Phương pháp: Để chứng minh ba số $a, b, c$ lập thành cấp số cộng, ta chứng minh: $a + c = 2b$ hoặc $a – b = b – c.$ Ví dụ 3. Cho ba số $a, b, c$ lập thành một cấp số cộng. Chứng minh rằng ba số $\left( {{a^2} + ab + {b^2}} \right)$, $\left( {{a^2} + ac + {c^2}} \right)$, $\left( {{b^2} + bc + {c^2}} \right)$ cũng lập thành một cấp số cộng. Từ giả thiết $a, b, c$ lập thành một cấp số cộng, ta được: $a + c = 2b.$ Ta có: ${\left( {{a^2} + ab + {b^2}} \right)}$ ${ + \left( {{b^2} + bc + {c^2}} \right)}$ ${ = {a^2} + \left( {ab + bc} \right) + 2{b^2} + {c^2}}$ ${ = {a^2} + b\left( {a + c} \right) + 2{b^2} + {c^2}}$ ${ = {a^2} + 4{b^2} + {c^2}}$ $ = {a^2} + {\left( {a + c} \right)^2} + {c^2}$ $ = 2\left( {{a^2} + ac + {c^2}} \right).$ Vậy: ba số $\left( {{a^2} + ab + {b^2}} \right)$, $\left( {{a^2} + ac + {c^2}} \right)$, $\left( {{b^2} + bc + {c^2}} \right)$ cũng lập thành một cấp số cộng. Ví dụ 4. Cho ba số dương $a, b, c$ lập thành một cấp số cộng. Chứng minh rằng ba số $\frac{1}{{\sqrt b + \sqrt c }}$, $\frac{1}{{\sqrt c + \sqrt a }}$, $\frac{1}{{\sqrt a + \sqrt b }}$ cũng lập thành một cấp số cộng. Từ giả thiết $a, b, c$ lập thành một cấp số cộng, ta được: $a + c = 2b$ $ \Leftrightarrow a – b = b – c$ $ = \frac{1}{2}(a – c).$ Ta có: $\frac{1}{{\sqrt b + \sqrt c }} + \frac{1}{{\sqrt a + \sqrt b }}$ $ = \frac{{\sqrt b – \sqrt c }}{{b – c}} + \frac{{\sqrt a – \sqrt b }}{{a – b}}$ $ = \frac{{\sqrt b – \sqrt c }}{{a – b}} + \frac{{\sqrt a – \sqrt b }}{{a – b}}$ $ = \frac{{\sqrt b – \sqrt c + \sqrt a – \sqrt b }}{{a – b}}$ $ = \frac{{\sqrt a – \sqrt c }}{{\frac{1}{2}(a – c)}}$ $ = \frac{2}{{\sqrt c + \sqrt a }}.$ Vậy: ba số $\frac{1}{{\sqrt b + \sqrt c }}$, $\frac{1}{{\sqrt c + \sqrt a }}$, $\frac{1}{{\sqrt a + \sqrt b }}$ cũng lập thành một cấp số cộng.
