Hãy đăng ký thành viên để có thể dễ dàng hỏi bài, trao đổi, giao lưu và chia sẻ về kiến thức
  1. Thủ thuật: Nếu muốn tìm lời giải một câu vật lý trên Google, bạn hãy gõ: tanggiap + câu hỏi.
    Dismiss Notice

Đại cương về tích phân

Thảo luận trong 'Bài 2. Tích phân' bắt đầu bởi Doremon, 18/12/14.

  1. Doremon

    Doremon Moderator Thành viên BQT

    Tham gia ngày:
    29/9/14
    Bài viết:
    1,299
    Đã được thích:
    208
    Điểm thành tích:
    63
    Giới tính:
    Nam
    Trong đề thi tốt nghiệp THPT , Đại học , Cao đẳng, THCN của hàng năm bài toán tích phân hầu như không thể thiếu, bài toán về tích phân là một trong những bài toán khó vì nó cần đến sự áp dụng linh hoạt của định nghĩa, các tính chất , các phương pháp tính của tích phân.

    Chuyên đề này hy vọng sẽ góp phần giúp các em học sinh luyện thi đại học hiểu sâu hơn và tránh được những sai lầm thường mắc phải khi giải bài toán về tích phân.

    I. Sử dụng định nghĩa
    1. Định nghĩa: Ta có công thức Niu tơn – Laipnitz
    $\int\limits_a^b {f(x)dx = F(x\left. ) \right|} _a^b = F(b) - F(a)$
    T/c:
    • Tính chất 1: $\int\limits_a^b {f(x)dx = - \int\limits_b^a {f(x)dx} } $
    • Tính chất 2: $\int\limits_a^b {kf(x)dx = k\int\limits_a^b {f(x)dx} } $ với k thuộc R
    • Tính chất 3: $\int\limits_a^b {\left[ {f(x) \pm g(x)} \right]dx = \int\limits_a^b {f(x)dx \pm \int\limits_a^b {g(x)dx} } } $
    • Tính chất 4: $\int\limits_a^b {f(x)dx = \int\limits_a^b {f(x)dx + \int\limits_b^c {f(x)dx} } } $

    2. Tính tích phân bằng việc sử dụng các nguyên hàm cơ bản:
    Bằng việc sử dụng các nguyên hàm của các hàm số sơ cấp. chúng ta có thể xác định được các nguyên hàm từ đó tính được các giá trị các tích phân.
    1. $\int {kdx = kx} + C$
    2. $\int {{x^\alpha }dx = \frac{{{x^{\alpha + 1}}}}{{\alpha + 1}}} + C;\,\,(\alpha \in R,\alpha \ne - 1)$ 3. $\int {\frac{{dx}}{x}} = \ln \left| x \right| + C$
    4. $\int {{a^x}dx = \frac{{{a^x}}}{{\ln a}} + C} $
    5. $\int {{e^x}dx = {e^x} + C} $
    6. $\int {\frac{{dx}}{{1 + {x^2}}} = {\rm{arctanx + C}}} $ ( hoặc có thế đặt x = tant/2)
    7. $\int {\frac{{dx}}{{\sqrt {1 - {x^2}} }}} = {\rm{arcsinx + C }}$ ( hoặc có thể đặt x = sint)
    8. $\int {{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx dx = - cosx + C}}} $
    9. $\int {{\rm{cosx dx = sinx + C}}} $

    3. Bài tập vận dụng

    Bài tập 1:
    Tính các tích phân sau
    a) I=$\int\limits_1^{\sqrt 2 } {({x^3} + 2x + 1)dx} $
    b) I= $\int\limits_{\frac{{ - 1}}{3}}^1 {{e^{3x + 1}}dx} $
    Giải
    a) I = $\left( {\frac{{{x^4}}}{4} + {x^2} + x} \right)\left| {_1^{\sqrt 2 }} \right. = \left( {1 + 2 + \sqrt 2 } \right) - \left( {\frac{1}{4} + 1 + 1} \right) = \frac{3}{4} + \sqrt 2 $
    b) I= $\left( {\frac{{{e^{3x + 1}}}}{3}} \right)\left| {_{\frac{{ - 1}}{3}}^1} \right. = \frac{1}{3}({e^4} - {e^0})$

    Bài tập 2: Tính tích phân sau
    I = $\int\limits_{ - 2}^2 {\frac{{dx}}{{{{(x + 1)}^2}}}} $
    Giải
    Hàm số y = $\frac{1}{{{{(x + 1)}^2}}}$ không xác định tại x = -1 ∈ [- 2; 2] suy ra hàm số không liên tục trên [- 2; 2] do đó tích phân trên không tồn tại.

    * chú ý: nhiều học sinh thường mắc sai lầm như sau:
    $I = \int\limits_{ - 2}^2 {\frac{{dx}}{{{{(x + 1)}^2}}}} = \int\limits_{ - 2}^2 {\frac{{d(x + 1)}}{{{{(x + 1)}^2}}}} = - \frac{1}{{x + 1}}\left| {_{ - 2}^2} \right. = - \frac{1}{3} - 1 = - \frac{4}{3}$

    * Nguyên nhân sai lầm:
    Hàm số y = $\frac{1}{{{{(x + 1)}^2}}}$ không xác định tại x= -1∈ [- 2; 2] suy ra hàm số không liên tục trên [- 2; 2] nên không sử dụng được công thức newtơn – leibnitz như cách giải trên.

    * Chú ý đối với học sinh:

    Khi tính $\int\limits_a^b {} f(x)dx$ cần chú ý xem hàm số y = f(x) có liên tục trên [a; b] không? nếu có thì áp dụng phương pháp đã học để tính tích phân đã cho còn nếu không thì kết luận ngay tích phân này không tồn tại.

    * Một số bài tập tương tự:
    Tính các tích phân sau:
    1/ $\int\limits_0^5 {\frac{{dx}}{{{{(x - 4)}^4}}}}$.
    2/ $\int\limits_{ - 2}^3 {x({x^2}} - 1{)^{\frac{1}{2}}}dx$.
    3/ $\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{1}{{{{\cos }^4}x}}} dx$
    4/ $\int\limits_{ - 1}^1 {\frac{{ - {x^3}.{e^x} + {x^2}}}{{{x^3}}}} dx$

    II. Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số

    Giả sử ta cần phải tìm $\int {f(u)du} $. Trong nhiều trường hợp một cách thuận lợi ta coi như u như một hàm khả vi theo một biến mới là x. Như vậy việc tìm $\int {f(u)du} $ đưa về việc tìm $\int {f(u(x))u'(x)dx} $ một cách đơn giản hơn.

