Ví dụ 3. Giải các phương trình lượng giác sau: a. $3\sin x + 4\cos x$ $ + \frac{6}{{3\sin x + 4\cos x + 1}} = 6.$ b. $\sin x + \sqrt 3 \cos x$ $ + \sqrt {\sin x + \sqrt 3 \cos x} = 2.$ c. ${\cos ^2}x + \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}$ $ = \cos x + \frac{1}{{\cos x}}.$ d. $2{\cos ^2}2x + \cos 2x$ $ = 4{\sin ^2}2x{\cos ^2}x.$ e. $1 + 3\tan x = 2\sin 2x.$ a. Nhận xét: Nhận thấy biểu thức $3\sin x+4\cos x$ xuất hiện $2$ lần, ta đặt $t=3\sin x+4\cos x+1$ vừa giúp chuyển phương trình đã cho về phương trình ẩn $t$, vừa làm gọn mẫu số. Điều kiện: $3\sin x+4\cos x+1\ne 0.$ Đặt $t=3\sin x+4\cos x+1$ $\left( t\ne 0 \right).$ $PT \Leftrightarrow t – 1 + \frac{6}{t} = 6$ $ \Leftrightarrow {t^2} – 7t + 6 = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} t = 1\\ t = 6 \end{array} \right.$ + Với $t = 1$, ta có: $3\sin x + 4\cos x = 0$ $ \Leftrightarrow \frac{3}{5}\sin x + \frac{4}{5}\cos x = 0.$ Gọi $\alpha $ là giá trị thỏa mãn: $\left\{ \begin{array}{l} \cos \alpha = \frac{3}{5}\\ \sin \alpha = \frac{4}{5} \end{array} \right.$ $\frac{3}{5}\sin x + \frac{4}{5}\cos x = 0$ $ \Leftrightarrow \cos \alpha .\sin x + \sin \alpha .\cos x = 0$ $ \Leftrightarrow \sin \left( {x + \alpha } \right) = 0$ $ \Leftrightarrow x = – \alpha + k\pi $ $\left( {k \in Z} \right).$ + Với $t = 6$, ta có: $3\sin x + 4\cos x = 5$ $ \Leftrightarrow \frac{3}{5}\sin x + \frac{4}{5}\cos x = 1$ $ \Leftrightarrow \cos \alpha .\sin x + \sin \alpha .\cos x = 1$ $ \Leftrightarrow \sin \left( {x + \alpha } \right) = 1$ $ \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} – \alpha + k2\pi $ $\left( {k \in Z} \right).$ Vậy phương trình đã cho có nghiệm: $\left[ \begin{array}{l} x = – \alpha + k\pi \\ x = \frac{\pi }{2} – \alpha + k2\pi \end{array} \right.$ $\left( {k \in Z} \right).$ b. Điều kiện: $\sin x + \sqrt 3 \cos x \ge 0.$ Đặt $t = \sqrt {\sin x + \sqrt 3 \cos x} $ $\left( {t \ge 0} \right).$ $PT \Leftrightarrow {t^2} + t = 2$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} t = 1\\ t = – 2 \left( {loại} \right) \end{array} \right.$ Với $t = 1$, ta có: $\sin x + \sqrt 3 \cos x = 1$ $ \Leftrightarrow \frac{1}{2}\sin x + \frac{{\sqrt 3 }}{2}\cos x = \frac{1}{2}$ $ \Leftrightarrow \sin \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) = \frac{1}{2}$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \frac{{ – \pi }}{6} + k2\pi \\ x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \end{array} \right.$ $\left( {k \in Z} \right).$ Vậy phương trình đã cho có nghiệm: $\left[ \begin{array}{l} x = \frac{{ – \pi }}{6} + k2\pi \\ x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \end{array} \right.$ $\left( {k \in Z} \right).$ c. Điều kiện: $\cos x \ne 0$ $ \Leftrightarrow x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi $ $\left( {k \in Z} \right).$ Đặt $t = \cos x + \frac{1}{{\cos x}}$ $ \Rightarrow {t^2} = {\cos ^2}x + \frac{1}{{{{\cos }^2}x}} + 2.$ $PT \Leftrightarrow {t^2} – 2 = t$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} t = – 1\\ t = 2 \end{array} \right.$ + Với $t = – 1$, ta có: $\cos x + \frac{1}{{\cos x}} = – 1$ $ \Leftrightarrow {\cos ^2}x + \cos x + 1 = 0$ $(PTVN).$ + Với $t = 2$, ta có: $\cos x + \frac{1}{{\cos x}} = 2$ $ \Leftrightarrow {\cos ^2}x – 2\cos x + 1 = 0$ $ \Leftrightarrow \cos x = 1$ $ \Leftrightarrow x = k2\pi $ $\left( {k \in Z} \right).$ Vậy phương trình đã cho có nghiệm: $ \Leftrightarrow x = k2\pi $ $\left( {k \in Z} \right).$ d. $PT \Leftrightarrow 2{\cos ^2}2x + \cos 2x$ $ = 2\left( {1 – {{\cos }^2}2x} \right)\left( {1 + \cos 2x} \right).