Hãy đăng ký thành viên để có thể dễ dàng hỏi bài, trao đổi, giao lưu và chia sẻ về kiến thức

Dạng 4. Hình chóp có mặt bên vuông góc với mặt phẳng đáy

Thảo luận trong 'Bài 4. Thể tích khối chóp' bắt đầu bởi Tăng Giáp, 6/12/18.

  1. Tăng Giáp

    Tăng Giáp Administrator Thành viên BQT

    Tham gia ngày:
    16/11/14
    Bài viết:
    4,630
    Đã được thích:
    282
    Điểm thành tích:
    83
    Giới tính:
    Nam
    Đối với dạng toán này thì mặt bên vuông góc thường là tam giác vuông, tam giác cân hoặc tam giác đều.
    Phương pháp:
    + Xác định trục $d$ của đường tròn đáy.
    + Xác định trục $\Delta $ của đường tròn ngoại tiếp mặt bên vuông góc với đáy.
    + Giao điểm $I$ của $d$ và $\Delta $ là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.

    Hình chóp có mặt bên vuông góc với mặt phẳng đáy.png

    Xét hình chóp $S.{{A}_{1}}{{A}_{2}}\cdots {{A}_{n}}$ có mặt bên vuông góc với mặt đáy, không mất tính quát ta giả sử mặt bên $\left( S{{A}_{1}}{{A}_{2}} \right)$ vuông góc với mặt đáy và $\Delta S{{A}_{1}}{{A}_{2}}$ là tam giác vuông hoặc tam giác cân hoặc tam giác đều.
    Gọi ${{O}_{1}}$ và ${{O}_{2}}$ lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác ${{A}_{1}}{{A}_{2}}\cdots {{A}_{n}}$ và tam giác $S{{A}_{1}}{{A}_{2}}$.
    Dựng $d$ và $\Delta $ lần lượt là trục đường tròn ngoại tiếp đa giác ${{A}_{1}}{{A}_{2}}\cdots {{A}_{n}}$ và tam giác $S{{A}_{1}}{{A}_{2}}$.
    Gọi $I$ là giao điểm của $d$ và $\Delta $ thì $I$ cách đều các đỉnh ${{A}_{1}}$, ${{A}_{2}}$, …, ${{A}_{n}}$ và $S$ nên $I$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.{{A}_{1}}{{A}_{2}}\cdots {{A}_{n}}$.
    Ta có tứ giác ${{O}_{2}}I{{O}_{1}}H$ là hình chữ nhật; $SI=R$ là bán kính mặt cầu ngoại tiếp $S.{{A}_{1}}{{A}_{2}}\cdots {{A}_{n}}$; $S{{O}_{2}}={{R}_{b}}$ là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác $S{{A}_{1}}{{A}_{2}}$; ${{A}_{1}}{{O}_{1}}={{R}_{đ}}$ là bán kính đường tròn ngoại tiếp đa giác ${{A}_{1}}{{A}_{2}}\cdots {{A}_{n}}$.
    Tam giác $S{{O}_{2}}I$ vuông tại ${{O}_{2}}$ nên: $SI = \sqrt {SO_2^2 + {O_2}{I^2}} $ $ = \sqrt {SO_2^2 + {O_1}{H^2}} .$
    Tam giác ${{A}_{1}}{{O}_{1}}H$ vuông tại $H$ nên: ${O_1}{H^2} = {O_1}A_1^2 – {A_1}{H^2}.$
    Do đó: $SI = \sqrt {SO_2^2 + {O_1}A_1^2 – {A_1}{H^2}} .$
    Mặt khác, nếu tam giác $S{{A}_{1}}{{A}_{2}}$ vuông tại $S$ thì ${{O}_{2}}\equiv H$ và trùng với trung điểm ${{A}_{1}}{{A}_{2}}$ hoặc $S{{A}_{1}}{{A}_{2}}$ là tam giác cân tại $S$ hoặc đều thì ta cũng có $H$ trùng với trung điểm ${{A}_{1}}{{A}_{2}}$ nên ${{A}_{1}}H=\frac{{{A}_{1}}{{A}_{2}}}{2}$.
    Suy ra $SI = \sqrt {SO_2^2 + {O_1}A_1^2 – {{\left( {\frac{{{A_1}{A_2}}}{2}} \right)}^2}} .$
    Hay $R = \sqrt {{R_b}^2 + {R_đ}^2 – \frac{{{\partial ^2}}}{4}} $, với $\partial $ là độ dài cạnh cạnh chung của mặt bên vuông góc với đáy.