    Bài tập 1: Tính tích phân:
    $I = \int\limits_0^{\sqrt 3 } {{x^5}\sqrt {1 + {x^2}} dx} $
    Giải
    Đặt $t = \sqrt {1 + {x^2}} \Leftrightarrow {t^2} = 1 + {x^2} \Rightarrow 2tdt = 2xdx$
    Đổi cận: x = 0 → t = 1
    x = √3 → t = 2
    Khi đó: $\int\limits_0^{\sqrt 3 } {{x^4}\sqrt {1 + {x^2}} } .xdx = \int\limits_1^2 {{{({t^2} - 1)}^2}{t^2}dt} = \left( {\frac{{{t^7}}}{7} - \frac{{2{t^5}}}{5} + \frac{{{t^3}}}{3}} \right)\left| {_1^2} \right. = \frac{{848}}{{105}}$

    Bài tập 2:
    Tính tích phân: I = $\int\limits_0^\pi {\frac{{dx}}{{1 + \sin x}}} $
    Giải
    $I = \int\limits_0^\pi {\frac{{dx}}{{1 + \sin x}}} = \int\limits_0^\pi {\frac{{dx}}{{1 + \cos \left( {x - \frac{\pi }{2}} \right)}} = } \int\limits_0^\pi {\frac{{d\left( {\frac{x}{2} - \frac{\pi }{4}} \right)}}{{{{\cos }^2}\left( {\frac{x}{2} - \frac{\pi }{4}} \right)}} = \tan \left( {\frac{x}{2} - \frac{\pi }{4}} \right)\left| {_0^\pi } \right.} = \tan \frac{\pi }{4} - \tan \left( {\frac{{ - \pi }}{4}} \right) = 2$

    * Sai lầm thường gặp: Đặt t = tan(x/2) thì $dx = \frac{{2dt}}{{1 + {t^2}}};\,\frac{1}{{1 + \sin x}} = \frac{{1 + {t^2}}}{{{{(1 + t)}^2}}}$

    $\begin{array}{l} \to \int {\frac{{dx}}{{1 + \sin x}}} = \int {\frac{{2dt}}{{{{(1 + t)}^2}}}} = \int {2{{(t + 1)}^{ - 2}}} d\left( {t + 1} \right) = - \frac{2}{{t + 1}} + c\\\to \int\limits_0^\pi {\frac{{dx}}{{1 + \sin x}}} = \frac{{ - 2}}{{\tan \left( {\frac{x}{2}} \right) + 1}}\left| {_0^\pi } \right. = \frac{{ - 2}}{{\tan \left( {\frac{\pi }{2}} \right) + 1}} - \frac{2}{{\tan \left( 0 \right) + 1}}\end{array}$
    Do tan(π/2) không xác định nên tích phân trên không tồn tại

    *Nguyên nhân sai lầm:
    Đặt t = tan(x/2) ∈ [0; π] tại x = π thì tan(x/2) không có nghĩa.

    * Chú ý đối với học sinh:
    Đối với phương pháp đổi biến số khi đặt t = u(x) thì u(x) phải là một hàm số liên tục và có đạo hàm liên tục trên [a; b].

    *Một số bài tập tương tự:
    Tính các tích phân sau:
    1/ $\int\limits_0^\pi {\frac{{dx}}{{\sin x}}} $
    2/ $\int\limits_0^\pi {\frac{{dx}}{{1 + \cos x}}} $

    Bài tập 3: Tính $\int {\frac{{dx}}{{\sqrt {{x^2} - {a^{}}} }}} $
    Giải
    Đặt $t = x + \sqrt {{x^2} - a} \Rightarrow \frac{{dt}}{t} = \frac{{dx}}{{\sqrt {{x^2} - a} }} \Rightarrow \int {\frac{{dx}}{{\sqrt {{x^2} - a} }}} = \int {\frac{{dt}}{t} = \ln t + C} $

    Bài tập 4: Tính I = $\int\limits_0^4 {\sqrt {{x^2} - 6x + 9} } $dx
    Giải
    * Sai lầm thường gặp:
    $I = \int\limits_0^4 {\sqrt {{x^2} - 6x + 9} } dx = \int\limits_0^4 {\sqrt {{{\left( {x - 3} \right)}^2}} } dx = \int\limits_0^4 {\left( {x - 3} \right)d\left( {x - 3} \right) = \frac{{{{\left( {x - 3} \right)}^2}}}{2}} \left| {_0^4} \right. = \frac{1}{2} - \frac{9}{2} = - 4$

    * Nguyên nhân sai lầm:
    Phép biến đổi ${\sqrt {\left( {x - 3} \right)} ^2} = x – 3$ với x ∈ [0; 4] là không tương đương.

    * Lời giải đúng:

    $\begin{array}{l}I = \int\limits_0^4 {\sqrt {{x^2} - 6x + 9} } dx\\ = \int\limits_0^4 {\sqrt {{{\left( {x - 3} \right)}^2}} } dx = \int\limits_0^4 {\left| {x - 3} \right|} d\left( {x - 3} \right) = \int\limits_0^3 { - \left( {x - 3} \right)d\left( {x - 3} \right) + \int\limits_3^4 {\left( {x - 3} \right)d\left( {x - 3} \right)} } \\
    = - \frac{{{{\left( {x - 3} \right)}^2}}}{2}\left| {_0^3} \right. + \frac{{{{\left( {x - 3} \right)}^2}}}{2}\left| {_3^4} \right. = \frac{9}{2} + \frac{1}{2} = 5\end{array}$

    * Chú ý đối với học sinh:
    $\sqrt[{2n}]{{{{\left( {f\left( x \right)} \right)}^{2n}}}} = \left| {f\left( x \right)} \right|;\,\,\left( {n \ge 1,n \in N} \right)$

    $I = \int\limits_a^b {\sqrt[{2n}]{{{{\left( {f\left( x \right)} \right)}^{2n}}}}} = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right)} \right|} dx$
    ta phải xét dấu hàm số f(x) trên [a; b] rồi dùng tính chất tích phân tách I thành tổng các phân không chứa dấu giá trị tuyệt đối.

