Hãy đăng ký thành viên để có thể dễ dàng hỏi bài, trao đổi, giao lưu và chia sẻ về kiến thức

Dạng 1. Phương trình bậc bốn dạng $a{x^4} + b{x^3} + c{x^2} + bkx + a{k^2} = 0.$

Thảo luận trong 'Bài 01. Phương trình' bắt đầu bởi Tăng Giáp, 7/12/18.

  1. Tăng Giáp

    Tăng Giáp Administrator Thành viên BQT

    Tham gia ngày:
    16/11/14
    Bài viết:
    4,630
    Đã được thích:
    282
    Điểm thành tích:
    83
    Giới tính:
    Nam
    Ta có: $a{x^4} + b{x^3} + c{x^2} + bkx + a{k^2} = 0$ $ \Leftrightarrow a\left( {{x^4} + 2{x^2}.k + {k^2}} \right)$ $ + bx\left( {{x^2} + k} \right) + \left( {c – 2ak} \right){x^2} = 0$ $ \Leftrightarrow a{\left( {{x^2} + k} \right)^2} + bx\left( {{x^2} + k} \right)$ $ + \left( {c – 2ak} \right){x^2} = 0.$
    Đến đây có hai hướng để giải quyết:
    Cách 1: Đưa phương trình về dạng ${A^2} = {B^2}.$
    Thêm bớt, biến đổi vế trái thành dạng hằng đẳng thức dạng bình phương của một tổng, chuyển các hạng tử chứa $x^2$ sang bên phải.
    Cách 2: Đặt $y = {x^2} + k$ $ \Rightarrow y \ge k.$
    Phương trình $a{x^4} + b{x^3} + c{x^2} + bkx + a{k^2} = 0$ trở thành: $a{y^2} + bxy$ $ + \left( {c – 2ak} \right){x^2} = 0.$
    Tính $x$ theo $y$ hoặc $y$ theo $x$ để đưa về phương trình bậc hai theo ẩn $x.$

    Ví dụ 1. Giải phương trình: ${x^4} – 8{x^3} + 21{x^2} – 24x + 9 = 0.$

    Cách 1:
    Phương trình $ \Leftrightarrow \left( {{x^4} + 9 + 6{x^2}} \right) – 8\left( {{x^2} + 3} \right) + 16{x^2}$ $ = 16{x^2} – 21{x^2} + 6{x^2}$ $ \Leftrightarrow {\left( {{x^2} – 4x + 3} \right)^2} = {x^2}$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
    {x^2} – 4x + 3 = x\\
    {x^2} – 4x + 3 = – x
    \end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
    {x^2} – 5x + 3 = 0\\
    {x^2} – 3x + 3 = 0
    \end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
    x = \frac{{5 – \sqrt {13} }}{2}\\
    x = \frac{{5 + \sqrt {13} }}{2}
    \end{array} \right.$
    Cách 2:
    Phương trình $ \Leftrightarrow \left( {{x^4} + 6{x^2} + 9} \right)$ $ – 8x\left( {{x^2} + 3} \right) + 15{x^2} = 0$ $ \Leftrightarrow {\left( {{x^2} + 3} \right)^2} – 8x\left( {{x^2} + 3} \right) + 15{x^2} = 0.$
    Đặt $y = {x^2} + 3$, phương trình trở thành: ${y^2} – 8xy + 15{x^2} = 0$ $ \Leftrightarrow \left( {y – 3x} \right)\left( {y – 5x} \right) = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
    y = 3x\\
    y = 5x
    \end{array} \right.$
    Với $y = 3x$, ta có: $x^2+3=3x$, phương trình vô nghiệm.
    Với $y = 5x$, ta có: ${x^2} + 3 = 5x$ $ \Leftrightarrow {x^2} – 5x + 3 = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
    x = \frac{{5 – \sqrt {13} }}{2}\\
    x = \frac{{5 + \sqrt {13} }}{2}
    \end{array} \right.$

    Nhận xét: Mỗi cách giải có ưu điểm riêng, với cách giải 1, ta sẽ tính được trực tiếp mà không phải thông qua ẩn phụ, với cách giải 2, ta sẽ có những tính toán đơn giản hơn và ít bị nhầm lẫn.
     

Chia sẻ trang này