Hãy đăng ký thành viên để có thể dễ dàng hỏi bài, trao đổi, giao lưu và chia sẻ về kiến thức
  1. Thủ thuật: Nếu muốn tìm lời giải một câu vật lý trên Google, bạn hãy gõ: tanggiap + câu hỏi.
    Dismiss Notice

Dạng toán 2. Biểu diễn một logarit theo các logarit cho trước.

Thảo luận trong 'Bài 1. Lũy thừa và logarit' bắt đầu bởi Tăng Giáp, 6/12/18.

  1. Tăng Giáp

    Tăng Giáp Administrator Thành viên BQT

    Tham gia ngày:
    16/11/14
    Bài viết:
    4,630
    Đã được thích:
    282
    Điểm thành tích:
    83
    Giới tính:
    Nam
    Để tính ${\log _a}b$ theo $m = {\log _a}x$, $n = {\log _a}y$ ta biến đổi $b = {a^\alpha }{x^\beta }{y^\gamma }$ từ đó suy ra ${\log _a}b = {\log _a}\left( {{a^\alpha }{x^\beta }{y^\gamma }} \right) = \alpha + m\beta + n\gamma .$

    Ví dụ 10: Cho ${\log _2}6 = a$. Tính giá trị của ${\log _3}18$ theo $a$?

    Ta có: $a = {\log _2}6 = {\log _2}(2.3)$ $ = 1 + {\log _2}3$ $ \Rightarrow {\log _3}2 = \frac{1}{{a – 1}}.$
    Suy ra ${\log _3}18 = {\log _3}\left( {{{2.3}^2}} \right) = {\log _3}2 + 2$ $ = \frac{1}{{a – 1}} + 2 = \frac{{2a – 1}}{{a – 1}}.$

    Ví dụ 11: Cho $a = {\log _3}15$, $b = {\log _3}10$. Tính giá trị của ${\log _{\sqrt 3 }}50$ theo $a$, $b$?

    Ta có $a = {\log _3}15 = {\log _3}(3.5)$ $ = 1 + {\log _3}5$ $ \Rightarrow {\log _3}5 = a – 1.$
    Khi đó ${\log _{\sqrt 3 }}50 = 2{\log _3}(5.10)$ $ = 2\left( {{{\log }_3}5 + {{\log }_3}10} \right)$ $ = 2(a – 1 + b).$

    Ví dụ 12: Cho ${\log _{27}}5 = a$, ${\log _8}7 = b$, ${\log _2}3 = c.$ Tính giá trị của ${\log _6}35$ theo $a$, $b$, $c$?

    Ta có:
    ${\log _{27}}5 = a \Rightarrow {\log _3}5 = 3a.$
    ${\log _8}7 = b \Rightarrow {\log _2}7 = 3b.$
    $ \Rightarrow {\log _2}5 = {\log _2}3.{\log _3}5 = 3ac.$
    $ \Rightarrow {\log _6}35 = \frac{{{{\log }_2}35}}{{{{\log }_2}6}}$ $ = \frac{{{{\log }_2}5.{{\log }_2}7}}{{{{\log }_2}2.{{\log }_2}3}} = \frac{{3(ac + b)}}{{1 + c}}.$

    Ví dụ 13: Đặt $a = {\log _2}3$, $b = {\log _5}3.$ Hãy biểu diễn ${\log _6}45$ theo $a$ và $b.$

    Ta có: ${\log _6}45 = \frac{{{{\log }_2}45}}{{{{\log }_2}6}}$ $ = \frac{{{{\log }_2}{3^2}.5}}{{{{\log }_2}2.3}} = \frac{{2{{\log }_2}3 + {{\log }_2}5}}{{1 + {{\log }_2}3}}$ $ = \frac{{2{{\log }_2}3 + {{\log }_2}3.{{\log }_3}5}}{{1 + {{\log }_2}3}}$ $ = \frac{{2a + a.\frac{1}{b}}}{{1 + a}} = \frac{{a + 2ab}}{{ab + b}}.$

    Ví dụ 14: Biết $a = {\log _2}5$, $b = {\log _5}3$. Khi đó giá trị của ${\log _{24}}15$ được tính theo $a$ và $b$ là?

    ${\log _{24}}15 = \frac{{{{\log }_2}15}}{{{{\log }_2}24}}$ $ = \frac{{{{\log }_2}3.5}}{{{{\log }_2}{{3.2}^3}}} = \frac{{{{\log }_2}3 + {{\log }_2}5}}{{{{\log }_2}3 + 3}}$ $ = \frac{{{{\log }_2}3 + {{\log }_2}3.{{\log }_3}5}}{{{{\log }_2}3 + 3}}$ $ = \frac{{a + a \cdot \frac{1}{b}}}{{3 + a}} = \frac{{a + ab}}{{ab + 3b}}.$

    Ví dụ 15: Cho ${\log _{12}}27 = a$. Khi đó giá trị của ${\log _6}16$ được tính theo $a$ là?