    Một số bài tập tương tự:
    1/ $I = \int\limits_0^\pi {\sqrt {1 - \sin 2x} } dx$;
    2/ $I = \int\limits_0^3 {\sqrt {{x^3} - 2{x^2} + x} } .dx$
    3/ $I = \int\limits_{\frac{1}{2}}^2 {\sqrt {\left( {{x^2} + \frac{1}{{{x^2}}} - 2} \right)} } dx$
    4/ I = $\int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{3}} {\sqrt {t{g^2}x + \cot {g^2}x - 2} }$dx

    Bài tập 4: Tính I = $\int\limits_{ - 1}^0 {\frac{{dx}}{{{x^2} + 2x + 2}}} $
    Giải
    * Sai lầm thường gặp:
    $\int\limits_{ - 1}^0 {\frac{{d\left( {x + 1} \right)}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2} + 1}}} = \arctan \left( {x + 1} \right)\left| {_{ - 1}^0} \right. = \arctan \left( 1 \right) - \arctan \left( 0 \right) = \frac{\pi }{4}$

    * Nguyên nhân sai lầm :

    Đáp số của bài toán thì không sai. Nhưng khái niệm hàm ngược bây giờ không đưa vào chương trình thpt.

    * Lời giải đúng:

    Đặt x + 1 = tant → dx = (1 + tan$^2$t)dt
    với x = -1 thì t = 0
    với x = 0 thì t = π/4
    Khi đó $I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\frac{{\left( {1 + {{\tan }^2}t} \right)dt}}{{{{\tan }^{}}t + 1}}} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {dt = t\left| {_0^{\frac{\pi }{4}}} \right. = \frac{\pi }{4}} $

    * Chú ý đối với học sinh:

    Các khái niệm arcsinx , arctgx không trình bày trong sách giáo khoa. Học sinh có thể đọc thấy một số bài tập áp dụng khái niệm này trong một sách tham khảo, vì các sách này viết theo sách giáo khoa cũ (trước năm 2000). Từ năm 2000 đến nay do các khái niệm này không có trong sách giáo khoa nên học sinh không được áp dụng phương pháp này nữa. Vì vậy khi gặp tích phân dạng $\int\limits_a^b {\frac{1}{{1 + {x^2}}}dx}$ ta dùng phương pháp đổi biến số đặt t = tanx hoặc t = cotx
    $\int\limits_a^b {\frac{1}{{\sqrt {1 - {x^2}} }}dx} $ thì đặt x = sint hoặc x = cost

    *Một số bài tập tương tự:

    1/ I = $\int\limits_4^8 {\frac{{\sqrt {{x^2} - 16} }}{x}dx}$
    2/ I = $\int\limits_0^1 {\frac{{2{x^3} + 2x + 3}}{{{x^2} + 1}}} dx$
    3/ I =$\int\limits_0^{\frac{1}{{\sqrt 3 }}} {\frac{{{x^3}dx}}{{\sqrt {1 - {x^8}} }}} $

    Bài tập 5:
    Tính :I = $\int\limits_0^{\frac{1}{4}} {\frac{{{x^3}}}{{\sqrt {1 - {x^2}} }}dx} $
    Giải
    *Suy luận sai lầm: Đặt x = sint , dx = costdt
    $\int {\frac{{{x^3}}}{{\sqrt {1 - {x^2}} }}dx = \int {\frac{{{{\sin }^3}t}}{{\left| {\cos t} \right|}}dt} } $
    Đổi cận: với x = 0 thì t = 0
    với x= 1/4 thì t = ?

    * Nguyên nhân sai lầm:

    Khi gặp tích phân của hàm số có chứa $\sqrt {1 - {x^2}} $ thì thường đặt x = sint nhưng đối với tích phân này sẽ gặp khó khăn khi đổi cận cụ thể với x = 1/4 không tìm được chính xác t = ?

    * Lời giải đúng:

    Đặt $t = \sqrt {1 - {x^2}} \to dt = \frac{x}{{\sqrt {1 - {x^2}} }}dx \to tdt = xdx$
    Đổi cận: với x = 0 thì t = 1; với x = 1/4 thì t = $\frac{{\sqrt {15} }}{4}$
    $I = \int\limits_0^{\frac{1}{4}} {\frac{{{x^3}}}{{\sqrt {1 - {x^2}} }}dx = } \int\limits_1^{\frac{{\sqrt {15} }}{4}} {\frac{{\left( {1 - {t^2}} \right)tdt}}{t} = \int\limits_1^{\frac{{\sqrt {15} }}{4}} {\left( {1 - {t^2}} \right)dt = \left( {t - \frac{{{t^3}}}{3}} \right)\left| {_1^{\frac{{\sqrt {15} }}{4}}} \right. = \left( {\frac{{\sqrt {15} }}{4} - \frac{{15\sqrt {15} }}{{192}}} \right) - \frac{2}{3} = \frac{{33\sqrt {15} }}{{192}} - \frac{2}{3}} } $

    * Chú ý đối với học sinh: Khi gặp tích phân của hàm số có chứa $\sqrt {1 - {x^2}}$ thì thường đặt x = sint hoặc gặp tích phân của hàm số có chứa 1+ x$^2$ thì đặt x = tan(t) nhưng cần chú ý đến cận của tích phân đó nếu cận là giá trị lượng giác của góc đặc biệt thì mới làm được theo phương pháp này còn nếu không thì phải nghĩ đếnphương pháp khác.

    *Một số bài tập tương tự:
    1/ tính I = $\int\limits_0^{\sqrt 7 } {\frac{{{x^3}}}{{\sqrt {1 + {x^2}} }}} dx$
    2/tính I = $\int\limits_1^2 {\frac{{dx}}{{x\sqrt {{x^2} + 1} }}} $

    Bài tập 6: tính I = $\int\limits_{ - 1}^1 {\frac{{{x^2} - 1}}{{1 + {x^4}}}dx}$
    Giải
    * Sai lầm thường mắc: I = $\int\limits_{ - 1}^1 {\frac{{1 - \frac{1}{{{x^2}}}}}{{\frac{1}{{{x^2}}} + {x^2}}} = \int\limits_{ - 1}^1 {\frac{{\left( {1 - \frac{1}{{{x^2}}}} \right)}}{{{{\left( {x + \frac{1}{x}} \right)}^2} - 2}}dx} } $

    Đặt $t = x + \frac{1}{x} \Rightarrow dt = \left( {1 - \frac{1}{{{x^2}}}} \right)dx$

    Đổi cận với x = -1 thì t = - 2 ; với x = 1 thì t = 2;

