Dạng 11: (Phương pháp đổi biến)$I = \int R \left( {x,\sqrt {a{x^2} + bx + c} } \right)dx.$

Dạng 11: (Phương pháp đổi biến): Tìm nguyên hàm của hàm số: $I = \int R \left( {x,\sqrt {a{x^2} + bx + c} } \right)dx.$
Ta có thể lựa chọn một trong hai cách sau:
Cách 1: (Đưa $I$ về các dạng nguyên hàm cơ bản đã biết): Ta xét các trường hợp sau:
Trường hợp 1: Nếu $a > 0$ và $\Delta < 0$ thì ta thực hiện theo các bước:
Bước 1: Ta có: $a{x^2} + bx + c$ $ = – \frac{\Delta }{{4a}}\left[ {1 + {{\left( {\frac{{2ax + b}}{{\sqrt { – \Delta } }}} \right)}^2}} \right].$
Bước 2: Thực hiện phép đổi biến: $t = \frac{{2ax + b}}{{\sqrt { – \Delta } }}.$
Bước 3: Bài toán được chuyển về $I = \int S \left( {t,\sqrt {1 + {t^2}} } \right)dt.$
Trường hợp 2: Nếu $a < 0$ và $\Delta > 0$ thì ta thực hiện theo các bước:
Bước 1: Ta có: $a{x^2} + bx + c$ $ = – \frac{\Delta }{{4a}}\left[ {1 – {{\left( {\frac{{2ax + b}}{{\sqrt \Delta }}} \right)}^2}} \right].$
Bước 2: Thực hiện phép đổi biến: $t = \frac{{2ax + b}}{{\sqrt \Delta }}.$
Bước 3: Bài toán được chuyển về $I = \int S \left( {t,\sqrt {1 – {t^2}} } \right)dt.$
Trường hợp 3: Nếu $a > 0$ và $\Delta > 0$ thì ta thực hiện theo các bước:
Bước 1: Ta có: $a{x^2} + bx + c$ $ = \frac{\Delta }{{4a}}\left[ {{{\left( {\frac{{2ax + b}}{{\sqrt \Delta }}} \right)}^2} – 1} \right].$
Bước 2: Thực hiện phép biến đổi: $t = \frac{{2ax + b}}{{\sqrt \Delta }}.$
Bước 3: Bài toán được chuyển về $I = \int S \left( {t,\sqrt {{t^2} – 1} } \right)dt.$
Cách 2: (Sử dụng phép thế Euler): Ta xét các trường hợp sau:
1. Nếu $a > 0$, đặt $\sqrt {a{x^2} + bx + c} = t – x\sqrt a $ hoặc $t + x\sqrt a .$
2. Nếu $c > 0$, đặt $\sqrt {a{x^2} + bx + c} = tx + \sqrt c $ hoặc $tx – \sqrt c .$
3. Nếu tam thức $a{x^2} + bx + c$ có biệt số $\Delta > 0$ thì: $a{x^2} + bx + c$ $ = a\left( {x – {x_1}} \right)\left( {x – {x_2}} \right).$ Khi đó đặt $\sqrt {a{x^2} + bx + c} = t\left( {x – {x_1}} \right).$

Ví dụ: Tìm nguyên hàm của hàm số $f(x) = \sqrt {{x^2} + 2x + 2} .$

Sử dụng phép đổi biến $t = x + 1$ suy ra $dt = dx.$
Khi đó: $I = \int {\sqrt {{t^2} + 1} } dt.$ Tích phân này chúng ta biết biết cách xác định.