Hãy đăng ký thành viên để có thể dễ dàng hỏi bài, trao đổi, giao lưu và chia sẻ về kiến thức

Dạng 3. Phương trình bậc bốn dạng...

Thảo luận trong 'Bài 01. Phương trình' bắt đầu bởi Tăng Giáp, 7/12/18.

  1. Tăng Giáp

    Tăng Giáp Administrator Thành viên BQT

    Tham gia ngày:
    16/11/14
    Bài viết:
    4,630
    Đã được thích:
    282
    Điểm thành tích:
    83
    Giới tính:
    Nam
    Dạng 3. Phương trình bậc bốn dạng $\left( {x + a} \right)\left( {x + b} \right)\left( {x + c} \right)\left( {x + d} \right) = m$ với $a+b=c+d=p.$

    Ta có: $\left( {x + a} \right)\left( {x + b} \right)\left( {x + c} \right)\left( {x + d} \right) = m$ $ \Leftrightarrow \left( {{x^2} + px + ab} \right)\left( {{x^2} + px + cd} \right) = m.$
    Cách 1:
    $\left( {{x^2} + px + ab} \right)\left( {{x^2} + px + cd} \right) = m$ $ \Leftrightarrow \left( {{x^2} + px + \frac{{ab + cd}}{2} + \frac{{ab – cd}}{2}} \right)$$\left( {{x^2} + px + \frac{{ab + cd}}{2} – \frac{{ab – cd}}{2}} \right) = m$ $ \Leftrightarrow {\left( {{x^2} + px + \frac{{ab + cd}}{2}} \right)^2}$ $ = m + {\left( {\frac{{ab – cd}}{2}} \right)^2}.$
    Bài toán quy về giải hai phương trình bậc hai theo biến $x.$
    Cách 2:
    Đặt $y=x^2+px$, điều kiện $y \ge – \frac{{{p^2}}}{4}$, phương trình trở thành: $\left( {y + ab} \right)\left( {y + cd} \right) = m.$
    Giải phương trình bậc hai ẩn $y$ để tìm $x.$

    Ví dụ 3. Giải phương trình: $x\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)\left( {x + 3} \right) = 8.$

    Cách 1:
    Ta có: $x\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)\left( {x + 3} \right) = 8$ $ \Leftrightarrow \left( {{x^2} + 3x} \right)\left( {{x^2} + 3x + 2} \right) = 8$ $ \Leftrightarrow \left( {{x^2} + 3x + 1 – 1} \right)$$\left( {{x^2} + 3x + 1 + 1} \right) = 8$ $ \Leftrightarrow {\left( {{x^2} + 3x + 1} \right)^2} = 9$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
    {x^2} + 3x + 1 = 3\\
    {x^2} + 3x + 1 = – 3
    \end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
    {x^2} + 3x – 2 = 0\\
    {x^2} + 3x + 4 = 0
    \end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow x = \frac{{ – 3 \pm \sqrt {17} }}{2}.$
    Cách 2:
    $x\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)\left( {x + 3} \right) = 8$ $ \Leftrightarrow \left( {{x^2} + 3x} \right)\left( {{x^2} + 3x + 2} \right) = 8.$
    Đặt $y = {x^2} + 3x$ $ \Rightarrow y \ge – \frac{9}{4}$, ta được: $y\left( {y + 2} \right) = 8$ $ \Leftrightarrow {y^2} + 2y – 8 = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
    y = 2\\
    y = – 4\: (loại)
    \end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow y = 2.$
    Với $y=2$, ta có phương trình: ${x^2} + 3x – 2 = 0$ $ \Leftrightarrow x = \frac{{ – 3 \pm \sqrt {17} }}{2}.$
    Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm $S = \left\{ {\frac{{ – 3 + \sqrt {17} }}{2};\frac{{ – 3 – \sqrt {17} }}{2}} \right\}.$

    Nhận xét: Ngoài cách đặt ẩn phụ như đã nêu, ta có thể đặt một trong các dạng ẩn phụ sau:
    Đặt $y = {x^2} + px + ab.$
    Đặt $y = {x^2} + px + cd.$
    Đặt $y = {\left( {x + \frac{p}{2}} \right)^2}.$
    Đặt $y = {x^2} + px + \frac{{ab + cd}}{2}.$
     

Chia sẻ trang này