    $\begin{array}{l}t = \int\limits_{ - 2}^2 {\frac{{dt}}{{{t^2} - 2}}} = \int\limits_{ - 2}^2 {(\frac{1}{{t + \sqrt 2 }}} - \frac{1}{{t - \sqrt 2 }})dt = \left( {\ln \left| {t + \sqrt 2 } \right| - \ln \left| {t - \sqrt 2 } \right|} \right)\left| {_{ - 2}^2} \right. = \ln \left| {\frac{{t + \sqrt 2 }}{{t - \sqrt 2 }}} \right|\left| {_{ - 2}^2} \right.\\ = \ln \frac{{2 + \sqrt 2 }}{{2 - \sqrt 2 }} - \ln \left| {\frac{{ - 2 + \sqrt 2 }}{{ - 2 - \sqrt 2 }}} \right| = 2\ln \frac{{2 + \sqrt 2 }}{{2 - \sqrt 2 }}\end{array}$

    * Nguyên nhân sai lầm: $\frac{{{x^2} - 1}}{{1 + {x^4}}} = \frac{{1 - \frac{1}{{{x^2}}}}}{{\frac{1}{{{x^2}}} + {x^2}}}$ là sai vì trong [-1; 1] chứa x = 0 nên không thể chia cả tử cả mẫu cho x = 0 được. Nhưng từ sai lầm này nếu các bạn thấy rằng x = 0 không thuộc thuộc tập xác định thì cách làm như trên thật tuyệt vời.

    * Lời giải đúng:

    xét hàm số:
    $\begin{array}{l}F\left( x \right) = \frac{1}{{2\sqrt 2 }}\ln \frac{{{x^2} - x\sqrt 2 + 1}}{{{x^2} + x\sqrt 2 + 1}}\\F'\left( x \right) = \frac{1}{{2\sqrt 2 }}(\ln \frac{{{x^2} - x\sqrt 2 + 1}}{{{x^2} + x\sqrt 2 + 1}})' = \frac{{{x^2} - 1}}{{{x^4} + 1}}\end{array}$

    Do đó $I = \int\limits_{ - 1}^1 {\frac{{{x^2} - 1}}{{1 + {x^4}}}dx} = \frac{1}{{2\sqrt 2 }}\ln \frac{{{x^2} - x\sqrt 2 + 1}}{{{x^2} + x\sqrt 2 + 1}}\left| {_{ - 1}^1} \right. = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\ln \frac{{2 - \sqrt 2 }}{{2 + \sqrt 2 }}$

    *Chú ý đối với học sinh: Khi tính tích phân cần chia cả tử cả mẫu của hàm số cho x cần để ý rằng trong đoạn lấy tích phân phải không chứa điểm x = 0.

    BÀI TẬP ĐỀ NGHI
    1) a)Tính $\int {\sqrt {{x^2} + a} } dx$ ( tính đạo hàm của hàm số f(x)= $x\sqrt {{x^2} + a} $)
    2) $\int\limits_0^1 {{x^3}{{\left( {{x^4} + 1} \right)}^3}dx} $ ( đặt t = x$^2$ + 1)
    3) $\int\limits_0^\pi {\frac{{x\sin x}}{{1 + c{\rm{o}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}x}}dx} $ ( đặt x = π - t )
    4) $\int\limits_1^2 {\frac{{\sqrt {1 + {x^2}} }}{{{x^4}}}dx} $ ( đặt t = 1/x)
    5) $\int\limits_0^a {\sqrt {{a^2} - {x^2}} dx} $
    6) $\int {\sqrt {{a^2} + {x^2}} dx} $
    7) $\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\frac{{dx}}{{{{\tan }^2}x}}} $ ( đặt t = tan x)
    8) $\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\frac{{1 + \sin 2x}}{{c{\rm{o}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}x}}dx} $ ( đặt t = 1 + sin2x )

    III. Phương pháp tích phân từng phần

    Từ đẳng thức (uv)’ = uv’+u’v
    Ta có: $\int {uv'dx = uv - \int {u'vdx} } $ đó là công thức tính tích phân từng phần
    Để tính tích phân $I = \int\limits_a^b {f(x)dx} $ ta thực hiện các bước như sau:
    • Bước 1: Biến đổi tích phân ban đầu về dạng
    $I = \int\limits_a^b {f(x)dx = \int\limits_a^b {{f_1}(x){f_2}(x)dx} }$
    • Bước 2: đặt
    $\left\{ \begin{array}{l}u = {f_1}\left( x \right)\\v' = {f_2}\left( x \right)\end{array} \right. \to \left\{ \begin{array}{l}u'\\v\end{array} \right.$
    • Bước 3: Khi đó $I = uv\left| {_a^b - \int\limits_a^b {uv'dx} } \right.$
    Chú ý: Khi sử dụng phương pháp tích phân từng phần để tính tích phân, chúng ta cần tuân thủ theo các nguyên tắc sau:

    1. Lựa chọn phép đặt v’ sao cho v được xác định một cách dễ dàng.
    2. Tích phân $\int\limits_a^b {vu'dx}$ được xác định một cách dễ dàng hơn so với I
    3. Chúng ta cần nhớ các dạng cơ bản sau:

    Dạng 1 :
    $I = \int\limits_{}^{} {{x^\alpha }l{\rm{inxdx,}}} $ khi đó cần đặt u = linx

    Dạng 2:
    $I = \int {p(x){e^{\alpha x}}dx}$ với P là một đa thức. Khi đó ta đặt u= p(x)

    Dạng 3:

    $I = \int {p(x)\sin \alpha xdx} $ (hoặc $I = \int {p(x)c{\rm{os}}\alpha xdx} $ ) Với P(x) là một đa thức và khi đó ta đặt u = P(x)

    Dạng 4:
    $I = \int {{e^{{\rm{ax}}}}c{\rm{os}}\alpha xdx} $ (hoặc $I = \int {{e^{{\rm{ax}}}}\sin \alpha xdx} $ ) Khi đó đặt u = cos ax (hoặc u = sin ax)

    Bài tập 1:

    a) Tìm $\int {{x^3}l{\rm{nx dx}}} $
    b)Tìm $\int {{x^2}{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inxdx}}} $
    Giải
    a) đặt u = lnx, u’=1/x
    $v' = {x^3},v = \frac{{{x^4}}}{4}$
    Khi đó ta có
    $I = \frac{{{x^4}\ln x}}{4} - \frac{1}{4}\int {{x^3}dx = \frac{{{x^4}\ln x}}{4} - {x^4} + C} $

    b)Đặt $ u = {x^2};\,\,u' = 2x;\,\,v' = {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx, v = - cosx}}$
    Khi đó :
    $\begin{array}{l}I = - {x^2}c{\rm{osx - 2}}\int {{\rm{xcosxdx}}} = - {x^2}c{\rm{osx + 2(xsinx - }}\int {{\rm{sinxdx)}}} \\= - {x^2}c{\rm{osx + 2(xsinx + cosx) + C}}\end{array}$

