Dạng 2: Lăng trụ đứng có góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Ví dụ 5: Cho lăng trụ đứng tam giác $ABC.A’B’C’$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại $B$ với $BA = BC = a$, biết $A’B$ hợp với đáy $ABC$ một góc $60°.$ Tính thể tích lăng trụ.



Ta có $A’A \bot (ABC)$ nên $AB$ là hình chiếu của $A’B$ trên đáy $(ABC)$, suy ra góc $\left( {\widehat {A’B,(ABC)}} \right) = \widehat {ABA’} = {60^o}.$
$A’A \bot AB$ nên $\Delta ABA’$ vuông tại $A$ $ \Rightarrow AA’ = AB.\tan {60^0} = a\sqrt 3 .$
${S_{ABC}} = \frac{1}{2}BA.BC = \frac{{{a^2}}}{2}.$
Vậy $V = {S_{ABC}}.AA’ = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{2}.$

Ví dụ 6: Cho lăng trụ đứng tam giác $ABC.A’B’C’$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $A$ với $AC = a$, $\widehat {ACB} = {60^o}$, biết $BC’$ hợp với $(AA’C’C)$ một góc $30°$. Tính $AC’$ và thể tích lăng trụ.



$\Delta ABC$ vuông tại $A$ $ \Rightarrow AB = AC.\tan {60^o} = a\sqrt 3 .$
Ta có: $AB \bot AC; AB \bot AA’$ $ \Rightarrow AB \bot (AA’C’C)$ nên $AC’$ là hình chiếu của $BC’$ trên $(AA’C’C).$
Do đó $\widehat {\left( {BC’;\left( {AA’C’C} \right)} \right)} = \widehat {BC’A} = 30°.$
$\Delta AC’B$ vuông tại $A$ $ \Rightarrow AC’ = \frac{{AB}}{{{\mathop{\rm t}\nolimits} {\rm{an}}{{30}^o}}} = 3a.$
$\Delta AA’C’$ vuông tại $A’$ $ \Rightarrow AA’ = \sqrt {AC’^2 – A’C’^2} = 2a\sqrt 2 .$
${S_{ABC}} = \frac{1}{2}AB.AC = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}.$
Vậy $V = {S_{ABC}}.AA’ = {a^3}\sqrt 6 .$

Ví dụ 7: Cho lăng trụ đứng $ABCD.A’B’C’D’$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$ và đường chéo $BD’$ của lăng trụ hợp với đáy $ABCD$ một góc $30°$. Tính thể tích và tổng diên tích của các mặt bên của lăng trụ.



Ta có $ABCD.A’B’C’D’$ là lăng trụ đứng nên $BD$ là hình chiếu của $BD’$ trên $(ABCD).$
Suy ra $\widehat {\left( {BD’;\left( {ABCD} \right)} \right)} = \widehat {DBD’} = {30^o}.$
$\Delta BDD’$ vuông tại $D$ $ \Rightarrow DD’ = BD.\tan {30^0} = \frac{{a\sqrt 6 }}{3}.$
Vậy $V = {S_{ABCD}}.DD’ = \frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{3}.$
$S = 4{S_{ADD’A’}} = \frac{{4{a^2}\sqrt 6 }}{3}.$