Hãy đăng ký thành viên để có thể dễ dàng hỏi bài, trao đổi, giao lưu và chia sẻ về kiến thức
  1. Thủ thuật: Nếu muốn tìm lời giải một câu vật lý trên Google, bạn hãy gõ: tanggiap + câu hỏi.
    Dismiss Notice

Dạng 3: Tìm nguyên hàm của hàm số...

Thảo luận trong 'Bài 1. Nguyên hàm' bắt đầu bởi Tăng Giáp, 6/12/18.

  1. Tăng Giáp

    Tăng Giáp Administrator Thành viên BQT

    Tham gia ngày:
    16/11/14
    Bài viết:
    4,609
    Đã được thích:
    282
    Điểm thành tích:
    83
    Giới tính:
    Nam
    Dạng 3: Tìm nguyên hàm của hàm số $f(x) = \frac{{dx}}{{\sqrt {ax + b} + \sqrt {ax + c} }}$, với $a \ne 0$ và $b – c \ne 0.$
    Khử tính vô tỉ ở mẫu số bằng cách trục căn thức, ta được:
    $I = \frac{1}{{b – c}}\int {(\sqrt {ax + b} + \sqrt {ax + c} )} dx$ $ = \frac{1}{{a(b – c)}}\left[ {\int {{{(ax + b)}^{1/2}}} d(ax + b) + \int {{{(ax + c)}^{1/2}}} d(ax + c)} \right]$ $ = \frac{2}{{3a(b – c)}}\left[ {\sqrt {{{(ax + b)}^3}} + \sqrt {{{(ax + c)}^3}} } \right] + C.$

    Ví dụ 1: Tìm nguyên hàm của hàm số: $f(x) = \tan x + \frac{1}{{\sqrt {2x + 1} + \sqrt {2x – 1} }}.$

    Ta có: $\int f (x)dx$ $ = \int {\left( {\tan x + \frac{1}{{\sqrt {2x + 1} + \sqrt {2x – 1} }}} \right)} dx$ $ = \int {\frac{{\sin xdx}}{{\cos x}}} $ $ + \int {\frac{{\sqrt {2x + 1} – \sqrt {2x – 1} }}{2}} dx$ $ = – \ln |\cos x|$ $ + \frac{1}{3}\left[ {{{(2x + 1)}^{3/2}} – {{(2x – 1)}^{3/2}}} \right] + C.$

    Ví dụ 2: Tìm nguyên hàm của hàm số: $f(x) = \frac{{2x}}{{x + \sqrt {{x^2} – 1} }}.$

    Ta có thể lựa chọn một trong hai cách giải sau:
    Cách 1: (Sử dụng phương pháp biến đổi): Ta có:
    $\int f (x)dx$ $ = \int {\frac{{2x}}{{x + \sqrt {{x^2} – 1} }}} dx$ $ = \int {\frac{{2x\left( {x – \sqrt {{x^2} – 1} } \right)}}{{{x^2} – {x^2} + 1}}} dx$ $ = \int 2 {x^2}dx – \int 2 x\sqrt {{x^2} – 1} dx$ $ = \frac{2}{3}{x^3} – \int {\sqrt {{x^2} – 1} } d\left( {{x^2} – 1} \right) + C$ $ = \frac{2}{3}{x^3} – \frac{2}{3}\sqrt {{{\left( {{x^2} – 1} \right)}^3}} + C.$
    Cách 2: (Sử dụng phương pháp đổi biến số): Đặt $t = x + \sqrt {{x^2} – 1} $ ta có:
    $t – x = \sqrt {{x^2} – 1} $ $ \Rightarrow x = \frac{{{t^2} + 1}}{{2t}}$ $ \Rightarrow dx = \frac{{{t^2} – 1}}{{2{t^2}}}dt.$
    Khi đó: $\int f (x)dx$ $ = \int {\frac{{2xdx}}{{x + \sqrt {{x^2} – 1} }}} $ $ = \int {\frac{{2 \cdot \frac{{{t^2} + 1}}{{2t}} \cdot \frac{{{t^2} – 1}}{{2{t^2}}}dt}}{t}} $ $ = \int {\frac{{\left( {{t^4} – 1} \right)dt}}{{2{t^4}}}} $ $ = \frac{1}{2}\int {\left( {1 – \frac{1}{{{t^4}}}} \right)} dt$ $ = \frac{1}{2}\left( {t + \frac{1}{{3{t^3}}}} \right) + C$ $ = \frac{1}{2}\left( {x + \sqrt {{x^2} – 1} } \right)$ $ + \frac{1}{{6{{\left( {x + \sqrt {{x^2} – 1} } \right)}^3}}} + C.$
     

    Bình Luận Bằng Facebook

Chia sẻ trang này