    Chú ý: Thực tế cho thấy nếu những bài toán tích phân mà chứa các hàm như ln, sin, cos, hàm mũ. Thì chúng ta cần nên nghĩ ngay đến phương pháp tích phân từng phần nếu như gặp khó khăn. C ó những bài toán mà chúng ta cần phải sử dụng tích phân từng phần nhiều lần. Chú ‎y bài toán sau

    Bài tập 2
    : Tính $\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {{e^{2x}}c{\rm{os3xdx}}} $
    Giải
    Đặt $u = {e^{2{\rm{x}}}};u' = 2{{\rm{e}}^{{\rm{2x}}}};\,v = \cos \left( {3x} \right);\,v' = \frac{{\sin \left( {3x} \right)}}{3}$

    $I = \left[ {{e^{2{\rm{x}}}}\frac{{\sin 3{\rm{x}}}}{{\rm{3}}}} \right]_0^{\frac{\pi }{2}} - \frac{2}{3}\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {{e^{2{\rm{x}}}}\sin 3{\rm{x dx = }}} - \frac{{{e^\pi }}}{3} - \frac{2}{3}{I_1}$

    Tính I$_1$ Đặt $u = {e^{2{\rm{x}}}} \to u' = 2{{\rm{e}}^{{\rm{2x}}}};\,v = \sin 3{\rm{x, v' = }}\frac{{{\rm{ - cos3x}}}}{{\rm{3}}}$

    $\begin{array}{l}{I_1} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {{e^{2{\rm{x}}}}\sin 3{\rm{x dx}}} = \left[ { - {e^{2{\rm{x}}}}\frac{{c{\rm{os3x}}}}{{\rm{3}}}} \right]_0^{\frac{\pi }{2}} + \frac{2}{3}\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {{e^{2{\rm{x}}}}c{\rm{os3x dx}}} = \frac{1}{3} + I\\
    \end{array}$

    Do đó:
    $I = - \frac{{{e^\pi }}}{3} - \frac{2}{3}\left( {\frac{1}{3} + I} \right) = - \frac{{{e^\pi }}}{3} - \frac{2}{9} - \frac{4}{9}I \Rightarrow I = - \frac{{3{{\rm{e}}^\pi } + 2}}{{13}}$

    Chú ý: Tích phân trên nếu các bạn không biến đổi theo hướng trên thì gặp nhiều khó khăn. Cách làm như trên áp dụng đối với một tích phân mà nó gồm hai hàm khi đạo hàm có tính chất lặp đi lặp lại.
     
    Ma Bư Béo thích bài này.

    Bình Luận Bằng Facebook

  2. Võ Gia Huy

    Võ Gia Huy Mới đăng kí

    Tham gia ngày:
    3/8/17
    Bài viết:
    17
    Đã được thích:
    0
    Điểm thành tích:
    0
    Giới tính:
    Nam
    Tính tích phân \(\int\limits_1^e {\frac{{\ln x}}{{{x^2}}}dx}\) được kết quả \(a + \frac{b}{e}\). Tính tổng \(a + b\).
    A. -2
    B. -1
    C. 2
    D. 3
     
    1. Minh Toán
      \(I = \int\limits_1^e {\frac{{\ln x}}{{{x^2}}}dx}\) Đặt \(\left\{ \begin{array}{l} \ln x = u \to du = \frac{1}{x}dx\\ \frac{{dx}}{{{x^2}}} = dv \Rightarrow v = - \frac{1}{x} \end{array} \right.\)
      Khi đó \(I = \left. { - \frac{1}{x}.\ln x} \right|_1^e - \int\limits_1^e { - \frac{1}{x}.\frac{1}{x}dx}\)
      \(= \left( { - \frac{1}{e}.{\mathop{\rm lne}\nolimits} } \right) - \left( { - \frac{1}{1}.\ln 1} \right) + \int\limits_1^e {\frac{1}{{{x^2}}}dx}\)
      \(= \frac{{ - 1}}{e} + \left. {\left( { - \frac{1}{x}} \right)} \right|_1^e = \frac{{ - 1}}{e} - \frac{1}{e} + \frac{1}{1} = 1 - \frac{2}{e}\)
      Vậy a=1; b=-2 nên a+b=-1.
       
      Minh Toán, 6/12/17
  3. Võ hiếu trung

    Võ hiếu trung Mới đăng kí

    Tham gia ngày:
    8/6/17
    Bài viết:
    15
    Đã được thích:
    0
    Điểm thành tích:
    0
    Giới tính:
    Nam
    Một bác thợ xây bơm nước vào bể chứa nước. Gọi h(t) là thể tích nước bơm được sau t giây. Cho \(h'\left( t \right) = 3a{t^2} + bt\) và:
    Ban đầu bể không có nước.
    Sau 5 giây thì thể tích nước trong bể là 150 m3
    Sau 10 giây thi thể tích nước trong bể là 1100 m3
    Tính thể tích V của nước trong bể sau khi bơm được 20 giây.
    A. V=8400 (m3)
    B. V=2200 (m3)
    C. V=600 (m3)
    D. V=4200 (m3)
     
    1. Minh Toán
      Nhìn vào bài toán ta có thể nhận ra ngay đây là bài toán tính tích phân, vì đã có đạo hàm. Nên từ các dữ kiện đề cho ta có:
      \(\int\limits_0^5 {\left( {3a{t^2} + bt} \right)dt} = \left( {a{t^3} + \frac{1}{2}b{t^2}} \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 5\\ 0 \end{array}} \right.\)\(= 125a + \frac{{25}}{2}b = 150\)
      Tương tự ta có \(1000a + 50b = 1100\)
      Vậy từ đó ta tính được \(a = 1;b = 2\)
      Vậy thể tích nước sau khi bơm được 20 giây là \(\int\limits_0^{20} {h'\left( t \right)dt} = \left( {{t^3} + {t^2}} \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {20}\\ 0 \end{array}} \right. = 8400.\)
       
      Minh Toán, 6/12/17
  4. Vo hong dat

    Vo hong dat Mới đăng kí

    Tham gia ngày:
    15/9/17
    Bài viết:
    14
    Đã được thích:
    0
    Điểm thành tích:
    0
    Giới tính:
    Nữ
    Tính tích phân \(I = \int\limits_1^2 {\frac{{{x^2} - 2x}}{{{x^3}}}dx}\) ta được kết quả \(I = a + {\mathop{\rm lnb}\nolimits}\). Tính tổng a+b.
    A. a+b=1
    B. a+b=2
    C. a+b=0
    D. a+b=-1
     
    1. Minh Toán
      \(I = \int\limits_1^2 {\frac{{{x^2} - 2x}}{{{x^3}}}dx} = \int\limits_1^2 {\left( {\frac{1}{x} - \frac{2}{{{x^2}}}} \right)dx} = \left. {\left( {\ln \left| x \right| + \frac{2}{x}} \right)} \right|_1^2\)
      \(= \left( {\ln 2 + 1} \right) - \left( {\ln 1 + 2} \right) = - 1 + \ln 2\)
      Vậy a=-1; b=2. Suy ra a+b=1.
       
