Hãy đăng ký thành viên để có thể dễ dàng hỏi bài, trao đổi, giao lưu và chia sẻ về kiến thức
  1. Thủ thuật: Nếu muốn tìm lời giải một câu vật lý trên Google, bạn hãy gõ: tanggiap + câu hỏi.
    Dismiss Notice

Dạng 7: Phương pháp đổi biến

Thảo luận trong 'Bài 1. Nguyên hàm' bắt đầu bởi Tăng Giáp, 6/12/18.

  1. Tăng Giáp

    Tăng Giáp Administrator Thành viên BQT

    Tham gia ngày:
    16/11/14
    Bài viết:
    4,609
    Đã được thích:
    282
    Điểm thành tích:
    83
    Giới tính:
    Nam
    Dạng 7: (Phương pháp đổi biến): Tìm nguyên hàm của hàm số: $I = \int R \left( {x,\sqrt {{a^2} – {x^2}} } \right)dx$ với $a > 0.$
    Ta thực hiện theo các bước sau:
    Bước 1: Đặt $\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
    {x = |a|\sin t\:{\rm{với}}\: – \frac{\pi }{2} \le t \le \frac{\pi }{2}}\\
    {x = |a|\cos t\:{\rm{với}}\:0 \le t \le \pi }
    \end{array}} \right.$ (hoặc có thể $t = x + \sqrt {{a^2} – {x^2}} $).
    Bước 2: Bài toán được chuyển về $I = \int S (\sin t,\cos t)dt.$

    Ví dụ: Tìm nguyên hàm của hàm số $f(x) = \frac{{{x^3}}}{{\sqrt {1 – {x^2}} }}.$

    Ta có thể trình bày theo hai cách sau:
    Cách 1: Đặt $x = \sin t$, $ – \frac{\pi }{2} < t < \frac{\pi }{2}$, suy ra: $dx = \cos tdt$ và $\frac{{{x^3}dx}}{{\sqrt {1 – {x^2}} }}$ $ = \frac{{{{\sin }^3}t\cos tdt}}{{\cos t}}$ $ = {\sin ^3}tdt$ $ = \frac{1}{4}(3\sin t – \sin 3t)dt.$
    Khi đó: $\int f (x)dx$ $ = \frac{1}{4}\int {(3\sin t – \sin 3t)} dt$ $ = – \frac{3}{4}\cos t + \frac{1}{{12}}\cos 3t + C$ $ = – \frac{3}{4}\cos t + \frac{1}{{12}}\left( {4{{\cos }^3}t – 3\cos t} \right) + C$ $ = \frac{1}{3}{\cos ^3}t – \cos t + C$ $ = \left( {\frac{1}{3}{{\cos }^2}t – 1} \right)\cos t + C$ $ = \left[ {\frac{1}{3}\left( {1 – {{\sin }^2}t} \right) – 1} \right]\cos t + C$ $ = \left[ {\frac{1}{3}\left( {1 – {x^2}} \right) – 1} \right]\sqrt {1 – {x^2}} + C$ $ = – \frac{1}{3}\left( {{x^2} + 2} \right)\sqrt {1 – {x^2}} + C.$
    Chú ý: Trong các giải trên ta có: $ – \frac{\pi }{2} < t < \frac{\pi }{2}$ $ \Rightarrow \cos t > 0$ $ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
    {\sqrt {{{\cos }^2}t} = \cos t}\\
    {\cos t = \sqrt {1 – {{\sin }^2}t} = \sqrt {1 – {x^2}} }
    \end{array}} \right.$
    Cách 2: Đặt $t = \sqrt {1 – {x^2}} $, suy ra: ${x^2} = 1 – {t^2}$, từ đó: $2xdx = – 2tdt$ và $\frac{{{x^3}dx}}{{\sqrt {1 – {x^2}} }}$ $ = \frac{{{x^2}xdx}}{{\sqrt {1 – {x^2}} }}$ $ = \frac{{\left( {1 – {t^2}} \right)( – tdt)}}{t}$ $ = \left( {{t^2} – 1} \right)dt.$
    Khi đó: $\int f (x)dx$ $ = \int {\left( {{t^2} – 1} \right)} dt$ $ = \frac{1}{3}{t^3} – t + C$ $ = \frac{1}{3}\left( {{t^2} – 3} \right)t + C$ $ = – \frac{1}{3}\left( {{x^2} + 2} \right)\sqrt {1 – {x^2}} + C.$
     

    Bình Luận Bằng Facebook

Chia sẻ trang này