Hãy đăng ký thành viên để có thể dễ dàng hỏi bài, trao đổi, giao lưu và chia sẻ về kiến thức
  1. Thủ thuật: Nếu muốn tìm lời giải một câu vật lý trên Google, bạn hãy gõ: tanggiap + câu hỏi.
    Dismiss Notice

Dạng toán 1: Tìm nguyên hàm các hàm số chứa căn thức (hàm số vô tỉ) dựa trên tam thức bậc hai.

Thảo luận trong 'Bài 1. Nguyên hàm' bắt đầu bởi Tăng Giáp, 6/12/18.

  1. Tăng Giáp

    Tăng Giáp Administrator Thành viên BQT

    Tham gia ngày:
    16/11/14
    Bài viết:
    4,609
    Đã được thích:
    282
    Điểm thành tích:
    83
    Giới tính:
    Nam
    Trên cơ sở đưa tam thức bậc hai về dạng chính tắc và dùng các công thức sau:
    1. $\int {\frac{{xdx}}{{\sqrt {{x^2} \pm a} }}} = \sqrt {{x^2} \pm a} + C.$
    2. $\int {\frac{{dx}}{{\sqrt {{x^2} \pm a} }}} = \ln \left| {x + \sqrt {{x^2} \pm a} } \right| + C.$
    3. $\int {\sqrt {{x^2} \pm a} } dx$ $ = \frac{x}{2}\sqrt {{x^2} \pm a} $ $ \pm \frac{a}{2}\ln \left| {x + \sqrt {{x^2} \pm a} } \right|$ $ + C.$

    Ví dụ 1: Tìm nguyên hàm các hàm số chứa căn thức sau:
    a) $\int {\frac{{xdx}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}} .$
    b) $\int {\frac{{(2x + 1)dx}}{{\sqrt {2{x^2} + 2x} }}} .$

    a) Ta có thể lựa chọn các cách trình bày sau:
    Cách 1: Ta biến đổi: $\int {\frac{{xdx}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}} $ $ = \int {\frac{{d\left( {{x^2} + 1} \right)}}{{2\sqrt {{x^2} + 1} }}} $ $ = \sqrt {{x^2} + 1} + C.$
    Cách 2: Đặt $u = {x^2} + 1$, suy ra: $du = 2xdx$ $ \Leftrightarrow xdx = \frac{1}{2}du.$
    Từ đó: $\int {\frac{{xdx}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}} $ $ = \int {\frac{{du}}{{2\sqrt u }}} $ $ = \sqrt u + C$ $ = \sqrt {{x^2} + 1} + C.$
    Cách 3: Đặt $u = \sqrt {{x^2} + 1} $, suy ra: ${u^2} = {x^2} + 1$ $ \Rightarrow 2udu = 2xdx$ $ \Leftrightarrow xdx = udu.$
    Từ đó: $\int {\frac{{xdx}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}} = \int {\frac{{udu}}{u}} $ $ = \int {du} = u + C$ $ = \sqrt {{x^2} + 1} + C.$
    b) Ta có thể lựa chọn các cách trình bày sau:
    Cách 1: Ta biến đổi: $\int {\frac{{(2x + 1)dx}}{{\sqrt {2{x^2} + 2x} }}} $ $ = \int {\frac{{d\left( {2{x^2} + 2x} \right)}}{{2\sqrt {2{x^2} + 2x} }}} $ $ = \sqrt {2{x^2} + 2x} + C.$
    Cách 2: Đặt $u = 2{x^2} + 2x$, suy ra: $du = (4x + 2)dx$ $ = 2(2x + 1)dx$ $ \Leftrightarrow (2x + 1)dx = \frac{1}{2}du.$
    Từ đó: $\int {\frac{{(2x + 1)dx}}{{\sqrt {2{x^2} + 2x} }}} $ $ = \int {\frac{{du}}{{2\sqrt u }}} $ $ = \sqrt u + C$ $ = \sqrt {2{x^2} + 2x} + C.$
    Cách 3: Đặt: $u = \sqrt {2{x^2} + 2x} $, suy ra: ${u^2} = 2{x^2} + 2x$ $ \Rightarrow 2udu = (4x + 2)dx$ $ = 2(2x + 1)dx$ $ \Leftrightarrow (2x + 1)dx = udu.$
    Từ đó: $\int {\frac{{(2x + 1)dx}}{{\sqrt {2{x^2} + 2x} }}} $ $ = \int {\frac{{udu}}{u}} $ $ = \int d u = u + C$ $ = \sqrt {2{x^2} + 2x} + C.$