      Minh Toán, 6/12/17
  5. Võ Ngọc Mãnh

    Võ Ngọc Mãnh Mới đăng kí

    Tham gia ngày:
    1/11/17
    Bài viết:
    13
    Đã được thích:
    0
    Điểm thành tích:
    0
    Giới tính:
    Nam
    Cho \(\int {f(x)dx = F(x) + C}\). Khi đó với \(a \ne 0\), tính \(\int {f(ax + b)dx}\).
    A. \(\int {f(ax + b)dx} = aF(ax + b) + C\)
    B. \(\int {f(ax + b)dx} = \frac{1}{a}F(ax + b) + C\)
    C. \(\int {f(ax + b)dx} = \frac{1}{{2a}}F(ax + b) + C\)
    D. \(\int {f(ax + b)dx} = F(ax + b) + C\)
     
    1. Minh Toán
      \(\int {f(ax + b)dx} = \frac{1}{a}F(ax + b) + C\)
      Vì \(\frac{1}{a}\left[ {F(ax + b)} \right]' = \frac{1}{a}\left[ {a.f(ax + b)} \right] = f(ax + b)\)
       
      Minh Toán, 6/12/17
  6. võ thị mai anh

    võ thị mai anh Mới đăng kí

    Tham gia ngày:
    27/10/17
    Bài viết:
    14
    Đã được thích:
    0
    Điểm thành tích:
    0
    Giới tính:
    Nữ
    Cho tích phân \(I = \int\limits_0^\pi {{{\sin }^2}x.{{\cos }^2}xdx.}\) Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
    A. \(I = \frac{1}{4}\left( {\frac{1}{2}x - \frac{1}{4}\sin 4x} \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {^\pi }\\ {_0} \end{array}} \right.\)
    B. \(I = \frac{1}{8}\left( {x + \frac{1}{4}\sin 4x} \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {^\pi }\\ {_0} \end{array}} \right.\)
    C. \(I = \frac{1}{8}\left( {x - \frac{1}{4}\sin 4x} \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {^\pi }\\ {_0} \end{array}} \right.\)
    D. \(I = \frac{1}{4}\left( {\frac{1}{2}x + \frac{1}{4}\sin 4x} \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {^\pi }\\ {_0} \end{array}} \right.\)
     
    1. Minh Toán
      \(I = \int\limits_0^\pi {{{\sin }^2}x.{{\cos }^2}xdx} = \frac{1}{4}\int\limits_0^\pi {{{\sin }^2}2xdx}\)
      \(= \frac{1}{8}\int\limits_0^\pi {\left( {1 - \cos 4x} \right)dx} = \frac{1}{8}\left( {x - \sin 4x} \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {^\pi }\\ {_0} \end{array}} \right.\)
       
      Minh Toán, 6/12/17
  7. võ vũ đức

    võ vũ đức Mới đăng kí

    Tham gia ngày:
    5/10/17
    Bài viết:
    11
    Đã được thích:
    0
    Điểm thành tích:
    0
    Giới tính:
    Nam
    Cho hàm số \(f(x) = \frac{1}{{x + 2}}\). Khẳng định nào sau đây là sai?
    A. \(\int {\frac{1}{{x + 2}}dx = \ln (x + 2) + C}\)
    B. \(\ln \left( {3\left| {x + 2} \right|} \right)\) là một nguyên hàm của hàm số f(x)
    C. \(\ln \left| {x + 2} \right| + C\) là họ nguyên hàm của f(x)
    D. \(\ln \left| {x + 2} \right|\) là một nguyên hàm của f(x)
     
    1. Minh Toán
      Ta có: \(\int {\frac{1}{{x + 2}}dx = \ln \left| {x + 2} \right| + C}\)
      Do đó các hàm số \(\ln \left| {x + 2} \right|\) và \(\ln \left( {3\left| {x + 2} \right|} \right) = \ln 3 + \ln \left| {x + 2} \right|\) đều là nguyên hàm của hàm số f(x) .
      Hàm số \(y = \ln (x + 2)\) không phải nguyên hàm của hàm số f(x).
       
      Minh Toán, 6/12/17
  8. vobuoisaydeo119

    vobuoisaydeo119 Mới đăng kí

    Tham gia ngày:
    27/6/17
    Bài viết:
    7
    Đã được thích:
    0
    Điểm thành tích:
    0
    Giới tính:
    Nữ
    Tính tích phân \(I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {{{\cos }^2}xdx}\).
    A. \(I = \frac{{\pi + 2}}{8}\)
    B. \(I = \frac{{\pi + 2}}{4}\)
    C. \(I = \frac{1}{3}\)
    D. \(I = \frac{2}{3}\)
     
    1. Minh Toán
      \(I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {{{\cos }^2}xdx = } \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {(1 + \cos 2x)dx = } \left. {\frac{1}{2}(x + \frac{1}{2}sin2x)} \right|_0^{\frac{\pi }{4}} = \frac{{\pi + 2}}{8}\)
       
      Minh Toán, 6/12/17
  9. vodanh2k

    vodanh2k Mới đăng kí

    Tham gia ngày:
    1/10/17
    Bài viết:
    3
    Đã được thích:
    0
    Điểm thành tích:
    0
    Giới tính:
    Nam
    Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai?
    A. \(\int\limits_a^b {\left( {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right)} dx = \int\limits_a^b {f\left( x \right)} dx + \int\limits_a^b {g\left( x \right)} dx\)
    B. \(\int\limits_a^b {kf\left( x \right)} dx = k\int\limits_a^b {f\left( x \right)} dx\)
    C. \(\int\limits_a^a {f\left( x \right)} dx = 1\)
    D. \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)} dx + \int\limits_b^c {f\left( x \right)} dx = \int\limits_a^c {f\left( x \right)} dx\)
     
    1. Minh Toán
      \(\int\limits_a^a {f\left( x \right)dx} = F\left( x \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}} a\\ a \end{array}} \right. = F\left( a \right) - F\left( a \right) = 0\)
      Các phương án còn lại đều là những tính chất của tích phân đã được học trong chương trình phổ thông.
       
