Hãy đăng ký thành viên để có thể dễ dàng hỏi bài, trao đổi, giao lưu và chia sẻ về kiến thức
  1. Thủ thuật: Nếu muốn tìm lời giải một câu vật lý trên Google, bạn hãy gõ: tanggiap + câu hỏi.
    Dismiss Notice

Toán Chuyên đề nguyên hàm

Thảo luận trong 'Bài 1. Nguyên hàm' bắt đầu bởi Tăng Giáp, 17/1/19.

  1. Tăng Giáp

    Tăng Giáp Administrator Thành viên BQT

    Tham gia ngày:
    16/11/14
    Bài viết:
    4,609
    Đã được thích:
    282
    Điểm thành tích:
    83
    Giới tính:
    Nam
    Nguyên hàm thuộc phần hay và khó của chương trình lớp 12, nó cũng chiếm số câu phần lớn trong đề thi chính thức của bộ. Sau đây xin giới thiệu kiến thức căn bản của nguyên hàm:

    I. CÔNG THỨC THƯỜNG GẶP
    1. Nguyên hàm của một hằng số k: $\int{k.dx=k.x+C}$
    2. Nguyên hàm của hàm số $\int{{{x}^{n}}dx=\frac{{{x}^{n+1}}}{n+1}+C}$
    3. Công thức tính nguyên hàm của phân số
    • $\int{\frac{1}{{{x}^{2}}}dx=-\frac{1}{x}+C}$
    • $\int{\frac{1}{x}dx=\ln \left| x \right|+C}$
    • $\int{\frac{1}{{{(ax+b)}^{n}}}dx=-\frac{1}{a(n-1){{(ax+b)}^{n-1}}}+C}$;
    • $\int{\frac{1}{(ax+b)}dx=\frac{1}{a}\ln \left| ax+b \right|+C}$
    4. Nguyên hàm của hàm lượng giác
    • $\int{\sin x.dx=-\cos x+C}$
    • $\int{\cos x.dx=\sin x+C}$
    • $\int{\sin (ax+b)dx=-\frac{1}{a}\cos (ax+b)+C}$
    • $\int{\cos (ax+b)dx=\frac{1}{a}\sin (ax+b)+C}$
    • $\int{\frac{1}{{{\cos }^{2}}x}dx=\int{(1+}t{{g}^{2}}x).dx=tgx+C}$
    • $\int{\frac{1}{{{\sin }^{2}}x}dx=\int{\left( 1+\cot {{g}^{2}}x \right)dx=}-\cot gx+C}$
    • $\int{\frac{1}{{{\cos }^{2}}(ax+b)}dx=\frac{1}{a}tg(ax+b)+C}$
    • $\int{\frac{1}{{{\sin }^{2}}(ax+b)}dx=-\frac{1}{a}\cot g(ax+b)+C}$
    5. Nguyên hàm của hàm e mũ
    • $\int{{{e}^{x}}dx={{e}^{x}}+C}$
    • $\int{{{e}^{-x}}dx=-{{e}^{-x}}+C}$
    II. VÍ DỤ MINH HỌA
    Ví dụ 1.
    Hàm số $f(x)={{x}^{3}}-{{x}^{2}}+3+\frac{1}{x}$ có nguyên hàm là
    A. $F(x)=\frac{{{x}^{4}}}{4}-\frac{{{x}^{3}}}{3}+3x+\ln \left| x \right|+C$.
    B. $F(x)={{x}^{4}}-\frac{{{x}^{3}}}{3}+3x+\ln \left| x \right|+C$.
    C. $F(x)=3{{x}^{2}}-2x-\frac{1}{{{x}^{2}}}+C$.
    D. $F(x)={{x}^{4}}-{{x}^{3}}+3x+\ln \left| x \right|+C$.
    Hướng dẫn giải
    $F(x)=\int{({{x}^{3}}-{{x}^{2}}+3+\frac{1}{x})dx}=\frac{{{x}^{4}}}{4}-\frac{{{x}^{3}}}{3}+3x+\ln \left| x \right|+C$

    Ví dụ 2. Họ nguyên hàm của hàm số$f(x)={{\tan }^{2}}x$ là
    A.$F\left( x \right)=\tan x-x+C$.
    B.$F\left( x \right)=-\tan x+x+C$.
    C.$F\left( x \right)=\tan x+x+C$.
    D.$F\left( x \right)=-\tan x-x+C$.
    Hướng dẫn giải
    $\int{f(x)}dx=\int{\left( \frac{1}{{{\cos }^{2}}x}-1 \right)dx=\tan x-x+C}$

    Ví dụ 3. Hàm số $F(x)=7\sin x-\cos x+1$ là một nguyên hàm của hàm số nào sau đây?
    A.$f\left( x \right)=\sin x+7\cos x$.
    B.$f\left( x \right)=-\sin x+7\cos x$.
    C.$f\left( x \right)=\sin x-7\cos x$.
    D.$f\left( x \right)=-\sin x-7\cos x$.
    Hướng dẫn giải
    $F'(x)=7\cos x+\sin x$

