Hãy đăng ký thành viên để có thể dễ dàng hỏi bài, trao đổi, giao lưu và chia sẻ về kiến thức
  1. Thủ thuật: Nếu muốn tìm lời giải một câu vật lý trên Google, bạn hãy gõ: tanggiap + câu hỏi.
    Dismiss Notice

Dạng toán 2. Tìm giới hạn của dãy số dựa vào các định lý và các giới hạn cơ bản.

Thảo luận trong 'Chủ đề 4. GIỚI HẠN' bắt đầu bởi moon, 5/12/18.

  1. moon

    moon Thành viên cấp 2 Thành viên BQT

    Tham gia ngày:
    2/10/14
    Bài viết:
    160
    Đã được thích:
    46
    Điểm thành tích:
    28
    Phương pháp: Sử dụng các định lí về giới hạn, biến đổi đưa về các giới hạn cơ bản.
    • Khi tìm $\lim \frac{{f(n)}}{{g(n)}}$ ta thường chia cả tử và mẫu cho ${n^k}$, trong đó $k$ là bậc lớn nhất của tử và mẫu.
    • Khi tìm $\lim \left[ {\sqrt[k]{{f(n)}} – \sqrt[m]{{g(n)}}} \right]$ trong đó $\lim f(n) = \lim g(n) = + \infty $ ta thường tách và sử dụng phương pháp nhân lượng liên hợp.

    Ví dụ 4. Tìm các giới hạn sau:
    1. $A = \lim \frac{{2{n^2} + 3n + 1}}{{3{n^2} – n + 2}}.$
    2. $B = \lim \frac{{\sqrt {{n^2} + n} }}{{n – \sqrt {3{n^2} + 1} }}.$
    3. $C = \lim \frac{{{{\left( {2{n^2} + 1} \right)}^4}{{\left( {n + 2} \right)}^9}}}{{{n^{17}} + 1}}.$
    4. $D = \lim \frac{{\sqrt {{n^2} + 1} – \sqrt[3]{{3{n^3} + 2}}}}{{\sqrt[4]{{2{n^4} + n + 2}} – n}}.$

    1. Ta có: $A = \lim \frac{{2 + \frac{3}{n} + \frac{1}{{{n^2}}}}}{{3 – \frac{1}{n} + \frac{2}{{{n^2}}}}} = \frac{2}{3}.$
    2. Ta có: $B = \lim \frac{{\frac{{\sqrt {{n^2} + n} }}{n}}}{{\frac{{n – \sqrt {3{n^2} + 1} }}{n}}}$ $ = \lim \frac{{\sqrt {1 + \frac{1}{n}} }}{{1 – \sqrt {3 + \frac{1}{{{n^2}}}} }}$ $ = \frac{1}{{1 – \sqrt 3 }}.$
    3. Ta có: $C = $ $\lim \frac{{{n^8}{{(2 + \frac{1}{{{n^2}}})}^4}.{n^9}{{(1 + \frac{2}{n})}^9}}}{{{n^{17}}(1 + \frac{1}{{{n^{17}}}})}}$ $ = \lim \frac{{{{(2 + \frac{1}{{{n^2}}})}^4}.{{(1 + \frac{2}{n})}^9}}}{{1 + \frac{1}{{{n^{17}}}}}}$ $ = 16.$
    4. Ta có: $D = $ $\lim \frac{{n\left( {\sqrt {1 + \frac{1}{{{n^2}}}} – \sqrt[3]{{3 + \frac{2}{{{n^3}}}}}} \right)}}{{n\left( {\sqrt[4]{{2 + \frac{1}{{{n^3}}} + \frac{2}{{{n^4}}}}} – 1} \right)}}$ $ = \frac{{1 – \sqrt[3]{3}}}{{\sqrt[4]{2} – 1}}.$