      Minh Toán, 6/12/17
  10. vodinh501052

    vodinh501052 Mới đăng kí

    Tham gia ngày:
    8/5/17
    Bài viết:
    2
    Đã được thích:
    0
    Điểm thành tích:
    0
    Giới tính:
    Nam
    Cho \(\int\limits_2^5 {\frac{{dx}}{x}} = \ln a\). Tìm a.
    A. \(a = \frac{5}{2}\)
    B. \(a = 2\)
    C. \(a =5\)
    D. \(a = \frac{2}{5}\)
     
    1. Minh Toán
      Ta có: \(\int\limits_2^5 {\frac{{dx}}{x}} = \ln a \Leftrightarrow \left. {\ln \left| x \right|} \right|_2^5 = \ln a \Leftrightarrow \ln 5 - \ln 2 = \ln a \Leftrightarrow \ln \frac{5}{2} = \ln a \Leftrightarrow a = \frac{5}{2}\)
       
      Minh Toán, 6/12/17
  11. VOHIEU

    VOHIEU Mới đăng kí

    Tham gia ngày:
    18/7/17
    Bài viết:
    1
    Đã được thích:
    0
    Điểm thành tích:
    1
    Giới tính:
    Nam
    Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề đúng?
    A. \(\int {\sin 2xdx} = \frac{{ - \cos 2x}}{2} + C;C \in \mathbb{R}\)
    B. \(\int {\sin 2xdx} = \frac{{\cos 2x}}{2} + C;C \in\)
    C. \(\int {\sin 2xdx} =2\cos2x+ C;C \in \mathbb{R}\)
    D. \(\int {\sin 2xdx} =\cos2x+ C;C \in \mathbb{R}\)
     
    1. Minh Toán
      Ta có \(\int {\sin \left( {ax + b} \right)dx} = - \frac{1}{a}.\cos \left( {ax + b} \right) + C\)
      Áp dụng công thức trên ta có: \(\int {\sin 2xdx} = \frac{{ - 1}}{2}\cos 2x + C.\)
       
      Minh Toán, 6/12/17
  12. nale2962

    nale2962 Mới đăng kí

    Tham gia ngày:
    10/7/17
    Bài viết:
    8
    Đã được thích:
    0
    Điểm thành tích:
    0
    Giới tính:
    Nam
    Khẳng định nào sau đây là đúng?
    A. \(\int {{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}dx} = \frac{{\left( {{x^2} + 1} \right)}}{3} + C;C \in \mathbb{R}\)
    B. \(\int {{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}dx} = \frac{{\left( {{x^2} + 1} \right)}}{3}\)
    C. \(\int {{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}dx} = \frac{x^5}{5}+\frac{2x^3}{3}+x+C;C \in \mathbb{R}\)
    D. \(\int {{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}dx} = \frac{x^5}{5}+\frac{2x^3}{3}+x\)
     
    1. Minh Toán
      Ta có: \(\int {{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}dx} = \int {\left( {{x^4} + 2{x^2} + 1} \right)dx} = \frac{{{x^5}}}{5} + \frac{2}{3}{x^3} + x + C;C \in \mathbb{R}\)
       
      Minh Toán, 6/12/17
  13. nam dương

    nam dương Mới đăng kí

    Tham gia ngày:
    15/5/17
    Bài viết:
    9
    Đã được thích:
    0
    Điểm thành tích:
    0
    Giới tính:
    Nam
    Đặt \(I = \int\limits_1^2 {\left( {2mx + 1} \right)dx}\) (m là tham số thực). Tìm m để I=4
    A. m=-1
    B. m=-2
    C. m=1
    D. m=2
     
    1. Minh Toán
      Ta có:
      \(I = \left( {m{x^2} + x} \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 2\\ 1 \end{array} = \left( {4m + 2} \right) - \left( {m + 1} \right) = 3m + 1 = 4 \Leftrightarrow m = 1} \right.\)
       
      Minh Toán, 6/12/17
  14. Nam Phạm

    Nam Phạm Mới đăng kí

    Tham gia ngày:
    30/9/17
    Bài viết:
    7
    Đã được thích:
    0
    Điểm thành tích:
    0
    Giới tính:
    Nam
    Biết \(\int\limits_0^a {\left( {2x - 3} \right)dx} = - 2\). Tính giá trị của tham số a.
    A. a = -2
    B. a = 3
    C. a = 1
    D. a = 1, a =2
     
    1. Minh Toán
      \(\int\limits_0^a {\left( {2x - 3} \right)dx} = - 2 \Leftrightarrow \left. {\left( {{x^2} - 3x} \right)} \right|_0^a = - 2 \Leftrightarrow {a^2} - 3a + 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} a = 1\\ a = 2 \end{array} \right.\)
       
      Minh Toán, 6/12/17
  15. namarchvip

    namarchvip Mới đăng kí

    Tham gia ngày:
    10/4/17
    Bài viết:
    7
    Đã được thích:
    0
    Điểm thành tích:
    1
    Giới tính:
    Nam
    Biết rằng \(\int\limits_1^5 {\frac{3}{{{x^2} + 3x}}dx} = a\ln 5 + b\ln 2, \left( {a,b \in Z } \right).\) Mệnh đề nào sau đây đúng?
    A. a + 2b = 0
    B. a + b = 0
    C. a - b = 0
    D. 2a - b = 0
     
    1. Minh Toán
      \(\begin{array}{l} \int\limits_1^5 {\frac{3}{{{x^2} + 3x}}dx} = \int\limits_1^5 {\frac{3}{{x(x + 3)}}dx} = \int\limits_1^5 {\left( {\frac{1}{x} - \frac{1}{{x + 3}}} \right)dx} \\ = \left. {\left( {\ln \left| x \right|} \right)} \right|_1^5 - \left. {\left( {\ln \left| {x + 3} \right|} \right)} \right|_1^5 = \ln 5 - \ln 2\\ \Rightarrow a + b = 0. \end{array}\)
       
      Minh Toán, 6/12/17
  16. Bá thắng

    Bá thắng Mới đăng kí

    Tham gia ngày:
    28/9/17
    Bài viết:
    22
    Đã được thích:
    1
    Điểm thành tích:
    1
    Giới tính:
    Nam
    Cho \(\int\limits_0^{\frac{1}{2}} {{x^n}{\rm{d}}x} = \frac{1}{{64}}\) và \(\int\limits_1^5 {\frac{{{\rm{d}}x}}{{2x - 1}}} = \ln m\), với m,n là các số nguyên dương. Khẳng định nào sau đây đúng?
    A. n>m
    B. 1<n+m<5
    C. n<m
    D. n=m
     
