Toán Chuyên đề nguyên hàm

Nguyên hàm thuộc phần hay và khó của chương trình lớp 12, nó cũng chiếm số câu phần lớn trong đề thi chính thức của bộ. Sau đây xin giới thiệu kiến thức căn bản của nguyên hàm:

I. CÔNG THỨC THƯỜNG GẶP
1. Nguyên hàm của một hằng số k: $\int{k.dx=k.x+C}$
2. Nguyên hàm của hàm số $\int{{{x}^{n}}dx=\frac{{{x}^{n+1}}}{n+1}+C}$
3. Công thức tính nguyên hàm của phân số

• $\int{\frac{1}{{{x}^{2}}}dx=-\frac{1}{x}+C}$
• $\int{\frac{1}{x}dx=\ln \left| x \right|+C}$
• $\int{\frac{1}{{{(ax+b)}^{n}}}dx=-\frac{1}{a(n-1){{(ax+b)}^{n-1}}}+C}$;
• $\int{\frac{1}{(ax+b)}dx=\frac{1}{a}\ln \left| ax+b \right|+C}$

4. Nguyên hàm của hàm lượng giác

• $\int{\sin x.dx=-\cos x+C}$
• $\int{\cos x.dx=\sin x+C}$
• $\int{\sin (ax+b)dx=-\frac{1}{a}\cos (ax+b)+C}$
• $\int{\cos (ax+b)dx=\frac{1}{a}\sin (ax+b)+C}$
• $\int{\frac{1}{{{\cos }^{2}}x}dx=\int{(1+}t{{g}^{2}}x).dx=tgx+C}$
• $\int{\frac{1}{{{\sin }^{2}}x}dx=\int{\left( 1+\cot {{g}^{2}}x \right)dx=}-\cot gx+C}$
• $\int{\frac{1}{{{\cos }^{2}}(ax+b)}dx=\frac{1}{a}tg(ax+b)+C}$
• $\int{\frac{1}{{{\sin }^{2}}(ax+b)}dx=-\frac{1}{a}\cot g(ax+b)+C}$

5. Nguyên hàm của hàm e mũ

• $\int{{{e}^{x}}dx={{e}^{x}}+C}$
• $\int{{{e}^{-x}}dx=-{{e}^{-x}}+C}$

II. VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ 1. Hàm số $f(x)={{x}^{3}}-{{x}^{2}}+3+\frac{1}{x}$ có nguyên hàm là
A. $F(x)=\frac{{{x}^{4}}}{4}-\frac{{{x}^{3}}}{3}+3x+\ln \left| x \right|+C$.
B. $F(x)={{x}^{4}}-\frac{{{x}^{3}}}{3}+3x+\ln \left| x \right|+C$.
C. $F(x)=3{{x}^{2}}-2x-\frac{1}{{{x}^{2}}}+C$.
D. $F(x)={{x}^{4}}-{{x}^{3}}+3x+\ln \left| x \right|+C$.

Hướng dẫn giải​

$F(x)=\int{({{x}^{3}}-{{x}^{2}}+3+\frac{1}{x})dx}=\frac{{{x}^{4}}}{4}-\frac{{{x}^{3}}}{3}+3x+\ln \left| x \right|+C$

Ví dụ 2. Họ nguyên hàm của hàm số$f(x)={{\tan }^{2}}x$ là
A.$F\left( x \right)=\tan x-x+C$.
B.$F\left( x \right)=-\tan x+x+C$.
C.$F\left( x \right)=\tan x+x+C$.
D.$F\left( x \right)=-\tan x-x+C$.

Hướng dẫn giải ​

$\int{f(x)}dx=\int{\left( \frac{1}{{{\cos }^{2}}x}-1 \right)dx=\tan x-x+C}$

Ví dụ 3. Hàm số $F(x)=7\sin x-\cos x+1$ là một nguyên hàm của hàm số nào sau đây?
A.$f\left( x \right)=\sin x+7\cos x$.
B.$f\left( x \right)=-\sin x+7\cos x$.
C.$f\left( x \right)=\sin x-7\cos x$.
D.$f\left( x \right)=-\sin x-7\cos x$.

Hướng dẫn giải​

$F'(x)=7\cos x+\sin x$

Ví dụ 4. Kết quả tính $\int{\frac{1}{{{\sin }^{2}}x{{\cos }^{2}}x}dx}$ là
A.$\tan x-\cot x+C$.
B. $\cot 2x+C$.
C.$\tan 2x-x+C$.
D. $-\tan x+\cot x+C$.

