Hãy đăng ký thành viên để có thể dễ dàng hỏi bài, trao đổi, giao lưu và chia sẻ về kiến thức

Dạng toán 3. Bài toán liên quan đến biểu thức đối xứng hai nghiệm

Thảo luận trong 'Bài 01. Phương trình' bắt đầu bởi Tăng Giáp, 7/12/18.

  1. Tăng Giáp

    Tăng Giáp Administrator Thành viên BQT

    Tham gia ngày:
    16/11/14
    Bài viết:
    4,630
    Đã được thích:
    282
    Điểm thành tích:
    83
    Giới tính:
    Nam
    Dạng toán 3. Bài toán liên quan đến biểu thức đối xứng hai nghiệm ${{x}_{1}}$, ${{x}_{2}}$ của phương trình bậc hai.
    Ví dụ 4
    . Cho phương trình ${{x}^{2}}-2\left( m+1 \right)x+{{m}^{2}}+2=0$ với $m$là tham số. Tìm $m$ để phương trình có hai nghiệm ${{x}_{1}}$,${{x}_{2}}$ sao cho:
    a) $x_{1}^{3}+x_{2}^{3}=2{{x}_{1}}{{x}_{2}}\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right).$
    b) $\left| x_{1}^{4}-x_{2}^{4} \right|=16{{m}^{2}}+64m.$
    c) $A={{x}_{1}}{{x}_{2}}-2\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)-6$ đạt giá trị nhỏ nhất.
    d) $B=\sqrt{2\left( x_{1}^{2}+x_{2}^{2} \right)+16}-3{{x}_{1}}{{x}_{2}}$ đạt giá trị lớn nhất.

