Hãy đăng ký thành viên để có thể dễ dàng hỏi bài, trao đổi, giao lưu và chia sẻ về kiến thức
  1. Thủ thuật: Nếu muốn tìm lời giải một câu vật lý trên Google, bạn hãy gõ: tanggiap + câu hỏi.
    Dismiss Notice

Dạng 11: (Phương pháp đổi biến)$I = \int R \left( {x,\sqrt {a{x^2} + bx + c} } \right)dx.$

Thảo luận trong 'Bài 1. Nguyên hàm' bắt đầu bởi Tăng Giáp, 6/12/18.

  1. Tăng Giáp

    Tăng Giáp Administrator Thành viên BQT

    Tham gia ngày:
    16/11/14
    Bài viết:
    4,609
    Đã được thích:
    282
    Điểm thành tích:
    83
    Giới tính:
    Nam
    Dạng 11: (Phương pháp đổi biến): Tìm nguyên hàm của hàm số: $I = \int R \left( {x,\sqrt {a{x^2} + bx + c} } \right)dx.$
    Ta có thể lựa chọn một trong hai cách sau:
    Cách 1: (Đưa $I$ về các dạng nguyên hàm cơ bản đã biết): Ta xét các trường hợp sau:
    Trường hợp 1: Nếu $a > 0$ và $\Delta < 0$ thì ta thực hiện theo các bước:
    Bước 1: Ta có: $a{x^2} + bx + c$ $ = – \frac{\Delta }{{4a}}\left[ {1 + {{\left( {\frac{{2ax + b}}{{\sqrt { – \Delta } }}} \right)}^2}} \right].$
    Bước 2: Thực hiện phép đổi biến: $t = \frac{{2ax + b}}{{\sqrt { – \Delta } }}.$
    Bước 3: Bài toán được chuyển về $I = \int S \left( {t,\sqrt {1 + {t^2}} } \right)dt.$
    Trường hợp 2: Nếu $a < 0$ và $\Delta > 0$ thì ta thực hiện theo các bước:
    Bước 1: Ta có: $a{x^2} + bx + c$ $ = – \frac{\Delta }{{4a}}\left[ {1 – {{\left( {\frac{{2ax + b}}{{\sqrt \Delta }}} \right)}^2}} \right].$
    Bước 2: Thực hiện phép đổi biến: $t = \frac{{2ax + b}}{{\sqrt \Delta }}.$
    Bước 3: Bài toán được chuyển về $I = \int S \left( {t,\sqrt {1 – {t^2}} } \right)dt.$
    Trường hợp 3: Nếu $a > 0$ và $\Delta > 0$ thì ta thực hiện theo các bước:
    Bước 1: Ta có: $a{x^2} + bx + c$ $ = \frac{\Delta }{{4a}}\left[ {{{\left( {\frac{{2ax + b}}{{\sqrt \Delta }}} \right)}^2} – 1} \right].$
    Bước 2: Thực hiện phép biến đổi: $t = \frac{{2ax + b}}{{\sqrt \Delta }}.$
    Bước 3: Bài toán được chuyển về $I = \int S \left( {t,\sqrt {{t^2} – 1} } \right)dt.$
    Cách 2: (Sử dụng phép thế Euler): Ta xét các trường hợp sau:
    1. Nếu $a > 0$, đặt $\sqrt {a{x^2} + bx + c} = t – x\sqrt a $ hoặc $t + x\sqrt a .$
    2. Nếu $c > 0$, đặt $\sqrt {a{x^2} + bx + c} = tx + \sqrt c $ hoặc $tx – \sqrt c .$
    3. Nếu tam thức $a{x^2} + bx + c$ có biệt số $\Delta > 0$ thì: $a{x^2} + bx + c$ $ = a\left( {x – {x_1}} \right)\left( {x – {x_2}} \right).$ Khi đó đặt $\sqrt {a{x^2} + bx + c} = t\left( {x – {x_1}} \right).$

    Ví dụ: Tìm nguyên hàm của hàm số $f(x) = \sqrt {{x^2} + 2x + 2} .$

    Sử dụng phép đổi biến $t = x + 1$ suy ra $dt = dx.$
    Khi đó: $I = \int {\sqrt {{t^2} + 1} } dt.$ Tích phân này chúng ta biết biết cách xác định.
     

    Bình Luận Bằng Facebook

Chia sẻ trang này