    Ví dụ 2: Tìm nguyên hàm các hàm số chứa căn thức sau:
    a) $f(x) = \frac{1}{{\sqrt {{x^2} – a} }}.$
    b) $f(x) = \frac{1}{{\sqrt {{x^2} – x – 1} }}.$

    a) Đặt $t = x + \sqrt {{x^2} – a} $, suy ra: $dt = \left( {1 + \frac{x}{{\sqrt {{x^2} – a} }}} \right)dx$ $ = \frac{{\sqrt {{x^2} – a} + x}}{{\sqrt {{x^2} – a} }}dx$ $ = \frac{{tdx}}{{\sqrt {{x^2} – a} }}$ $ \Leftrightarrow \frac{{dx}}{{\sqrt {{x^2} – a} }} = \frac{{dt}}{t}.$
    Khi đó: $\int f (x)dx$ $ = \int {\frac{{dx}}{{\sqrt {{x^2} – a} }}} $ $ = \int {\frac{{dt}}{t}} $ $ = \ln |t| + C$ $ = \ln \left| {x + \sqrt {{x^2} – a} } \right| + C.$
    b) Ta có thể lựa chọn các cách trình bày sau:
    Cách 1: Ta có: $\int f (x)dx$ $ = \int {\frac{{dx}}{{\sqrt {{x^2} – x – 1} }}} $ $ = \int {\frac{{dx}}{{\sqrt {{{\left( {x – \frac{1}{2}} \right)}^2} – \frac{5}{4}} }}} .$
    Đặt $t = x – \frac{1}{2}$ $ \Rightarrow dt = dx.$
    Khi đó: $\int f (x)dx$ $ = \int {\frac{{dt}}{{\sqrt {{t^2} – \frac{5}{4}} }}} $ $ = \ln \left| {t + \sqrt {{t^2} – \frac{5}{4}} } \right| + C$ $ = \ln \left| {x – \frac{1}{2} + \sqrt {{x^2} – x – 1} } \right| + C.$
    Cách 2: Ta có: $\int f (x)dx$ $ = \int {\frac{{dx}}{{\sqrt {{x^2} – x – 1} }}} $ $ = \int {\frac{{dx}}{{\sqrt {{{\left( {x – \frac{1}{2}} \right)}^2} – \frac{5}{4}} }}} .$
    Đặt $t = x – \frac{1}{2} + \sqrt {{x^2} – x – 1} $, suy ra: $dt = \left( {1 + \frac{{2x – 1}}{{2\sqrt {{x^2} – x – 1} }}} \right)dx$ $ = \left( {1 + \frac{{x – \frac{1}{2}}}{{\sqrt {{x^2} – x – 1} }}} \right)dx$ $ = \frac{{\left( {\sqrt {{x^2} – x – 1} + x – \frac{1}{2}} \right)dx}}{{\sqrt {{x^2} – x – 1} }}$ $ \Leftrightarrow \frac{{dx}}{{\sqrt {{x^2} – x – 1} }} = \frac{{dt}}{t}.$
    Khi đó: $\int f (x)dx$ $ = \int {\frac{{dx}}{{\sqrt {{x^2} – x – 1} }}} $ $ = \int {\frac{{dt}}{t}} $ $ = \ln |t| + C$ $ = \ln \left| {x – \frac{1}{2} + \sqrt {{x^2} – x – 1} } \right| + C.$