    Ví dụ 8: Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại $A$. Mặt bên $\left( SAB \right)\bot \left( ABC \right)$ và $\Delta SAB$ đều cạnh bằng $1$. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABC$.

    Hình chóp có mặt bên vuông góc với mặt phẳng đáy.png

    Gọi $H$, $M$ lần lượt là trung điểm của $AB$, $AC$.
    Ta có $M$ là tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta ABC$ (do $MA=MB=MC$).
    Dựng $d$ là trục đường tròn ngoại tiếp $\Delta ABC$ ($d$ qua $M$ và song song $SH$).
    Gọi $G$ là tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta SAB$ và $\Delta $ là trục đường tròn ngoại tiếp $\Delta SAB$, $\Delta $ cắt $d$ tại $I$. Suy ra $I$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABC$.
    Suy ra bán kính $R=SI$. Xét $\Delta SGI$, suy ra $SI=\sqrt{G{{I}^{2}}+S{{G}^{2}}}$.
    Mà $SG=\frac{1}{\sqrt{3}}$; $GI=HM=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}$.
    Nên $R=SI=\sqrt{\frac{1}{3}+\frac{1}{4}}=\frac{\sqrt{21}}{6}$.

    Ví dụ 9: Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh bằng $1$, mặt bên $SAB$ là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính thể tích $V$ của khối cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho.

    Hình chóp có mặt bên vuông góc với mặt phẳng đáy.png

    Gọi $M$ là trung điểm của $AB$ thì $SM\bot AB$ (vì tam giác $SAB$ đều). Mặt khác do $\left( SAB \right)\bot (ABC)$ nên $SM\bot (ABC)$.
    Tương tự: $CM\bot (SAB)$.
    Gọi $G$ và $K$ lần lượt là tâm của các tam giác $ABC$ và $SAB$.
    Trong mặt phẳng $(SMC)$, kẻ đường thẳng $Gx\text{//}SM$ và kẻ đường thẳng $Ky\bot SM$.
    Gọi $O=Gx\cap Ky$, thì ta có: $\left\{ \begin{array}{l}
    OG \bot (SAB)\\
    OK \bot (ABC)
    \end{array} \right.$
    Suy ra $OG,OK$ lần lượt là trục của tam giác $ABC$ và $SAB$.
    Do đó ta có: $OA=OB=OC=OD=OS$ hay $O$ chính là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABC$.
    Tứ giác $OKMN$ là hình chữ nhật có $MK=MG=\frac{\sqrt{3}}{6}$ nên $OKMN$ là hình vuông.
    Do đó $OK=\frac{\sqrt{3}}{6}$.
    Mặt khác $SK=\frac{\sqrt{3}}{3}$. Xét tam giác $SKO$ vuông tại $K$ có $OS = \sqrt {O{K^2} + S{K^2}} $ $ = \sqrt {\frac{3}{{36}} + \frac{3}{9}} = \frac{{\sqrt {15} }}{6}.$
    Suy ra bán kính mặt cầu cần tìm là $R=OS=\frac{\sqrt{15}}{6}$. Vậy thể tích khối cầu cần tìm là:
    $V = \frac{4}{3}\pi {R^3}$ $ = \frac{4}{3}\pi .{\left( {\frac{{\sqrt {15} }}{6}} \right)^3}$ $ = \frac{{5\sqrt {15} \pi }}{{54}}.$
     

Chia sẻ trang này