$ Đặt $t = \cos 2x$, $\left| t \right| \le 1.$ $PT \Leftrightarrow 2{t^2} + t$ $ = 2\left( {1 – {t^2}} \right)\left( {1 + t} \right)$ $ \Leftrightarrow 2{t^3} + 4{t^2} – t – 2 = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} t = – 2 \left( {loại} \right)\\ t = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\\ t = \frac{{ – \sqrt 2 }}{2} \end{array} \right.$ Thay $t = \cos 2x$, suy ra phương trình đã cho có nghiệm: $\left[ \begin{array}{l} x = \frac{\pi }{8} + k\pi \\ x = \frac{{ – \pi }}{8} + k\pi \\ x = \frac{{3\pi }}{8} + k\pi \\ x = \frac{{ – 3\pi }}{8} + k\pi \end{array} \right.$ $\left( {k \in Z} \right).$ e. Điều kiện: $\cos x \ne 0.$ Đặt $t = \tan x$ $ \Rightarrow \sin 2x = \frac{{2t}}{{1 + {t^2}}}.$ $PT \Leftrightarrow 1 + 3t = \frac{{4t}}{{1 + {t^2}}}$ $ \Leftrightarrow \left( {1 + 3t} \right)\left( {1 + {t^2}} \right) = 4t$ $ \Leftrightarrow 3{t^3} + {t^2} – t + 1 = 0$ $ \Leftrightarrow t = – 1.$ Thay $t = \tan x$, suy ra phương trình đã cho có nghiệm $x = \frac{{ – \pi }}{4} + k\pi $ $\left( {k \in Z} \right).$ Lưu ý: Một số phương trình lượng giác được giải bằng cách đặt ẩn phụ không hoàn toàn, tức là sau khi đặt ẩn phụ, ẩn cũ và ẩn mới cùng tồn tại trong phương trình (biểu thức chứa ẩn cũ còn lại ấy được xem là tham số của phương trình). Ta xét một số ví dụ sau đây: Ví dụ 4. Giải phương trình lượng giác sau: $(\sin x + 3){\sin ^4}\frac{x}{2}$ $ – (\sin x + 3){\sin ^2}\frac{x}{2} + 1 = 0.$ Đặt ${\sin ^2}\frac{x}{2} = t$ $(0 \le t \le 1)$, phương trình đã cho trở thành: $\left( {\sin x + 3} \right){t^2}$ $ – (\sin x + 3)t + 1 = 0$ $(*).$ Do $\sin x + 3 > 0$ với mọi $x∈R$ nên ta xem phương trình $(*)$ là phương trình bậc hai ẩn $t.$ Ta có: $\Delta = {(\sin + 3)^2} – 4(\sin x + 3)$ $ = (\sin x – 1)(\sin x + 3).$ Vì $\left\{ \begin{array}{l} \sin x – 1 \le 0\\ \sin x + 3 > 0 \end{array} \right.$ nên $Δ≤0, ∀x∈R.$ Do đó phương trình $\left( * \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \Delta = 0\\ t = – \frac{b}{{2a}} \end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \sin x = 1\\ {\sin ^2}\frac{x}{2} = \frac{1}{2} \end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \sin x = 1\\ \frac{{1 – \cos 2x}}{2} = \frac{1}{2} \end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \sin x = 1\\ \cos x = 0 \end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k2\pi $ $(k∈Z).$ Vậy phương trình đã cho có nghiệm $x = \frac{\pi }{2} + k2\pi $ $(k∈Z).$ Ví dụ 5. Giải phương trình lượng giác sau: $\frac{9}{{{{81}^{{{\sin }^2}x}}}}$ $ + 2(\cos 2x – 2)\frac{3}{{{9^{{{\sin }^2}x}}}}$ $ + 4{\cos ^2}x – 3 = 0.$ Đặt $t = \frac{3}{{{9^{{{\sin }^2}x}}}}$, $\left( {t > 0} \right).$ Ta có: $t = \frac{3}{{{9^{{{\sin }^2}x}}}}$ $ = {3^{1 – 2{{\sin }^2}x}} = {3^{\cos 2x}}.$ Phương trình đã cho trở thành: ${t^2} + 2(\cos 2x – 2)t$ $ + 4{\cos ^2}x – 3 = 0$ $ \Leftrightarrow {t^2} + 2(\cos 2x – 2)t$ $ + 2\cos 2x – 5 = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} t = – 1\left( {loại} \right)\\ t = 5 – 2\cos 2x \end{array} \right.$ Với $t = 5 – 2\cos 2x$, ta có: ${3^{\cos 2x}} = 5 – 2\cos 2x$ $ \Leftrightarrow {3^{\cos 2x}} + 2\cos 2x = 5$ $(*).$ Đặt $y = \cos 2x$, $\left| y \right| \le 1$ thì phương trình $(*)$ trở thành: ${3^y} + 2y = 5.$ Vì hàm số $f(y) = {3^y} + 2y$ luôn đồng biến trên $R$ nên phương trình $f(y)=5$ có nghiệm duy nhất. Mặc khác $f(1) = 5$, suy ra $y=1$ là nghiệm duy nhất của phương trình $f(y)=5.$ Với $y=1$, suy ra phương trình đã cho có nghiệm $x = k\pi $ $(k∈Z).$