    Ví dụ 3: Biết rằng $\int {\frac{{dx}}{{\sqrt {{x^2} + 3} }}} $ $ = \ln \left( {x + \sqrt {{x^2} + 3} } \right) + C.$ Tìm nguyên hàm: $I = \int {\sqrt {{x^2} + 3} } dx.$

    Sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần bằng cách đặt:
    $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
    {u = \sqrt {{x^2} + 3} }\\
    {dv = dx}
    \end{array}} \right.$ $ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
    {du = \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 3} }}dx}\\
    {v = x}
    \end{array}} \right.$
    Khi đó: $I = x\sqrt {{x^2} + 3} – \int {\frac{{{x^2}dx}}{{\sqrt {{x^2} + 3} }}} $ $ = x\sqrt {{x^2} + 3} – \int {\frac{{\left( {{x^2} + 3 – 3} \right)dx}}{{\sqrt {{x^2} + 3} }}} $ $ = x\sqrt {{x^2} + 3} $ $ – \int {\sqrt {{x^2} + 3} } dx$ $ + \int {\frac{{3dx}}{{\sqrt {{x^2} + 3} }}} .$
    $ \Leftrightarrow 2I = x\sqrt {{x^2} + 3} $ $ + 3\ln \left( {x + \sqrt {{x^2} + 3} } \right) + C.$
    $ \Leftrightarrow I = \frac{1}{2}x\sqrt {{x^2} + 3} $ $ + \frac{3}{2}\ln \left( {x + \sqrt {{x^2} + 3} } \right) + C.$
    Chú ý: Với các em học sinh đã kinh nghiệm trong việc tính nguyên hàm có thể trình bày theo cách sau:
    $\sqrt {{x^2} + 3} $ $ = \frac{1}{2} \cdot \frac{{2{x^2} + 6}}{{\sqrt {{x^2} + 3} }}$ $ = \frac{1}{2} \cdot \left( {\sqrt {{x^2} + 3} + \frac{{{x^2}}}{{\sqrt {{x^2} + 3} }}} \right)$ $ + \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{{\sqrt {{x^2} + 3} }}$ $ = \frac{1}{2} \cdot {\left( {x\sqrt {{x^2} + 3} } \right)^\prime } + \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{{\sqrt {{x^2} + 3} }}.$
    Khi đó: $I = \frac{1}{2}\int {{{\left( {x\sqrt {{x^2} + 3} } \right)}^\prime }} dx$ $ + \frac{3}{2}\int {\frac{{dx}}{{\sqrt {{x^2} + 3} }}} $ $ = \frac{1}{2}x\sqrt {{x^2} + 3} $ $ + \frac{3}{2}\ln \left( {x + \sqrt {{x^2} + 3} } \right) + C.$

    Ví dụ 4: Tìm nguyên hàm của hàm số $f(x) = \frac{{{x^2}}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}.$

    Ta có: $\int f (x)dx$ $ = \int {\frac{{{x^2}dx}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}} $ $ = \int {\frac{{\left[ {\left( {{x^2} + 1} \right) – 1} \right]dx}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}} $ $ = \int {\left( {\sqrt {{x^2} + 1} – \frac{1}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}} \right)dx} $ $ = \int {\sqrt {{x^2} + 1} } dx$ $ – \int {\frac{{dx}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}} $ $ = \frac{x}{2}\sqrt {{x^2} + 1} $ $ + \frac{1}{2}\ln \left| {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right|$ $ – \ln \left| {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right| + C$ $ = \frac{x}{2}\sqrt {{x^2} + 1} $ $ – \frac{1}{2}\ln \left| {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right| + C.$
     

    Bình Luận Bằng Facebook

Chia sẻ trang này