Dạng 2: Biểu thức sóng dừng

1. Phương pháp
Giả sử tại nguồn sóng dao động với phương trình u = Acos(ωt + φ)
a) Nếu đầu còn lại sợi dây cố định ( gốc O là nút sóng )
$u = 2a\sin \left( {\frac{{2\pi {x_1}}}{\lambda }} \right)\cos \left( {\frac{{2\pi }}{T}t + \frac{\pi }{2} + \varphi } \right)\left( {cm} \right) \to A = \left| {2a\sin \left( {\frac{{2\pi {x_1}}}{\lambda }} \right)} \right| \to \left\{ \begin{array}{l}
{A_{bụng}} = \left| {2a} \right| = {A_{\max }}\\
{A_{nút}} = 0\\
0 \le {A_M} \le 2a
\end{array} \right.$
b) Nếu đầu còn lại của sợi dây là bụng sóng ( gốc O)
$u = 2a\cos \left( {\frac{{2\pi {x_2}}}{\lambda }} \right)\cos \left( {\frac{{2\pi }}{T}t + \frac{\pi }{2}} \right)\left( {cm} \right) \to {A_M} = \left| {2a\cos \left( {\frac{{2\pi {x_2}}}{\lambda }} \right)} \right| \to \left\{ \begin{array}{l}
{A_{bụng}} = \left| {2a} \right| = {A_{\max }}\\
{A_{nút}} = 0\\
0 \le {A_M} \le 2a
\end{array} \right.$
( với |x2| là khoảng cách từ điểm khảo sát đến bụng làm gốc).
Lưu ý:

• Vận tốc dao động của phần tử: ${v_dđ}$ = u’.
• Vận tốc truyền pha dao động: $v = \frac{\lambda }{T} = \lambda f = \frac{{\lambda \omega }}{{2\pi }} = \frac{{hệ số của t}}{{hệ số của x}}$
• Hệ số của tiếp tuyến tại điểm M trên dây: $\tan \alpha = \frac{{du}}{{dx}} = u'\left( x \right)$

2. Vận dụng

Ví dụ 1:
Một sóng dừng trên một sợi dây đàn hồi biểu thức của nó có dạng u = 2cos(πx/4)sin(20πt + π/6) cm. Trong đó u là li độ tại thời điểm t của một phần tử trên dây mà vị trí cân bằng của nó cách gốc O một khoảng là x ( x đo bằng cm, t đo bằng giây). Xác định tốc độ truyền sóng dọc theo dây
A. 60 cm/s.
B. 80 cm/s.
C. 180 cm/s.
D. 90 cm/s.

Lời giải​

Tốc độ truyền sóng: $v = \frac{{20\pi }}{{\frac{\pi }{4}}} = 80\left( {\frac{{cm}}{s}} \right)$
Chọn B

Ví dụ 2:
Một sóng dừng trên một sợi dây đàn hồi biểu thức của nó có dạng u = 2cos(5πx)sin(20πt + π/6) cm. Trong đó u là li độ tại thời điểm t của một phần tử trên dây mà vị trí cân bằng của nó cách gốc O một khoảng là x ( x đo bằng m, t đo bằng giây). Chọn phương án sai. Sóng này có
A. biên độ dao động tại bụng 2 cm.
B. tốc độ truyền pha dao động 4 m/s.
C. chu kì dao động 0,1 s.
D. bước sóng 4 cm.

Lời giải​

Chu kì dao động:$T = \frac{{2\pi }}{\omega } = \frac{{2\pi }}{{20\pi }} = 0,1\left( s \right)$
Tốc độ truyền pha dao động: $v = \frac{{20\pi }}{{5\pi }} = 4\left( {\frac{m}{s}} \right)$
Bước sóng λ = vT = 4.0,1 = 0,4 (m) → Sai
Biên độ dao động tại bụng tương ứng với biên độ dao động cực đại: AM = 2 cm

Chọn D

Ví dụ 3:
Một sóng dừng có phương trình u = 10cos(0,2πx)sin(20πt + π/4) trong đó x và u tính bằng cm và t tính bằng giây. Hãy tính khoảng cách từ một nút sóng qua 4 bụng sóng đến một nút sóng khác?
A. 10cm
B. 20cm
C. 30cm
D. 40cm

Lời giải​

Bước sóng: $\frac{{2\pi x}}{\lambda } = 0,2\pi .x \to \lambda = 10cm$
Khoảng cách từ một nút sóng qua 4 bụng sóng đến một nút sóng khác là ℓ = 2λ = 20cm
Chọn B