Hướng dẫn giải​

$\int{\frac{1}{{{\sin }^{2}}x{{\cos }^{2}}x}dx}=\int{\left( \frac{1}{{{\cos }^{2}}x}+\frac{1}{{{\sin }^{2}}x} \right)dx=\tan x-\cot x+C}$

Ví dụ 5. Hàm số $F(x)=3{{x}^{2}}-\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{{{x}^{2}}}-1$ có một nguyên hàm là
A.$f(x)={{x}^{3}}-2\sqrt{x}-\frac{1}{x}-x$. B.$f(x)={{x}^{3}}-\sqrt{x}-\frac{1}{x}-x$.
C. $f(x)={{x}^{3}}-2\sqrt{x}+\frac{1}{x}$. D.$f(x)={{x}^{3}}-\frac{1}{2}\sqrt{x}-\frac{1}{x}-x$.

Hướng dẫn giải​

Ta có $\int{F(x)}dx=\int{\left( 3{{x}^{2}}-\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{{{x}^{2}}}-1 \right)}dx={{x}^{3}}-2\sqrt{x}-\frac{1}{{{x}^{2}}}-x+C$

Ví dụ 6. Hàm số $f(x)=\frac{\cos x}{{{\sin }^{5}}x}$ có một nguyên hàm $F(x)$ bằng
A.$-\frac{1}{4{{\sin }^{4}}x}$.
B. $\frac{1}{4{{\sin }^{4}}x}$.
C. $\frac{4}{{{\sin }^{4}}x}$.
D. $\frac{-4}{{{\sin }^{4}}x}$.

Hướng dẫn giải​

$\int{f(x)}dx=\int{\frac{\cos x}{{{\sin }^{5}}x}}dx=\int{\frac{1}{{{\sin }^{5}}x}d(\sin x)=-\frac{1}{4{{\sin }^{4}}x}}+C$

Ví dụ 7. Kết quả tính$\int{2x\sqrt{5-4{{x}^{2}}}}dx$ bằng
A.$-\frac{1}{6}\sqrt{{{\left( 5-4{{x}^{2}} \right)}^{3}}}+C$.
B.$-\frac{3}{8}\sqrt{\left( 5-4{{x}^{2}} \right)}+C$ .
C.$\frac{1}{6}\sqrt{{{\left( 5-4{{x}^{2}} \right)}^{3}}}+C$.
D.$-\frac{1}{12}\sqrt{{{\left( 5-4{{x}^{2}} \right)}^{3}}}+C$.

Hướng dẫn giải​

Đặt $t=\sqrt{5-4{{x}^{2}}}\Rightarrow tdt=-4xdx$
Ta có$\int{2x\sqrt{5-4{{x}^{2}}}}dx=-\frac{1}{2}\int{{{t}^{2}}}dt=-\frac{1}{6}{{t}^{3}}+C=-\frac{1}{6}\sqrt{{{\left( 5-4{{x}^{2}} \right)}^{3}}}+C$

Ví dụ 8. Kết quả$\int{{{e}^{\sin x}}\cos xdx}$ bằng
A.${{e}^{\sin x}}+C$.
B. $\cos x.{{e}^{\sin x}}+C$.
C. ${{e}^{\cos x}}+C$.
D. ${{e}^{-\sin x}}+C$.

Hướng dẫn giải​

Ta có$\int{{{e}^{\sin x}}\cos xdx}=\int{{{e}^{\sin x}}d(\sin x)=}{{e}^{\sin x}}+C$

Ví dụ 9. Tính $\int{\tan xdx}$ bằng
A.$-\ln \left| \cos x \right|+C$.
B. $\ln \left| \cos x \right|+C$.
C.$\frac{1}{{{\cos }^{2}}x}+C$.
D. $\frac{-1}{{{\cos }^{2}}x}+C$.

Hướng dẫn giải​

Ta có$\int{\tan xdx}=-\int{\frac{1}{\cos x}d(\cos x)=-\ln \left| \cos x \right|+C}$

Ví dụ 10. Tính $\int{\cot xdx}$ bằng
A.$\ln \left| sinx \right|+C$.
B. $-\ln \left| sinx \right|+C$.
C.$\frac{-1}{si{{n}^{2}}x}+C$.
D. $\frac{1}{si{{n}^{2}}x}-C$.

Hướng dẫn giải​

Ta có$\int{\cot xdx}=\int{\frac{1}{\sin x}d(\sin x)=\ln \left| \sin x \right|+C}$