    Ta có $a = {\log _{12}}27$ $ = \frac{{{{\log }_2}27}}{{{{\log }_2}12}} = \frac{{3{{\log }_2}3}}{{2 + {{\log }_2}3}}$ $ \Rightarrow {\log _2}3 = \frac{{2a}}{{3 – a}}$ $ \Rightarrow {\log _6}16 = \frac{{4(3 – a)}}{{3 + a}}.$

    Ví dụ 16: Cho $a = {\log _2}3$, $b = {\log _3}5$, $c = {\log _7}2$. Khi đó giá trị của biểu thức ${\log _{140}}63$ được tính theo $a$, $b$, $c$ là?

    ${\log _{140}}63 = \frac{{{{\log }_2}63}}{{{{\log }_2}140}}$ $ = \frac{{{{\log }_2}{3^2}.7}}{{{{\log }_2}{2^2}5.7}}$ $ = \frac{{2{{\log }_2}3 + {{\log }_2}7}}{{2 + {{\log }_2}5 + {{\log }_2}7}}$ $ = \frac{{2{{\log }_2}3 + \frac{1}{{{{\log }_7}2}}}}{{2 + {{\log }_2}3.{{\log }_3}5 + {{\log }_7}2}}$ $ = \frac{{2a + \frac{1}{c}}}{{2 + ab + \frac{1}{c}}}$ $ = \frac{{1 + 2ac}}{{1 + 2c + abc}}.$

    Ví dụ 17: Cho số thực $x$ thỏa mãn $\log x = \frac{1}{2}\log 3a – 2\log b + 3\log \sqrt c $ ($a$, $b$, $c$ là các số thực dương). Hãy biểu diễn $x$ theo $a$, $b$, $c.$

    Ta có $\log x = \frac{1}{2}\log 3a – 2\log b + 3\log \sqrt c $ $ \Leftrightarrow \log x = \log \sqrt {3a} – \log {b^2} + \log \sqrt {{c^3}} $ $ \Leftrightarrow \log x = \log \frac{{\sqrt {3a{c^3}} }}{{{b^2}}}$ $ \Leftrightarrow x = \frac{{\sqrt {3a{c^3}} }}{{{b^2}}}.$

    Ví dụ 18: Cho $a = {\log _4}3$, $b = {\log _{25}}2$. Hãy tính ${\log _{60}}\sqrt {150} $ theo $a$, $b.$

    ${\log _{60}}\sqrt {150} = \frac{1}{2}\frac{{{{\log }_{25}}150}}{{{{\log }_{25}}60}}$ $ = \frac{1}{2}\frac{{{{\log }_{25}}25 + {{\log }_{25}}2 + {{\log }_{25}}3}}{{{{\log }_{25}}5 + {{\log }_{25}}4 + {{\log }_{25}}3}}$ $ = \frac{{1 + {{\log }_{25}}2 + 2{{\log }_4}3.{{\log }_{25}}2}}{{2{{\log }_{25}}5 + 4{{\log }_{25}}2 + 4{{\log }_4}3.{{\log }_{25}}2}}$ $ = \frac{{1 + a + 2ab}}{{1 + 4b + 4ab}}.$

    Ví dụ 19: Biết ${\log _{27}}5 = a$, ${\log _8}7 = b$, ${\log _2}3 = c$ thì ${\log _{12}}35$ tính theo $a$, $b$, $c$ bằng?

    Ta có ${\log _{27}}5 = \frac{1}{3}{\log _3}5 = a$ $ \Leftrightarrow {\log _3}5 = 3a$, ${\log _8}7 = \frac{1}{3}{\log _2}7 = b$ $ \Leftrightarrow {\log _2}7 = 3b.$
    Mà ${\log _{12}}35 = \frac{{{{\log }_2}(7.5)}}{{{{\log }_2}\left( {{{3.2}^2}} \right)}}$ $ = \frac{{{{\log }_2}7 + {{\log }_2}5}}{{{{\log }_2}3 + 2}}$ $ = \frac{{{{\log }_2}7 + {{\log }_2}3.{{\log }_3}5}}{{{{\log }_2}3 + 2}}$ $ = \frac{{3b + c.3a}}{{c + 2}} = \frac{{3(b + ac)}}{{c + 2}}.$

    Ví dụ 20: Cho ${\log _{12}}27 = a$ thì ${\log _6}16$ tính theo $a$ là?

    $a = {\log _{12}}27$ $ = \frac{{{{\log }_3}27}}{{{{\log }_3}12}} = \frac{3}{{1 + 2{{\log }_3}2}}$ $ \Rightarrow {\log _3}2 = \frac{{3 – a}}{{2a}}.$
    ${\log _6}16 = \frac{{{{\log }_3}16}}{{{{\log }_3}6}}$ $ = \frac{{4{{\log }_3}2}}{{1 + {{\log }_3}2}}$ $ = \frac{{4\frac{{3 – a}}{{2a}}}}{{1 + \frac{{3 – a}}{{2a}}}}$ $ = \frac{{4(3 – a)}}{{a + 3}}.$