    Ví dụ 4. Kết quả tính $\int{\frac{1}{{{\sin }^{2}}x{{\cos }^{2}}x}dx}$ là
    A.$\tan x-\cot x+C$.
    B. $\cot 2x+C$.
    C.$\tan 2x-x+C$.
    D. $-\tan x+\cot x+C$.
    Hướng dẫn giải
    $\int{\frac{1}{{{\sin }^{2}}x{{\cos }^{2}}x}dx}=\int{\left( \frac{1}{{{\cos }^{2}}x}+\frac{1}{{{\sin }^{2}}x} \right)dx=\tan x-\cot x+C}$

    Ví dụ 5. Hàm số $F(x)=3{{x}^{2}}-\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{{{x}^{2}}}-1$ có một nguyên hàm là
    A.$f(x)={{x}^{3}}-2\sqrt{x}-\frac{1}{x}-x$. B.$f(x)={{x}^{3}}-\sqrt{x}-\frac{1}{x}-x$.
    C. $f(x)={{x}^{3}}-2\sqrt{x}+\frac{1}{x}$. D.$f(x)={{x}^{3}}-\frac{1}{2}\sqrt{x}-\frac{1}{x}-x$.
    Hướng dẫn giải
    Ta có $\int{F(x)}dx=\int{\left( 3{{x}^{2}}-\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{{{x}^{2}}}-1 \right)}dx={{x}^{3}}-2\sqrt{x}-\frac{1}{{{x}^{2}}}-x+C$

    Ví dụ 6. Hàm số $f(x)=\frac{\cos x}{{{\sin }^{5}}x}$ có một nguyên hàm $F(x)$ bằng
    A.$-\frac{1}{4{{\sin }^{4}}x}$.
    B. $\frac{1}{4{{\sin }^{4}}x}$.
    C. $\frac{4}{{{\sin }^{4}}x}$.
    D. $\frac{-4}{{{\sin }^{4}}x}$.
    Hướng dẫn giải
    $\int{f(x)}dx=\int{\frac{\cos x}{{{\sin }^{5}}x}}dx=\int{\frac{1}{{{\sin }^{5}}x}d(\sin x)=-\frac{1}{4{{\sin }^{4}}x}}+C$

    Ví dụ 7. Kết quả tính$\int{2x\sqrt{5-4{{x}^{2}}}}dx$ bằng
    A.$-\frac{1}{6}\sqrt{{{\left( 5-4{{x}^{2}} \right)}^{3}}}+C$.
    B.$-\frac{3}{8}\sqrt{\left( 5-4{{x}^{2}} \right)}+C$ .
    C.$\frac{1}{6}\sqrt{{{\left( 5-4{{x}^{2}} \right)}^{3}}}+C$.
    D.$-\frac{1}{12}\sqrt{{{\left( 5-4{{x}^{2}} \right)}^{3}}}+C$.
    Hướng dẫn giải
    Đặt $t=\sqrt{5-4{{x}^{2}}}\Rightarrow tdt=-4xdx$
    Ta có$\int{2x\sqrt{5-4{{x}^{2}}}}dx=-\frac{1}{2}\int{{{t}^{2}}}dt=-\frac{1}{6}{{t}^{3}}+C=-\frac{1}{6}\sqrt{{{\left( 5-4{{x}^{2}} \right)}^{3}}}+C$

    Ví dụ 8. Kết quả$\int{{{e}^{\sin x}}\cos xdx}$ bằng
    A.${{e}^{\sin x}}+C$.
    B. $\cos x.{{e}^{\sin x}}+C$.
    C. ${{e}^{\cos x}}+C$.
    D. ${{e}^{-\sin x}}+C$.
    Hướng dẫn giải
    Ta có$\int{{{e}^{\sin x}}\cos xdx}=\int{{{e}^{\sin x}}d(\sin x)=}{{e}^{\sin x}}+C$

    Ví dụ 9. Tính $\int{\tan xdx}$ bằng
    A.$-\ln \left| \cos x \right|+C$.
    B. $\ln \left| \cos x \right|+C$.
    C.$\frac{1}{{{\cos }^{2}}x}+C$.
    D. $\frac{-1}{{{\cos }^{2}}x}+C$.
    Hướng dẫn giải
    Ta có$\int{\tan xdx}=-\int{\frac{1}{\cos x}d(\cos x)=-\ln \left| \cos x \right|+C}$

    Ví dụ 10. Tính $\int{\cot xdx}$ bằng
    A.$\ln \left| sinx \right|+C$.
    B. $-\ln \left| sinx \right|+C$.
    C.$\frac{-1}{si{{n}^{2}}x}+C$.
    D. $\frac{1}{si{{n}^{2}}x}-C$.
    Hướng dẫn giải
    Ta có$\int{\cot xdx}=\int{\frac{1}{\sin x}d(\sin x)=\ln \left| \sin x \right|+C}$
     
    Chỉnh sửa cuối: 22/1/19

    Bình Luận Bằng Facebook

Chia sẻ trang này