Dạng 14: Tìm nguyên hàm của hàm số $f(x) = \frac{{P(x)}}{{Q(x)}} \cdot \frac{{dx}}{y}$, trong đó $y = \sqrt {a{x^2} + bx + c} .$ Ta thực hiện theo các bước sau: Bước 1: Phân tích hàm hữu tỉ $\frac{{P(x)}}{{Q(x)}}$ thành các phân số tối giản. Bước 2: Lựa chọn các phương pháp phù hợp cho mỗi tích phân mới. Ví dụ: Tìm nguyên hàm của hàm số $f(x) = \frac{{6{x^3} + 8x + 1}}{{\left( {3{x^2} + 4} \right)\sqrt {{x^2} + 1} }}.$ Ta có: $\frac{{6{x^3} + 8x + 1}}{{3{x^2} + 4}}$ $ = 2x + \frac{1}{{3{x^2} + 4}}.$ Do đó: $I = \int f (x)dx$ $ = \int {\left( {2x + \frac{1}{{3{x^2} + 4}}} \right)} \frac{1}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}dx$ $ = \underbrace {\int {\frac{{xdx}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}} }_{{I_1}}$ $ + \underbrace {\int {\frac{{dx}}{{\left( {3{x^2} + 4} \right)\sqrt {{x^2} + 1} }}} }_{{I_2}}.$ Trong đó: ${I_1} = \int {\frac{{xdx}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}} $ $ = \sqrt {x_.^2 + 1} + C.$ Với $I_2$ ta thực hiện phép đổi biến $t = \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}$ thì ${x^2} = \frac{{{t^2}}}{{1 – {t^2}}}$ suy ra: $dt = \frac{{dx}}{{\left( {{x^2} + 1} \right)\sqrt {{x^2} + 1} }}.$ Khi đó: ${I_2} = \int {\frac{{dx}}{{\left( {3{x^2} + 4} \right)\sqrt {{x^2} + 1} }}} $ $ = \int {\frac{{\left( {{x^2} + 1} \right)\sqrt {{x^2} + 1} dt}}{{\left( {3{x^2} + 4} \right)\sqrt {{x^2} + 1} }}} $ $ = \smallint \frac{{\left( {\frac{{{t^2}}}{{1 – {t^2}}} + 1} \right)dt}}{{\frac{{3{t^2}}}{{1 – {t^2}}} + 4}}$ $ = \int {\frac{{dt}}{{4 – {t^2}}}} $ $ = – \frac{1}{4}\ln \left| {\frac{{t – 2}}{{t + 2}}} \right| + C$ $ = \frac{1}{4}\ln \left| {\frac{{t + 2}}{{t – 2}}} \right| + C$ $ = \frac{1}{4}\ln \left| {\frac{{x + 2\sqrt {{x^2} + 1} }}{{x – 2\sqrt {{x^2} + 1} }}} \right| + C.$ Vậy: $I = \sqrt {{x^2} + 1} $ $ + \frac{1}{4}\ln \left| {\frac{{x + 2\sqrt {{x^2} + 1} }}{{x – 2\sqrt {{x^2} + 1} }}} \right| + C.$
