 3x + 2)}^4}}}}}$$(\sqrt {2{x^2} + 1} + 3x + 2)’$ $ = \frac{1}{{5.\sqrt[5]{{{{(\sqrt {2{x^2} + 1} + 3x + 2)}^4}}}}}$$(\frac{{2x}}{{\sqrt {2{x^2} + 1} }} + 3).$
    c. $y’ = \frac{{(2{{\sin }^2}(2x – 1) + \cos \sqrt x )’}}{{2\sqrt {2{{\sin }^2}(2x – 1) + \cos \sqrt x } }}$ $ = \frac{{2\sin (4x – 2) – \frac{1}{{2\sqrt x }}\sin \sqrt x }}{{2\sqrt {2{{\sin }^2}(2x – 1) + \cos \sqrt x } }}$ $ = \frac{{4\sqrt x \sin (4x – 2) – \sin \sqrt x }}{{4\sqrt {2x{{\sin }^2}(2x – 1) + x\cos \sqrt x } }}.$
    d. $y’ = [1 + {\tan ^2}({\sin ^2}3x)]({\sin ^2}3x)’$ $ + \frac{{[{{\cot }^2}(1 – 2{x^3}) + 3]’}}{{2\sqrt {{{\cot }^2}(1 – 2{x^3}) + 3} }}$ $ = 3 [1 + {\tan ^2}({\sin ^2}3x)]\sin 6x$ $ + \frac{{6{x^2}{\rm{[}}1 + {{\cot }^2}(1 – 2{x^3}){\rm{]}}\cot (1 – 2{x^3})}}{{\sqrt {{{\cot }^2}(1 – 2{x^3}) + 3} }}.$
    e. $y’ = \frac{{[\sin (\tan x) + \cos (\cot x)]’}}{{3\sqrt {{{[\sin (\tan x) + \cos (\cot x)]}^2}} }}$ $ = \frac{{(1 + {{\tan }^2}x)\cos (\tan x) + (1 + {{\cot }^2}x)\sin (\cot x)}}{{3\sqrt {{{[\sin (\tan x) + \cos (\cot x)]}^2}} }}.$

    Ví dụ 5. Tính đạo hàm các hàm số sau:
    a. $f(x) = \left\{ \begin{array}{l}
    {x^2} – 3x + 1\:khi\:x > 1\\
    2x + 2\:khi\:x \le 1{\rm{ }}
    \end{array} \right.$
    b. $f(x) = \left\{ \begin{array}{l}
    {x^2}\cos \frac{1}{{2x}}\:khi\:x \ne 0\\
    0\:khi\:x = 0
    \end{array} \right.$

    a.
    • Với $x > 1$ $ \Rightarrow f(x) = {x^2} – 3x + 1$ $ \Rightarrow f'(x) = 2x – 3.$
    • Với $x < 1$ $ \Rightarrow f(x) = 2x + 2$ $ \Rightarrow f'(x) = 2.$
    • Với $x = 1$, ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f(x)$ $ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {{x^2} – 3x + 1} \right)$ $ = – 1 \ne f(1)$ $ \Rightarrow $ hàm số không liên tục tại $x = 1$, suy ra hàm số không có đạo hàm tại $x = 1.$
    Vậy $f'(x) = \left\{ \begin{array}{l}
    2x – 3\:khi\:x > 1\\
    2\:khi\:x < 1
    \end{array} \right.$
    b.
    • Với $x \ne 0$ $ \Rightarrow f(x) = {x^2}\cos \frac{1}{{2x}}$ $ \Rightarrow f'(x) = 2x\cos \frac{1}{{2x}} – \frac{1}{2}\cos \frac{1}{{2x}}.$
    • Với $x = 0$, ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{f(x) – f(0)}}{x}$ $ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} x\cos \frac{1}{{2x}} = 0$ $ \Rightarrow f'(0) = 0.$
    Vậy $f'(x) = \left\{ \begin{array}{l}
    \left( {2x – \frac{1}{2}} \right)\cos \frac{1}{{2x}}\:khi\:x \ne 0\\
    0\:khi\:x = 0
    \end{array} \right.$

