Dạng toán 10: Viết phương trình mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ song song với hai đường thẳng $d$ và $d’$ đồng thời tiếp xúc với mặt cầu $S(I ;R).$ Phương pháp: + Vector pháp tuyến của mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ là: $\overrightarrow {{n_\alpha }} = \left[ {\overrightarrow {{a_d}} .\overrightarrow {{a_{d’}}} } \right]$, trong đó $\overrightarrow {{a_d}} ,\overrightarrow {{a_{d’}}} $ lần lượt là vector chỉ phương của đường thẳng $d$, $d’.$ + Suy ra phương trình mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ có dạng: $Ax + By + Cz + D = 0$, trong đó hệ số $D$ chưa biết. + Từ giả thiết mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ tiếp xúc với mặt cầu $S(I;R)$ $ \Rightarrow d\left( {I,\left( \alpha \right)} \right) = R$, từ đó tìm được hệ số $D.$ Ví dụ 17: Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz$ cho mặt cầu $(S):$ ${x^2} + {y^2} + {z^2}$ $ – 2x + 2y + 4z – 3 = 0$ và hai đường thẳng $d:$ $\left\{ \begin{array}{l} x + 2y – 2 = 0\\ x – 2z = 0 \end{array} \right.$ và $d’:$ $\frac{{x – 1}}{{ – 1}} = \frac{y}{1} = \frac{z}{{ – 1}}.$ Viết phương trình mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ là tiếp diện của $(S)$ đồng thời song song với $d$ và $d’.$ Mặt cầu $(S)$ có tâm $I(1;-1;-2)$, bán kính $R = 3.$ Đường thẳng $d$ là giao của hai mặt phẳng $(P):$ $x + 2y -2 =0$ và $(Q):$ $x – 2z= 0$, suy ra vector chỉ phương của $d$ là: $\overrightarrow {{a_d}} = \left[ {\overrightarrow {{n_P}} .\overrightarrow {{n_Q}} } \right] = \left( { – 4;2; – 2} \right).$ Vector chỉ phương của $d’$ là $\overrightarrow {{a_{d’}}} = \left( { – 1;1; – 1} \right).$ Vì $\left\{ \begin{array}{l} \left( \alpha \right){\rm{//}}d\\ \left( \alpha \right){\rm{//}}d’ \end{array} \right.$ $ \Rightarrow \overrightarrow {{n_\alpha }} = \left[ {\overrightarrow {{a_d}} .\overrightarrow {{a_{d’}}} } \right]$ $ = \left( {0; – 2; – 2} \right)$ là vector pháp tuyến của mặt phẳng $\left( \alpha \right).$ Suy ra phương trình mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ có dạng $- 2y – 2z + D = 0.$ Vì $\left( \alpha \right)$ là tiếp diện của $(S)$ $ \Rightarrow d\left( {I,\left( \alpha \right)} \right) = R$ $ \Leftrightarrow \frac{{\left| {2 + 4 + D} \right|}}{{\sqrt 8 }} = 3$ $ \Leftrightarrow D = – 6 + 6\sqrt 2 $ hoặc $D = – 6 – 6\sqrt 2 .$ Vậy có hai tiếp diện thỏa mãn bài toán là: $y + {\rm{ }}z + 3 – 3\sqrt 2 = 0$ và $y + {\rm{ }}z + 3 + 3\sqrt 2 = 0.$