    Ta có phương trình có hai nghiệm ${{x}_{1}}$, ${{x}_{2}}$ khi và chỉ khi $\Delta’\ge 0$ $\Leftrightarrow {{\left( m+1 \right)}^{2}}-\left( {{m}^{2}}+2 \right)\ge 0$ $\Leftrightarrow m\ge \frac{1}{2}.$
    Theo định lí Vi-ét ta có: $\left\{ \begin{matrix}
    {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=2m+2 \\
    {{x}_{1}}.{{x}_{2}}={{m}^{2}}+2 \\
    \end{matrix} \right.$
    a) Ta có $x_{1}^{3}+x_{2}^{3}$ $={{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{3}}-3{{x}_{1}}{{x}_{2}}\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right).$
    Suy ra $x_{1}^{3}+x_{2}^{3}=2{{x}_{1}}{{x}_{2}}\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)$ $\Leftrightarrow {{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{3}}-3{{x}_{1}}{{x}_{2}}\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)$ $=2{{x}_{1}}{{x}_{2}}\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)$ $\Leftrightarrow \left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)\left[ {{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-5{{x}_{1}}{{x}_{2}} \right]=0.$
    Suy ra $\left( 2m+2 \right)\left[ {{\left( 2m+2 \right)}^{2}}-5\left( {{m}^{2}}+2 \right) \right]=0$ $\Leftrightarrow 2\left( m+1 \right)\left( -{{m}^{2}}+8m-6 \right)=0$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
    {m + 1 = 0}\\
    { – {m^2} + 8m – 6 = 0}
    \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
    {m = – 1}\\
    {m = 4 \pm \sqrt {10} }
    \end{array}} \right.$
    Đối chiếu với điều kiện $m \ge \frac{1}{2}$ ta thấy chỉ có $m=4\pm \sqrt{10}$ thỏa mãn.
    Vậy $m=4\pm \sqrt{10}$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.
    b) Ta có $\left| x_{1}^{4}-x_{2}^{4} \right|$ $=\left| \left( x_{1}^{2}+x_{2}^{2} \right)\left( x_{1}^{2}-x_{2}^{2} \right) \right|$ $=\left[ {{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-2{{x}_{1}}{{x}_{2}} \right]\left| {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right|\left| {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right|.$
    Mà: $\left| {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right|$ $=\sqrt{{{\left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right)}^{2}}}$ $=\sqrt{{{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-4{{x}_{1}}{{x}_{2}}}$ $=\sqrt{{{\left( 2m+2 \right)}^{2}}-4\left( {{m}^{2}}+2 \right)}$ $=\sqrt{8m-4}.$
    Suy ra: $\left| x_{1}^{4}-x_{2}^{4} \right|$ $=\left[ {{\left( 2m+2 \right)}^{2}}-2\left( {{m}^{2}}+2 \right) \right]$$\sqrt{8m-4}\left| 2m+2 \right|$ $=\left( 2{{m}^{2}}+8m \right)\sqrt{8m-4}\left| 2m+2 \right|.$
    Suy ra $\left| x_{1}^{4}-x_{2}^{4} \right|$ $=16{{m}^{2}}+64m$ $\Leftrightarrow \left( 2{{m}^{2}}+8m \right)\sqrt{8m-4}\left| 2m+2 \right|$ $=16{{m}^{2}}+64m$ $ \Leftrightarrow \left( {{m^2} + 4m} \right)\left( {\sqrt {8m – 4} \left| {2m + 2} \right| – 8} \right) = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
    {{m^2} + 4m = 0\: (1)}\\
    {\sqrt {8m – 4} \left| {2m + 2} \right| = 8\: (2)}
    \end{array}} \right.$
    Ta có:
    $\left( 1 \right)$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
    m=0 \\
    m=-4 \\
    \end{matrix} \right.$ (loại).
    $\left( 2 \right)$ $\Leftrightarrow \left( 8m-4 \right){{\left( 2m+2 \right)}^{2}}=64$ $\Leftrightarrow 32{{m}^{3}}+48{{m}^{2}}-80=0$ $\Leftrightarrow m=1$ (thỏa mãn điều kiện $m \ge \frac{1}{2}$).
    Vậy $m=1$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.
    c) Ta có $A={{x}_{1}}{{x}_{2}}-2\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)-6$ $={{m}^{2}}+2-2\left( 2m+2 \right)-6$ $={{m}^{2}}-4m-8.$
    $\Rightarrow A={{\left( m-2 \right)}^{2}}-12\ge -12.$
    Suy ra $\min A=-12$ $\Leftrightarrow m=2$ (thỏa mãn điều kiện $m \ge \frac{1}{2}$).
    Vậy với $m=2$ thì biểu thức $A$ đạt giá trị nhỏ nhất.
    d) Ta có: $B=\sqrt{2\left( x_{1}^{2}+x_{2}^{2} \right)+16}-3{{x}_{1}}{{x}_{2}}$ $=\sqrt{2{{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-4{{x}_{1}}{{x}_{2}}+16}-3{{x}_{1}}{{x}_{2}}$ $=\sqrt{2{{\left( 2m+2 \right)}^{2}}-4\left( {{m}^{2}}+2 \right)+16}-3\left( {{m}^{2}}+2 \right)$ $=\sqrt{4{{m}^{2}}+16m+16}-3\left( {{m}^{2}}+2 \right)$ $=2m+4-3\left( {{m}^{2}}+2 \right)$ $=-3{{m}^{2}}+2m-2.$
    Xét hàm số $y=-3{{m}^{2}}+2m-2$ với $m\ge \frac{1}{2}.$
    Bảng biến thiên:

    Bài toán liên quan đến biểu thức đối xứng hai nghiệm.png

    Suy ra giá trị $\underset{m\ge \frac{1}{2}}{\mathop{\max y}}=-\frac{7}{4}$ khi $m=\frac{1}{2}.$
    Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức $B$ là $-\frac{7}{4}$ khi $m=\frac{1}{2}.$

    Ví dụ 5. Cho phương trình ${{x}^{2}}-mx+m-1=0$ với $m$ là tham số.
    a) Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm với mọi $m.$
    b) Gọi ${{x}_{1}}$, ${{x}_{2}}$ là hai nghiệm của phương trình. Tìm hệ thức liên hệ giữa ${{x}_{1}}$, ${{x}_{2}}$ không phụ thuộc vào $m.$
    c) Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của biểu thức $A=\frac{2{{x}_{1}}{{x}_{2}}+3}{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+2({{x}_{1}}{{x}_{2}}+1)}.$