    1. Minh Toán
      Ta có:
      \(\begin{array}{l} \int\limits_0^{\frac{1}{2}} {{x^n}{\rm{d}}x = \frac{1}{{64}}} \Leftrightarrow \left. {\frac{{{x^{n + 1}}}}{{n + 1}}} \right|_0^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{{64}} \Leftrightarrow \frac{1}{{n + 1}} \cdot \frac{1}{{{2^{n + 1}}}} = \frac{1}{{64}}\\ \Leftrightarrow n + 1 = 4 \Leftrightarrow n = 3. \end{array}\)
      Và \(\int\limits_1^5 {\frac{{{\rm{d}}x}}{{2x - 1}}} = \ln m \Leftrightarrow \frac{1}{2}\left. {\ln \left| {2x - 1} \right|} \right|_1^5 = \ln m \Leftrightarrow \frac{1}{2}\ln 9 = \ln m \Leftrightarrow m = 3.\)
      Vậy \(n=m.\).
       
      Minh Toán, 6/12/17
  17. baaobaao101095

    baaobaao101095 Mới đăng kí

    Tham gia ngày:
    2/10/17
    Bài viết:
    22
    Đã được thích:
    2
    Điểm thành tích:
    0
    Giới tính:
    Nam
    Tìm các số a, b để hàm số \(f\left( x \right) = a\sin \pi x + b\) thỏa mãn: f(1)=2 và \(\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} = 4.\)
    A. \(a = \pi ,b = 2\)
    B. \(a = -\pi ,b = 2\)
    C. \(a = \frac{\pi }{2} ,b = 2\)
    D. \(a =- \frac{\pi }{2} ,b = 2\)
     
    1. Minh Toán
      Ta có \(f\left( 1 \right) = 2 \Leftrightarrow a\sin \pi + b = 2 \Leftrightarrow b = 2\)
      \(\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} = 4 \Leftrightarrow \int\limits_0^1 {\left( {a\sin \pi x + 2} \right)dx} = 4 \Leftrightarrow \left. {\left( {\frac{{ - a\cos \pi x}}{\pi } + 2x} \right)} \right|_0^1 = 4\)
      \(\Leftrightarrow a = \pi\)
       
      Minh Toán, 6/12/17
  18. Biết hàm số f(x) thỏa mãn \(f'\left( x \right) = ax + \frac{b}{{{x^2}}}\left( {a,b \ne 0} \right),f\left( { - 1} \right) = 2,f\left( 1 \right) = 4,f'\left( x \right) = 0.\) Khẳng định nào sau đây là đúng?
    A. \(f\left( x \right) = - \frac{1}{2}{x^2} - \frac{1}{x} + \frac{{11}}{2}\)
    B. \(f\left( x \right) = \frac{1}{2}{x^2} + \frac{1}{x} + \frac{5}{2}\)
    C. \(f\left( x \right) = 4{x^2} + \frac{4}{x} + 2\)
    D. \(f\left( x \right) = 2{x^2} + \frac{2}{x} + 2\)
     
    1. Minh Toán
      Ta có \(f'\left( x \right) = ax + \frac{b}{{{x^2}}} \Rightarrow f\left( x \right) = \int {f'\left( x \right)} dx = \int {\left( {ax + \frac{b}{{{x^2}}}} \right)dx = \frac{{a{x^2}}}{2}} - \frac{b}{x} + C.\)
      Mà \(f'\left( 1 \right) = 0 \Rightarrow a + b = 0\) và \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {f\left( { - 1} \right) = 2}\\ {f\left( 1 \right) = 4} \end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{a}{2} + b + C = 2}\\ {\frac{a}{2} - b + C = 4} \end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} {a = 1}\\ {b = - 1} \end{array}}\\ {c = \frac{5}{2}} \end{array}} \right.\)
      \(\Rightarrow f\left( x \right) = \frac{1}{2}{x^2} + \frac{1}{x} + \frac{5}{2}.\)
       
      Minh Toán, 6/12/17
  19. Vân Anh2k

    Vân Anh2k Mới đăng kí

    Tham gia ngày:
    6/10/17
    Bài viết:
    37
    Đã được thích:
    0
    Điểm thành tích:
    0
    Giới tính:
    Nữ
    Biết \(\int\limits_1^2 {\frac{{x{\rm{d}}x}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {2x + 1} \right)}} = a\ln 2 + b\ln 3 + c\ln 5}\). Tính S=a+b+c.
    A. S=1.
    B. S=0.
    C. S=-1.
    D. S=2.
     
    1. Minh Toán
      Ta có:
      \(\begin{array}{l} \int\limits_1^2 {\frac{{x{\rm{d}}x}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {2x + 1} \right)}}} = \int\limits_1^2 {\left[ {\frac{{\rm{1}}}{{\left( {x + 1} \right)}} - \frac{1}{{\left( {2x + 1} \right)}}} \right]{\rm{d}}x} \\ = \left. {\left( {\ln \left| {x + 1} \right| - \frac{1}{2}\ln \left| {2x + 1} \right|} \right)} \right|_1^2\\ = \ln 3 - \frac{1}{2}\ln 5 - \ln 2 + \frac{1}{2}\ln 3 = - \ln 2 + \frac{3}{2}\ln 3 - \frac{1}{2}\ln 5. \end{array}\)
      Vậy S=0.
       
      Minh Toán, 6/12/17
  20. Vân Anh2k

    Vân Anh2k Mới đăng kí

    Tham gia ngày:
    6/10/17
    Bài viết:
    37
    Đã được thích:
    0
    Điểm thành tích:
    0
    Giới tính:
    Nữ
    Mệnh đề nào sau đây là đúng?
    A. \(\int {\frac{{dx}}{{\sqrt x }}} = 2\sqrt x + C\)
    B. \(\int {\frac{{dx}}{{{x^2}}} = \frac{1}{x} + C}\)
    C. \(\int {\frac{{dx}}{{x + 1}}} = \ln \left| x \right| + C\)
    D. \(\int {{2^x}dx = {2^x} + C}\)
     
    1. Minh Toán
      Ta có \(\int {\frac{{dx}}{{\sqrt x }}} = 2\int {\frac{{dx}}{{2\sqrt x }}} = 2\sqrt x + C\) nên A đúng.
       
      Minh Toán, 6/12/17

Chia sẻ trang này