    Ví dụ 21: Xét các số thực $a$, $b$ thỏa mãn $a > b > 1$. Tìm giá trị nhỏ nhất ${P_{\min }}$ của biểu thức $P = \log _{\frac{a}{b}}^2\left( {{a^2}} \right) + 3{\log _b}\left( {\frac{a}{b}} \right).$

    Với điều kiện đề bài, ta có: $P = \log _{\frac{a}{b}}^2\left( {{a^2}} \right) + 3{\log _b}\left( {\frac{a}{b}} \right)$ $ = {\left[ {2{{\log }_{\frac{a}{b}}}a} \right]^2} + 3{\log _b}\left( {\frac{a}{b}} \right)$ $ = 4{\left[ {{{\log }_{\frac{a}{b}}}\left( {\frac{a}{b}b} \right)} \right]^2} + 3{\log _b}\left( {\frac{a}{b}} \right).$
    Đặt $t = {\log _{\frac{a}{b}}}b > 0$ (vì $a > b > 1$), ta có $P = 4{(1 + t)^2} + \frac{3}{t}$ $ = 4{t^2} + 8t + \frac{3}{t} + 4 = f(t).$
    Ta có ${f^\prime }(t) = 8t + 8 – \frac{3}{{{t^2}}}$ $ = \frac{{8{t^3} + 8{t^2} – 3}}{{{t^2}}}$ $ = \frac{{(2t – 1)\left( {4{t^2} + 6t + 3} \right)}}{{{t^2}}}.$
    Vậy ${f^\prime }(t) = 0 \Leftrightarrow t = \frac{1}{2}.$
    Khảo sát hàm số, ta có ${P_{\min }} = f\left( {\frac{1}{2}} \right) = 15.$

    Ví dụ 22: Biết ${\log _{27}}5 = a$, ${\log _8}7 = b$, ${\log _2}3 = c$ thì ${\log _{12}}35$ tính theo $a$, $b$, $c$ bằng?

    Ta có ${\log _{27}}5 = \frac{1}{3}{\log _3}5 = a$ $ \Leftrightarrow {\log _3}5 = 3a$, ${\log _8}7 = \frac{1}{3}{\log _2}7 = b$ $ \Leftrightarrow {\log _2}7 = 3b.$
    Mà ${\log _{12}}35 = \frac{{{{\log }_2}(7.5)}}{{{{\log }_2}\left( {{{3.2}^2}} \right)}}$ $ = \frac{{{{\log }_2}7 + {{\log }_2}5}}{{{{\log }_2}3 + 2}}$ $ = \frac{{{{\log }_2}7 + {{\log }_2}3.{{\log }_3}5}}{{{{\log }_2}3 + 2}}$ $ = \frac{{3b + c.3a}}{{c + 2}} = \frac{{3(b + ac)}}{{c + 2}}.$

    Ví dụ 23: Đặt $a = {\log _3}4$, $b = {\log _5}4$. Hãy biểu diễn ${\log _{12}}80$ theo $a$ và $b.$

    Ta có ${\log _{12}}80 = {\log _{12}}\left( {{4^2}.5} \right)$ $ = {\log _{12}}{4^2} + {\log _{12}}5$ $ = 2{\log _{12}}4 + \frac{1}{{{{\log }_5}12}}$ $ = \frac{2}{{{{\log }_4}12}} + \frac{1}{{{{\log }_5}4 + {{\log }_5}3}}$ $ = \frac{2}{{{{\log }_4}4 + {{\log }_4}3}} + \frac{1}{{b + {{\log }_5}3}}.$
    Từ $a = {\log _3}4 \Rightarrow {\log _4}3 = \frac{1}{a}$ $ \Rightarrow {\log _5}3 = {\log _5}4.{\log _4}3$ $ = b.\frac{1}{a} = \frac{b}{a}.$
    $ \Rightarrow {\log _{12}}80 = \frac{2}{{1 + \frac{1}{a}}} + \frac{1}{{b + \frac{b}{a}}}$ $ = \frac{{2a}}{{a + 1}} + \frac{a}{{b(a + 1)}}$ $ = \frac{{a + 2ab}}{{ab + b}}.$

    Ví dụ 24: Cho $a$, $b$ là các số hữu tỉ thỏa mãn ${\log _2}\sqrt[6]{{360}} – {\log _2}\sqrt 2 $ $ = a{\log _2}3 + b{\log _2}5.$ Tính $a + b.$

    Ta có ${\log _2}\sqrt[6]{{360}} – {\log _2}\sqrt 2 $ $ = {\log _2}\sqrt[6]{{360}} – {\log _2}\sqrt[6]{8}$ $ = {\log _2}\sqrt[6]{{\frac{{360}}{8}}} = \frac{1}{6}{\log _2}45$ $ = \frac{1}{3}{\log _2}3 + \frac{1}{6}{\log _2}5.$
    Theo đề bài ta có ${\log _2}\sqrt[6]{{360}} – {\log _2}\sqrt 2 $ $ = a{\log _2}3 + b{\log _2}5$ $ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
    {a = \frac{1}{3}}\\
    {b = \frac{1}{6}}
    \end{array}} \right.$ $ \Rightarrow a + b = \frac{1}{2}.$
     

Chia sẻ trang này