    a) Ta có $\Delta ={{m}^{2}}-4\left( m-1 \right)$ $={{\left( m-2 \right)}^{2}}~\ge 0$ nên phương trình có nghiệm với mọi giá trị của $m.$
    b) Theo hệ thức Vi-ét ta có: ${{x}_{1}}+{{x}_{2}}=m$ và ${{x}_{1}}{{x}_{2}}=m-1.$
    Suy ra hệ thức liên hệ giữa ${{x}_{1}}$, ${{x}_{2}}$ không phụ thuộc vào $m$ là ${{x}_{1}}{{x}_{2}}={{x}_{1}}+{{x}_{2}}-1.$
    c) Ta có $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}$ $={{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-2{{x}_{1}}{{x}_{2}}$ $={{m}^{2}}-2m+2.$
    Suy ra $A=\frac{2{{x}_{1}}{{x}_{2}}+3}{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+2({{x}_{1}}{{x}_{2}}+1)}$ $=\frac{2m+1}{{{m}^{2}}+2}.$
    Vì $A-1=\frac{2m+1}{{{m}^{2}}+2}-1$ $=\frac{2m+1-{{m}^{2}}-2}{{{m}^{2}}+2}$ $=-\frac{{{\left( m-1 \right)}^{2}}}{{{m}^{2}}+2}\le 0$, $\forall m$ $\Rightarrow A\le 1$, $\forall m.$
    Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $m=1.$
    Và $A+\frac{1}{2}$ $=\frac{2m+1}{{{m}^{2}}+2}+\frac{1}{2}$ $=\frac{2\left( 2m+1 \right)+{{m}^{2}}+2}{2\left( {{m}^{2}}+2 \right)}$ $=\frac{{{\left( m+2 \right)}^{2}}}{2\left( {{m}^{2}}+2 \right)}\ge 0$, $\forall m$ $\Rightarrow A\ge -\frac{1}{2}$, $\forall m.$
    Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $m=-2.$
    Vậy $\max A=1$ khi và chỉ khi $m=1$, $\min A=-\frac{1}{2}$ khi và chỉ khi $m=-2.$

    C. BÀI TẬP RÈN LUYỆN
    1. Đề bài
    Bài toán 1
    . Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
    a) $f(x)=2{{x}^{2}}-5x+3.$
    b) $g(x)=2{{x}^{4}}-14{{x}^{2}}-36.$
    c) $P(x;y)=3{{x}^{2}}-5xy-2{{y}^{2}}.$
    d) $Q(x;y)={{x}^{2}}-2{{y}^{2}}-xy-3y-1.$

    Bài toán 2. Phân tích đa thức $f\left( x \right)=2{{x}^{3}}+\left( m+1 \right){{x}^{2}}+2mx+{{m}^{2}}+m$ (biến $x$ và tham số $m$) thành tích một đa thức bậc hai và một đa thức bậc nhất.

    Bài toán 3. Gọi ${{x}_{1}}$, ${{x}_{2}}$ là hai nghiệm của phương trình: $-{{x}^{2}}+3x+1=0$. Tính giá trị của các biểu thức:
    $A=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}.$
    $B=x_{1}^{3}\left( {{x}_{1}}-1 \right)+x_{2}^{3}\left( {{x}_{2}}-1 \right).$
    $C=\left| \frac{1}{x_{1}^{2}}-\frac{1}{x_{2}^{2}} \right|.$

    Bài toán 4. Tìm $m$ để phương trình $3{{x}^{2}}+4\left( m-1 \right)x+{{m}^{2}}-4m+1=0$ có hai nghiệm phân biệt ${{x}_{1}}$, ${{x}_{2}}$ thỏa mãn: $\frac{1}{{{x}_{1}}}+\frac{1}{{{x}_{2}}}=\frac{1}{2}\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right).$

    Bài toán 5. Cho phương trình ${{x}^{2}}-2\left( m-1 \right)x+{{m}^{2}}-3=0$ với $m$ là tham số. Tìm $m$ để phương trình có hai nghiệm ${{x}_{1}}$; ${{x}_{2}}$ sao cho:
    a) ${{x}_{1}}+{{x}_{2}}=2{{x}_{1}}{{x}_{2}}.$
    b) $A=2\left( x_{1}^{2}+x_{2}^{2} \right)-{{x}_{1}}{{x}_{2}}$ đạt giá trị lớn nhất.
    c) $B=\frac{{{x}_{1}}{{x}_{2}}}{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-{{x}_{1}}{{x}_{2}}}$ đạt giá trị nhỏ nhất.