    Ví dụ 6. Chứng minh rằng các hàm số sau đây có đạo hàm không phụ thuộc $x.$
    a. $y = {\sin ^6}x + {\cos ^6}x + 3{\sin ^2}x{\cos ^2}x.$
    b. $y = {\cos ^2}\left( {\frac{\pi }{3} – x} \right) + {\cos ^2}\left( {\frac{\pi }{3} + x} \right)$ $ + {\cos ^2}\left( {\frac{{2\pi }}{3} – x} \right) + {\cos ^2}\left( {\frac{{2\pi }}{3} + x} \right)$ $ – 2{\sin ^2}x.$

    a. Ta có: $y = {\sin ^6}x + {\cos ^6}x + 3{\sin ^2}x{\cos ^2}x$ $ = {\left( {{{\sin }^2}x} \right)^3} + {\left( {{{\cos }^2}x} \right)^3}$ $ + 3{\sin ^2}x{\cos ^2}x\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)$ $ = {\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)^3} = 1.$ Suy ra: $ y’ = 0.$
    b. Ta có: $y = 2 + \frac{1}{2}{\rm{[}}\cos \left( {\frac{{2\pi }}{3} – 2x} \right) + \cos \left( {\frac{{2\pi }}{3} + 2x} \right)$ $ + \cos \left( {\frac{{4\pi }}{3} – 2x} \right) + \cos \left( {\frac{{4\pi }}{3} + 2x} \right)]$ $ – 2{\sin ^2}x$ $ = \frac{3}{2} + \frac{1}{2}( – \cos 2x – \cos 2x) – 2{\sin ^2}x = 1.$ Suy ra: $y’ = 0.$

    Ví dụ 7. Tìm $a,b$ để hàm số $f(x) = \left\{ \begin{array}{l}
    {x^2} – x + 1{\rm{ }}\:khi\:x \le 1\\
    – {x^2} + ax + b\:khi\:x > 1
    \end{array} \right.$ có đạo hàm trên $R.$

    Với $x \ne 1$ thì hàm số luôn có đạo hàm.
    Do đó hàm số có đạo hàm trên $R$ khi và chỉ khi hàm số có đạo hàm tại $x = 1.$
    Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} f(x) = 1$, $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f(x) = a + b – 1.$
    Hàm số liên tục trên $R$ $ \Leftrightarrow a + b – 1 = 1$ $ \Leftrightarrow a + b = 2.$
    Khi đó:
    $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} \frac{{f(x) – f(1)}}{{x – 1}} = 1.$
    $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{f(x) – f(1)}}{{x – 1}}$ $ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{ – {x^2} + ax + 1 – a}}{{x – 1}}$ $ = a – 2.$
    Nên hàm số có đạo hàm trên $R$ thì: $\left\{ \begin{array}{l}
    a + b = 2\\
    a – 2 = 1
    \end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
    a = 3\\
    b = – 1
    \end{array} \right.$

    Ví dụ 8. Tìm $m$ để các hàm số:
    a. $y = (m – 1){x^3} – 3(m + 2){x^2}$ $ – 6(m + 2)x + 1$ có $y’ \ge 0$, $\forall x \in R.$
    b. $y = \frac{{m{x^3}}}{3} – m{x^2} + (3m – 1)x + 1$ có $y’ \le 0$, $\forall x \in R.$

    a. Ta có: $y’ = 3\left[ {(m – 1){x^2} – 2(m + 2)x – 2(m + 2)} \right].$
    Do đó: $y’ \ge 0$ $ \Leftrightarrow (m – 1){x^2} – 2(m + 2)x – 2(m + 2) \ge 0$ $(1).$
    • Với $m = 1$ thì $\left( 1 \right) \Leftrightarrow – 6x – 6 \ge 0 \Leftrightarrow x \le – 1.$
    • Với $m \ne 1$ thì $(1)$ đúng với mọi $x \in R$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
    a = m – 1 > 0\\
    \Delta ‘ \le 0
    \end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
    m > 1\\
    (m + 1)(4 – m) \le 0
    \end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow m \ge 4.$
    Vậy $m \ge 4.$
    b. Ta có: $y’ = m{x^2} – 2mx + 3m – 1.$
    Nên $y’ \le 0$ $ \Leftrightarrow m{x^2} – 2mx + 3m – 1 \le 0$ $(2).$
    • Với $m = 0$ thì $(2)$ trở thành: $ – 1 \le 0$ (luôn đúng).
    • Với $m \ne 0$ khi đó $(2)$ đúng với mọi $x \in R$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
    a = m < 0\\
    \Delta’ \le 0
    \end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
    m < 0\\
    m(1 – 2m) \le 0
    \end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
    m < 0\\
    1 – 2m \ge 0
    \end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow m < 0.$
    Vậy $m \le 0.$
     
    Last edited by a moderator: 16/6/19

Chia sẻ trang này