    Ví dụ 5. Tìm các giới hạn sau:
    1. $A = \lim \left( {\sqrt {{n^2} + 6n} – n} \right).$
    2. $B = \lim \left( {\sqrt[3]{{{n^3} + 9{n^2}}} – n} \right).$

    1. Ta có: $A = \lim \left( {\sqrt {{n^2} + 6n} – n} \right)$ $ = \lim \frac{{{n^2} + 6n – {n^2}}}{{\sqrt {{n^2} + 6n} + n}}$ $ = \lim \frac{{6n}}{{\sqrt {{n^2} + 6n} + n}}$ $ = \lim \frac{6}{{\sqrt {1 + \frac{6}{n}} + 1}}$ $ = 3.$
    2. Ta có: $B = \lim \left( {\sqrt[3]{{{n^3} + 9{n^2}}} – n} \right)$ $ = \lim \frac{{9{n^2}}}{{\sqrt[3]{{{{\left( {{n^3} + 9{n^2}} \right)}^2}}} + n\sqrt[3]{{{n^3} + 9{n^2}}} + {n^2}}}$ $ = \lim \frac{9}{{\sqrt[3]{{{{\left( {1 + \frac{9}{n}} \right)}^2}}} + \sqrt {1 + \frac{9}{n}} + 1}}$ $ = 3.$

    Ví dụ 6. Tìm các giới hạn sau:
    1. $A = \lim \left( {\sqrt {{n^2} + 2n + 2} + n} \right).$
    2. $B = \lim \left( {\sqrt {2{n^2} + 1} – n} \right).$

    1. Ta có: $A = \lim n\left( {\sqrt {1 + \frac{2}{n} + \frac{2}{{{n^2}}}} + 1} \right).$
    Vì: $\lim n = + \infty $ và $\lim \left( {\sqrt {1 + \frac{2}{n} + \frac{2}{{{n^2}}}} + 1} \right) = 2 > 0.$
    Nên $A = + \infty .$
    2. Ta có: $B = \lim n\left( {\sqrt {2 + \frac{1}{n}} – 1} \right).$
    Vì: $\lim n = + \infty $ và $\lim \left( {\sqrt {2 + \frac{1}{n}} – 1} \right)$ $ = \sqrt 2 – 1 > 0.$
    Nên $B = + \infty .$

    Ví dụ 7. Tìm các giới hạn sau:
    1. $A = $ $\lim \frac{{n\sqrt {1 + 3 + 5 + … + (2n – 1)} }}{{2{n^2} + 1}}.$
    2. $B = $ $\lim \frac{{\sqrt {1 + 2 + … + n} – n}}{{\sqrt[3]{{{1^2} + {2^2} + … + {n^2}}} + 2n}}.$

    1. Ta có: $1 + 3 + 5 + … + 2n – 1 = {n^2}.$
    Suy ra $A = \lim \frac{{{n^2}}}{{2{n^2} + 1}}$ $ = \lim \frac{1}{{2 + \frac{1}{{{n^2}}}}}$ $ = \frac{1}{2}.$
    2. Ta có:
    $1 + 2 + … + n = \frac{{n(n + 1)}}{2}.$
    ${1^2} + {2^2} + … + {n^2}$ $ = \frac{{n(n + 1)(2n + 1)}}{6}.$
    Suy ra: $B = $ $\lim \frac{{\sqrt {\frac{{n(n + 1)}}{2}} – n}}{{\sqrt[3]{{\frac{{n(n + 1)(2n + 1)}}{6}}} + 2n}}$ $ = \lim \frac{{\sqrt {\frac{{{n^2}\left( {1 + \frac{1}{n}} \right)}}{2}} – n}}{{\sqrt[3]{{\frac{{{n^3}\left( {1 + \frac{1}{n}} \right)\left( {2 + \frac{1}{n}} \right)}}{6}}} + 2n}}$ $ = \frac{{\sqrt {\frac{1}{2}} – 1}}{{\sqrt[3]{{\frac{1}{3}}} + 2}}.$