    2. Hướng dẫn giải và đáp số
    Bài toán 1
    .
    a) Phương trình $2{{x}^{2}}-5x+3=0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
    x=\frac{3}{2} \\
    x=1 \\
    \end{matrix} \right.$
    Suy ra $f(x)=\left( 2x-3 \right)\left( x-1 \right).$
    b) $g(x)=2\left( {{x}^{2}}+2 \right)\left( {{x}^{2}}-9 \right)$ $=2\left( {{x}^{2}}+2 \right)\left( x-3 \right)\left( x+3 \right).$
    c) $P(x;y)=\left( x-2y \right)\left( 3x+y \right).$
    d) $Q(x;y)=\left( x-2y-1 \right)\left( x+y+1 \right).$

    Bài toán 2. $f\left( x \right) = ({x^2} + m)(2x + m + 1).$

    Bài toán 3. Ta có $\Delta ={{3}^{2}}+4=13>0$ nên phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt ${{x}_{1}}$, ${{x}_{2}}.$
    Theo định lí Vi-ét ta có: ${{x}_{1}}+{{x}_{2}}=3$, ${{x}_{1}}{{x}_{2}}=-1.$
    Khi đó: $A=11$, $B=83$, $C=3\sqrt{13}.$

    Bài toán 4.
    Trước hết phương trình phải có hai nghiệm khác $0$ nên: $\left\{ \begin{align}
    & \Delta’={{m}^{2}}+4m+1>0 \\
    & \frac{c}{a}=\frac{{{m}^{2}}-4m+1}{3}\ne 0 \\
    \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}
    & {{m}^{2}}+4m+1>0 \\
    & {{m}^{2}}-4m+1\ne 0 \\
    \end{align} \right.$ $(*).$
    Khi đó theo định lí Vi-ét ta có: ${{x}_{1}}+{{x}_{2}}=\frac{4\left( 1-m \right)}{3}$, ${{x}_{1}}{{x}_{2}}=\frac{{{m}^{2}}-4m+1}{3}.$
    Ta có: $\frac{1}{{{x}_{1}}}+\frac{1}{{{x}_{2}}}=\frac{1}{2}\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)$ $\Leftrightarrow \left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)\left( {{x}_{1}}{{x}_{2}}-2 \right)=0$ (vì ${{x}_{1}}{{x}_{2}}\ne 0$) $\Leftrightarrow \left[ \begin{align}
    & {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=0 \\
    & {{x}_{1}}{{x}_{2}}-2=0 \\
    \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{align}
    & m=1 \\
    & {{m}^{2}}-4m-5=0 \\
    \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow m=1$, $m=-1$, $m=5.$
    Thay vào $(*)$ ta thấy $m=-1$ không thỏa mãn.
    Vậy $m=1$, $m=5$ là giá trị cần tìm.

    Bài toán 5. Ta có phương trình có hai nghiệm ${{x}_{1}}$, ${{x}_{2}}$ khi và chỉ khi $\Delta’\ge 0$ $\Leftrightarrow {{\left( m-1 \right)}^{2}}-\left( {{m}^{2}}-3 \right)\ge 0$ $\Leftrightarrow m\le 2.$
    Theo định lí Vi-ét ta có: $\left\{ \begin{matrix}
    {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=2m-2 \\
    {{x}_{1}}.{{x}_{2}}={{m}^{2}}-3 \\
    \end{matrix} \right.$
    a) ${{x}_{1}}+{{x}_{2}}=2{{x}_{1}}{{x}_{2}}$ $\Leftrightarrow 2m-2=2\left( {{m}^{2}}-3 \right)$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
    m=-1 \\
    m=2 \\
    \end{matrix} \right.$ (thỏa mãn điều kiện $m\le 2$).
    b) $A=2{{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-5{{x}_{1}}{{x}_{2}}$ $=2\left( 2m-2 \right)-5\left( {{m}^{2}}-3 \right)$ $=-5{{m}^{2}}+4m+11$ $=-5{{\left( m-\frac{2}{5} \right)}^{2}}+3\le 3.$
    Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $m=\frac{2}{5}.$
    c) $B=\frac{{{x}_{1}}{{x}_{2}}}{{{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-3{{x}_{1}}{{x}_{2}}}$ $=\frac{{{m}^{2}}-3}{{{\left( 2m-2 \right)}^{2}}-3\left( {{m}^{2}}-3 \right)}$ $=\frac{{{m}^{2}}-3}{{{m}^{2}}-8m+13}.$
    Suy ra $\min B=-\frac{1}{3}$ khi và chỉ khi $m=1.$
     
    Chỉnh sửa cuối: 7/12/18

Chia sẻ trang này