Hãy đăng ký thành viên để có thể dễ dàng hỏi bài, trao đổi, giao lưu và chia sẻ về kiến thức

Dạng 5. Phương trình bậc bốn dạng ${x^4} = a{x^2} + bx + c.$

Thảo luận trong 'Bài 01. Phương trình' bắt đầu bởi Tăng Giáp, 7/12/18.

  1. Tăng Giáp

    Tăng Giáp Administrator Thành viên BQT

    Tham gia ngày:
    16/11/14
    Bài viết:
    4,630
    Đã được thích:
    282
    Điểm thành tích:
    83
    Giới tính:
    Nam
    Đưa phương trình về dạng $A^2 = B^2$ như sau: ${x^4} = a{x^2} + bx + c$ $ \Leftrightarrow {\left( {{x^2} + m} \right)^2} = \left( {2m + a} \right){x^2} + bx + c + {m^2}$, trong đó $m$ là một số cần tìm.
    Tìm $m$ để $f\left( x \right) = \left( {2m + a} \right){x^2} + bx + c + {m^2}$ có $Δ=0$. Khi đó $f(x)$ có dạng bình phương của một biểu thức:
    Nếu $2m+a<0$, phương trình $ \Leftrightarrow {\left( {{x^2} + m} \right)^2} + {g^2}\left( x \right) = 0$ (với $f\left( x \right) = – {g^2}\left( x \right)$) $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
    {x^2} + m = 0\\
    g\left( x \right) = 0
    \end{array} \right.$
    Nếu $2m+a>0$, phương trình $ \Leftrightarrow {\left( {{x^2} + m} \right)^2} = {g^2}\left( x \right)$ (với $f\left( x \right) = {g^2}\left( x \right)$) $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
    {x^2} + m = g\left( x \right)\\
    {x^2} + m = – g\left( x \right)
    \end{array} \right.$

    Ví dụ 5. Giải phương trình: ${x^4} + {x^2} – 6x + 1 = 0.$

    Ta có: ${x^4} + {x^2} – 6x + 1 = 0$ $ \Leftrightarrow {x^4} + 4{x^2} + 4 = 3{x^2} + 6x + 3$ $ \Leftrightarrow {\left( {{x^2} + 2} \right)^2} = 3{\left( {x + 1} \right)^2}$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
    {x^2} + 2 = \sqrt 3 \left( {x + 1} \right)\\
    {x^2} + 2 = – \sqrt 3 \left( {x + 1} \right)
    \end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
    {x^2} – \sqrt 3 x + 2 – \sqrt 3 = 0\\
    {x^2} + \sqrt 3 x + 2 + \sqrt 3 = 0
    \end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
    x = \frac{{\sqrt 3 – \sqrt {4\sqrt 3 – 5} }}{2}\\
    x = \frac{{\sqrt 3 + \sqrt {4\sqrt 3 – 5} }}{2}
    \end{array} \right.$
    Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm: $S = \left\{ {\frac{{\sqrt 3 – \sqrt {4\sqrt 3 – 5} }}{2};\frac{{\sqrt 3 + \sqrt {4\sqrt 3 – 5} }}{2}} \right\}.$

    Nhận xét:
    Phương trình dạng $x^4 = ax+b$ được giải theo cách tương tự.
    Phương trình $Δ=0$ là phương trình bậc ba với cách giải đã được trình bày ở bài viết trước: Cách giải phương trình bậc 3 tổng quát. Phương trình này có thể cho $3$ nghiệm $m$, cần lựa chọn $m$ sao cho việc tính toán là thuận lợi nhất. Tuy nhiên, dù dùng nghiệm $m$ nào thì cũng cho cùng một kết quả.
     

Chia sẻ trang này