Dạng 3. Phương trình bậc bốn dạng $\left( {x + a} \right)\left( {x + b} \right)\left( {x + c} \right)\left( {x + d} \right) = m$ với $a+b=c+d=p.$ Ta có: $\left( {x + a} \right)\left( {x + b} \right)\left( {x + c} \right)\left( {x + d} \right) = m$ $ \Leftrightarrow \left( {{x^2} + px + ab} \right)\left( {{x^2} + px + cd} \right) = m.$ Cách 1: $\left( {{x^2} + px + ab} \right)\left( {{x^2} + px + cd} \right) = m$ $ \Leftrightarrow \left( {{x^2} + px + \frac{{ab + cd}}{2} + \frac{{ab – cd}}{2}} \right)$$\left( {{x^2} + px + \frac{{ab + cd}}{2} – \frac{{ab – cd}}{2}} \right) = m$ $ \Leftrightarrow {\left( {{x^2} + px + \frac{{ab + cd}}{2}} \right)^2}$ $ = m + {\left( {\frac{{ab – cd}}{2}} \right)^2}.$ Bài toán quy về giải hai phương trình bậc hai theo biến $x.$ Cách 2: Đặt $y=x^2+px$, điều kiện $y \ge – \frac{{{p^2}}}{4}$, phương trình trở thành: $\left( {y + ab} \right)\left( {y + cd} \right) = m.$ Giải phương trình bậc hai ẩn $y$ để tìm $x.$ Ví dụ 3. Giải phương trình: $x\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)\left( {x + 3} \right) = 8.$ Cách 1: Ta có: $x\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)\left( {x + 3} \right) = 8$ $ \Leftrightarrow \left( {{x^2} + 3x} \right)\left( {{x^2} + 3x + 2} \right) = 8$ $ \Leftrightarrow \left( {{x^2} + 3x + 1 – 1} \right)$$\left( {{x^2} + 3x + 1 + 1} \right) = 8$ $ \Leftrightarrow {\left( {{x^2} + 3x + 1} \right)^2} = 9$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} {x^2} + 3x + 1 = 3\\ {x^2} + 3x + 1 = – 3 \end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} {x^2} + 3x – 2 = 0\\ {x^2} + 3x + 4 = 0 \end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow x = \frac{{ – 3 \pm \sqrt {17} }}{2}.$ Cách 2: $x\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)\left( {x + 3} \right) = 8$ $ \Leftrightarrow \left( {{x^2} + 3x} \right)\left( {{x^2} + 3x + 2} \right) = 8.$ Đặt $y = {x^2} + 3x$ $ \Rightarrow y \ge – \frac{9}{4}$, ta được: $y\left( {y + 2} \right) = 8$ $ \Leftrightarrow {y^2} + 2y – 8 = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} y = 2\\ y = – 4\: (loại) \end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow y = 2.$ Với $y=2$, ta có phương trình: ${x^2} + 3x – 2 = 0$ $ \Leftrightarrow x = \frac{{ – 3 \pm \sqrt {17} }}{2}.$ Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm $S = \left\{ {\frac{{ – 3 + \sqrt {17} }}{2};\frac{{ – 3 – \sqrt {17} }}{2}} \right\}.$ Nhận xét: Ngoài cách đặt ẩn phụ như đã nêu, ta có thể đặt một trong các dạng ẩn phụ sau: Đặt $y = {x^2} + px + ab.$ Đặt $y = {x^2} + px + cd.$ Đặt $y = {\left( {x + \frac{p}{2}} \right)^2}.$ Đặt $y = {x^2} + px + \frac{{ab + cd}}{2}.$