    Ví dụ 8. Tìm các giới hạn sau:
    1. $C = $ $\lim \left[ {\left( {1 – \frac{1}{{{2^2}}}} \right)\left( {1 – \frac{1}{{{3^2}}}} \right)…\left( {1 – \frac{1}{{{n^2}}}} \right)} \right].$
    2. $D = $ $\lim \left[ {\frac{1}{{1.2}} + \frac{1}{{2.3}} + \frac{1}{{3.4}} + … + \frac{1}{{n(n + 1)}}} \right].$

    1. Ta có: $1 – \frac{1}{{{k^2}}}$ $ = \frac{{(k – 1)(k + 1)}}{{{k^2}}}$ nên suy ra:
    $\left( {1 – \frac{1}{{{2^2}}}} \right)\left( {1 – \frac{1}{{{3^2}}}} \right)…\left( {1 – \frac{1}{{{n^2}}}} \right)$ $ = \frac{{1.3}}{{{2^2}}}.\frac{{2.4}}{{{3^2}}}…\frac{{(n – 1)(n + 1)}}{{{n^2}}}$ $ = \frac{{n + 1}}{{2n}}.$
    Do vậy $C = \lim \frac{{n + 1}}{{2n}} = \frac{1}{2}.$
    2. Ta có: $\frac{1}{{k(k + 1)}}$ $ = \frac{1}{k} – \frac{1}{{k + 1}}$ nên suy ra $\frac{1}{{1.2}} + \frac{1}{{2.3}} + \frac{1}{{3.4}} + … + \frac{1}{{n(n + 1)}}$ $ = 1 – \frac{1}{{n + 1}}.$
    Vậy $D = \lim \left( {1 – \frac{1}{{n + 1}}} \right) = 1.$

    Ví dụ 9. Tìm các giới hạn sau:
    1. $A = \lim \frac{{{4^{n + 1}} – {5^{n + 1}}}}{{{4^n} + {5^n}}}.$
    2. $B = \lim \frac{{{{4.3}^{n + 2}} – {{2.7}^{n – 1}}}}{{{4^n} + {7^{n + 1}}}}.$

    1. Chia cả tử và mẫu cho ${5^n}$ ta có: $A = \lim \frac{{4{{\left( {\frac{4}{5}} \right)}^n} – 5}}{{{{\left( {\frac{4}{5}} \right)}^n} + 1}} = – 5$ (do $\lim {\left( {\frac{4}{5}} \right)^n} = 0$).
    2. Ta có: $B = $ $\lim \frac{{36{{\left( {\frac{4}{7}} \right)}^n} – \frac{2}{7}}}{{{{\left( {\frac{4}{7}} \right)}^n} + 7}}$ $ = – \frac{2}{{49}}.$

    Ví dụ 10. Tìm giới hạn sau: $C = $ $\lim \left[ {\left( {1 – \frac{1}{{{2^2}}}} \right)\left( {1 – \frac{1}{{{3^2}}}} \right)…\left( {1 – \frac{1}{{{n^2}}}} \right)} \right].$

    Ta có: $1 – \frac{1}{{{k^2}}}$ $ = \frac{{(k – 1)(k + 1)}}{{{k^2}}}$ nên suy ra: $\left( {1 – \frac{1}{{{2^2}}}} \right)\left( {1 – \frac{1}{{{3^2}}}} \right)…\left( {1 – \frac{1}{{{n^2}}}} \right)$ $ = \frac{{1.3}}{{{2^2}}}.\frac{{2.4}}{{{3^2}}}…\frac{{(n – 1)(n + 1)}}{{{n^2}}}$ $ = \frac{{n + 1}}{{2n}}.$
    Do vậy $C = \lim \frac{{n + 1}}{{2n}} = \frac{1}{2}.$
     

    Bình Luận Bằng Facebook

Chia sẻ trang này