Chuyên đề lũy thừa

I. KHÁI NIỆM LUỸ THỪA
1. Luỹ thừa với số mũ nguyên
Cho n là một số nguyên dương.
- Với a tuỳ ý: ${a^n} = a.a.a...a$
- Với a ≠ 0: ${a^0} = 1;\,\,{a^{ - n}} = \frac{1}{{{a^n}}}$ (a: cơ số, n: số mũ)
Chú ý:
- ${0^0},\,\,{0^{ - n}}$ không có nghĩa.
- Luỹ thừa với số mũ nguyên có các tính chất tương tự như luỹ thừa với số mũ nguyên dương.

2. Phương trình ${x^n} = b$ (*)
a) n lẻ: (*) luôn có nghiệm duy nhất.
b) n chẵn:
- b < 0: (*) vô nghiệm.
- b = 0: (*) có 1 nghiệm x = 0
- b > 0: (*) có 2 nghiệm đối nhau.

3. Căn bậc n
a) Khái niệm
Cho b ∈ R, n ∈ N* (n ≥ 2). Số a đgl căn bậc n của b nếu ${a^n} = b$.
Nhận xét:
- n lẻ, b tuỳ ý: có duy nhất một căn bậc n của b, kí hiệu $\sqrt[n]{b}$
- n chẵn:
→ b < 0: không có căn bậc n của b.
→ b = 0: căn bậc n của 0 là 0.
→ b > 0: có hai căn trái dấu, kí hiệu giá trị dương là $\sqrt[n]{b}$, còn giá trị âm là $ - \sqrt[n]{b}$.
b) Tính chất của căn bậc n
$\begin{array}{l}
\sqrt[n]{a}.\sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{{ab}};\\
\frac{{\sqrt[n]{a}}}{{\sqrt[n]{b}}} = \sqrt[n]{{\frac{a}{b}}}\\
{\left( {\sqrt[n]{a}} \right)^m} = \sqrt[n]{{{a^m}}}\\
\sqrt[n]{{\sqrt[k]{a}}} = \sqrt[{nk}]{a}
\end{array}$

4. Luỹ thừa với số mũ hữu tỉ
Cho a ∈ R, a > 0 và $r = \frac{m}{n}$, trong đó m ∈ Z, n ∈ N, n ≥ 2.
${a^r} = {a^{\frac{m}{n}}} = \sqrt[n]{{{a^m}}}$
Đặc biệt: ${a^{\frac{1}{n}}} = \sqrt[n]{a}$
5. Luỹ thừa với số mũ vô tỉ
Cho a ∈ R, a > 0, α là số vô tỉ.
Ta gọi giới hạn của dãy số $\left( {{a^{{r_n}}}} \right)$ là luỹ thừa của a với số mũ α, kí hiệu ${a^\alpha }$.
${a^\alpha } = \lim {{\rm{a}}^{{r_n}}};\,\,\alpha = \lim {{\rm{r}}_n}$
Chú ý: ${1^\alpha } = 1$ (α ∈ R)

II. TÍNH CHẤT CỦA LUỸ THỪA VỚI SỐ MŨ THỰC
- Cho a, b ∈ R, a, b > 0; α, β ∈ R. Ta có:
; $\begin{array}{l}
{a^\alpha }.{a^\beta } = {a^{\alpha + \beta }}\\
\frac{{{a^\alpha }}}{{{a^\beta }}} = {a^{\alpha - \beta }}\\
{\left( {{a^\alpha }} \right)^\beta } = {a^{\alpha \beta }}\\
{(ab)^\alpha } = {a^\alpha }.{b^\alpha }\\
{\left( {\frac{a}{b}} \right)^\alpha } = \frac{{{a^\alpha }}}{{{b^\alpha }}}
\end{array}$
• a > 1: ${a^\alpha } > {a^\beta } \Leftrightarrow \alpha > \beta $
• a < 1: ${a^\alpha } > {a^\beta } \Leftrightarrow \alpha < \beta $


III. VÍ DỤ MINH HỌA

Câu 1:
Tính giá trị biểu thức sau: \(A = 4^{\frac{3}{2}} + 8^{\frac{2}{3}}\)
A. 11
B. 12
C. 13
D. 14
Hướng dẫn

Spoiler

\(A = 4^{\frac{3}{2}} + 8^{\frac{2}{3}} = (2^2)^{\frac{3}{2}} + (2^3)^{\frac{2}{3}} = 2^3 + 2^2 = 12\)

Câu 2:
Tính giá trị biểu thức sau: \(B = \sqrt{(0,04)^{-1,5} - (0,125)^{-\frac{2}{3}}}\)
A. 9
B. 10
C. 11
D. 12
Hướng dẫn

Spoiler

Ta có:
\(\\ B = \sqrt{(0,04)^{-1,5} - (0,125)^{-\frac{2}{3}}} = \sqrt{\left ( \frac{1}{25} \right )^{ - \frac{3}{2}} - \left ( \frac{1}{8} \right )^{-\frac{2}{3}}} \\ \\ = \sqrt{(5^{-2})^{- \frac{3}{2}} - (2^{-3})^{- \frac{2}{3}}} = \sqrt{5^3 - 2^2} =\sqrt{121} = 11\)

Câu 3:
Đơn giản biểu thức sau:
\(A = \sqrt[3]{a^2 \sqrt[4]{a}}\)
(Giả sử các biểu thức có nghĩa):
A. \(\frac{\sqrt{a}}{2}\)
B. \(\sqrt{a}\)
C. \(a\)
D. \(3\sqrt{a}\)
Hướng dẫn

Spoiler

Ta có:
\(A = \sqrt[3]{a^2 \sqrt[4]{a}} = \left ( a^2 . a^{\frac{1}{4}} \right )^{\frac{1}{3}} = \left ( a^{\frac{9}{4}} \right )^{\frac{1}{3}} = a^{\frac{1}{2}} = \sqrt{a}\)