Đưa phương trình về dạng $A^2 = B^2$ như sau: ${x^4} = a{x^2} + bx + c$ $ \Leftrightarrow {\left( {{x^2} + m} \right)^2} = \left( {2m + a} \right){x^2} + bx + c + {m^2}$, trong đó $m$ là một số cần tìm. Tìm $m$ để $f\left( x \right) = \left( {2m + a} \right){x^2} + bx + c + {m^2}$ có $Δ=0$. Khi đó $f(x)$ có dạng bình phương của một biểu thức: Nếu $2m+a<0$, phương trình $ \Leftrightarrow {\left( {{x^2} + m} \right)^2} + {g^2}\left( x \right) = 0$ (với $f\left( x \right) = – {g^2}\left( x \right)$) $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {x^2} + m = 0\\ g\left( x \right) = 0 \end{array} \right.$ Nếu $2m+a>0$, phương trình $ \Leftrightarrow {\left( {{x^2} + m} \right)^2} = {g^2}\left( x \right)$ (với $f\left( x \right) = {g^2}\left( x \right)$) $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} {x^2} + m = g\left( x \right)\\ {x^2} + m = – g\left( x \right) \end{array} \right.$ Ví dụ 5. Giải phương trình: ${x^4} + {x^2} – 6x + 1 = 0.$ Ta có: ${x^4} + {x^2} – 6x + 1 = 0$ $ \Leftrightarrow {x^4} + 4{x^2} + 4 = 3{x^2} + 6x + 3$ $ \Leftrightarrow {\left( {{x^2} + 2} \right)^2} = 3{\left( {x + 1} \right)^2}$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} {x^2} + 2 = \sqrt 3 \left( {x + 1} \right)\\ {x^2} + 2 = – \sqrt 3 \left( {x + 1} \right) \end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} {x^2} – \sqrt 3 x + 2 – \sqrt 3 = 0\\ {x^2} + \sqrt 3 x + 2 + \sqrt 3 = 0 \end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \frac{{\sqrt 3 – \sqrt {4\sqrt 3 – 5} }}{2}\\ x = \frac{{\sqrt 3 + \sqrt {4\sqrt 3 – 5} }}{2} \end{array} \right.$ Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm: $S = \left\{ {\frac{{\sqrt 3 – \sqrt {4\sqrt 3 – 5} }}{2};\frac{{\sqrt 3 + \sqrt {4\sqrt 3 – 5} }}{2}} \right\}.$ Nhận xét: Phương trình dạng $x^4 = ax+b$ được giải theo cách tương tự. Phương trình $Δ=0$ là phương trình bậc ba với cách giải đã được trình bày ở bài viết trước: Cách giải phương trình bậc 3 tổng quát. Phương trình này có thể cho $3$ nghiệm $m$, cần lựa chọn $m$ sao cho việc tính toán là thuận lợi nhất. Tuy nhiên, dù dùng nghiệm $m$ nào thì cũng cho cùng một kết quả.
