Dạng toán 3. Bài toán liên quan đến biểu thức đối xứng hai nghiệm ${{x}_{1}}$, ${{x}_{2}}$ của phương trình bậc hai. Ví dụ 4. Cho phương trình ${{x}^{2}}-2\left( m+1 \right)x+{{m}^{2}}+2=0$ với $m$là tham số. Tìm $m$ để phương trình có hai nghiệm ${{x}_{1}}$,${{x}_{2}}$ sao cho: a) $x_{1}^{3}+x_{2}^{3}=2{{x}_{1}}{{x}_{2}}\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right).$ b) $\left| x_{1}^{4}-x_{2}^{4} \right|=16{{m}^{2}}+64m.$ c) $A={{x}_{1}}{{x}_{2}}-2\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)-6$ đạt giá trị nhỏ nhất. d) $B=\sqrt{2\left( x_{1}^{2}+x_{2}^{2} \right)+16}-3{{x}_{1}}{{x}_{2}}$ đạt giá trị lớn nhất. Ta có phương trình có hai nghiệm ${{x}_{1}}$, ${{x}_{2}}$ khi và chỉ khi $\Delta’\ge 0$ $\Leftrightarrow {{\left( m+1 \right)}^{2}}-\left( {{m}^{2}}+2 \right)\ge 0$ $\Leftrightarrow m\ge \frac{1}{2}.$ Theo định lí Vi-ét ta có: $\left\{ \begin{matrix} {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=2m+2 \\ {{x}_{1}}.{{x}_{2}}={{m}^{2}}+2 \\ \end{matrix} \right.$ a) Ta có $x_{1}^{3}+x_{2}^{3}$ $={{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{3}}-3{{x}_{1}}{{x}_{2}}\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right).$ Suy ra $x_{1}^{3}+x_{2}^{3}=2{{x}_{1}}{{x}_{2}}\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)$ $\Leftrightarrow {{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{3}}-3{{x}_{1}}{{x}_{2}}\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)$ $=2{{x}_{1}}{{x}_{2}}\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)$ $\Leftrightarrow \left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)\left[ {{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-5{{x}_{1}}{{x}_{2}} \right]=0.$ Suy ra $\left( 2m+2 \right)\left[ {{\left( 2m+2 \right)}^{2}}-5\left( {{m}^{2}}+2 \right) \right]=0$ $\Leftrightarrow 2\left( m+1 \right)\left( -{{m}^{2}}+8m-6 \right)=0$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {m + 1 = 0}\\ { – {m^2} + 8m – 6 = 0} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {m = – 1}\\ {m = 4 \pm \sqrt {10} } \end{array}} \right.$ Đối chiếu với điều kiện $m \ge \frac{1}{2}$ ta thấy chỉ có $m=4\pm \sqrt{10}$ thỏa mãn. Vậy $m=4\pm \sqrt{10}$ thỏa mãn yêu cầu bài toán. b) Ta có $\left| x_{1}^{4}-x_{2}^{4} \right|$ $=\left| \left( x_{1}^{2}+x_{2}^{2} \right)\left( x_{1}^{2}-x_{2}^{2} \right) \right|$ $=\left[ {{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-2{{x}_{1}}{{x}_{2}} \right]\left| {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right|\left| {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right|.$ Mà: $\left| {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right|$ $=\sqrt{{{\left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right)}^{2}}}$ $=\sqrt{{{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-4{{x}_{1}}{{x}_{2}}}$ $=\sqrt{{{\left( 2m+2 \right)}^{2}}-4\left( {{m}^{2}}+2 \right)}$ $=\sqrt{8m-4}.$ Suy ra: $\left| x_{1}^{4}-x_{2}^{4} \right|$ $=\left[ {{\left( 2m+2 \right)}^{2}}-2\left( {{m}^{2}}+2 \right) \right]$$\sqrt{8m-4}\left| 2m+2 \right|$ $=\left( 2{{m}^{2}}+8m \right)\sqrt{8m-4}\left| 2m+2 \right|.$ Suy ra $\left| x_{1}^{4}-x_{2}^{4} \right|$ $=16{{m}^{2}}+64m$ $\Leftrightarrow \left( 2{{m}^{2}}+8m \right)\sqrt{8m-4}\left| 2m+2 \right|$ $=16{{m}^{2}}+64m$ $ \Leftrightarrow \left( {{m^2} + 4m} \right)\left( {\sqrt {8m – 4} \left| {2m + 2} \right| – 8} \right) = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{m^2} + 4m = 0\: (1)}\\ {\sqrt {8m – 4} \left| {2m + 2} \right| = 8\: (2)} \end{array}} \right.$ Ta có: $\left( 1 \right)$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} m=0 \\ m=-4 \\ \end{matrix} \right.$ (loại). $\left( 2 \right)$ $\Leftrightarrow \left( 8m-4 \right){{\left( 2m+2 \right)}^{2}}=64$ $\Leftrightarrow 32{{m}^{3}}+48{{m}^{2}}-80=0$ $\Leftrightarrow m=1$ (thỏa mãn điều kiện $m \ge \frac{1}{2}$). Vậy $m=1$ thỏa mãn yêu cầu bài toán. c) Ta có $A={{x}_{1}}{{x}_{2}}-2\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)-6$ $={{m}^{2}}+2-2\left( 2m+2 \right)-6$ $={{m}^{2}}-4m-8.$ $\Rightarrow A={{\left( m-2 \right)}^{2}}-12\ge -12.$ Suy ra $\min A=-12$ $\Leftrightarrow m=2$ (thỏa mãn điều kiện $m \ge \frac{1}{2}$). Vậy với $m=2$ thì biểu thức $A$ đạt giá trị nhỏ nhất. d) Ta có: $B=\sqrt{2\left( x_{1}^{2}+x_{2}^{2} \right)+16}-3{{x}_{1}}{{x}_{2}}$ $=\sqrt{2{{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-4{{x}_{1}}{{x}_{2}}+16}-3{{x}_{1}}{{x}_{2}}$ $=\sqrt{2{{\left( 2m+2 \right)}^{2}}-4\left( {{m}^{2}}+2 \right)+16}-3\left( {{m}^{2}}+2 \right)$ $=\sqrt{4{{m}^{2}}+16m+16}-3\left( {{m}^{2}}+2 \right)$ $=2m+4-3\left( {{m}^{2}}+2 \right)$ $=-3{{m}^{2}}+2m-2.$ Xét hàm số $y=-3{{m}^{2}}+2m-2$ với $m\ge \frac{1}{2}.$ Bảng biến thiên: Suy ra giá trị $\underset{m\ge \frac{1}{2}}{\mathop{\max y}}=-\frac{7}{4}$ khi $m=\frac{1}{2}.$ Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức $B$ là $-\frac{7}{4}$ khi $m=\frac{1}{2}.$ Ví dụ 5. Cho phương trình ${{x}^{2}}-mx+m-1=0$ với $m$ là tham số. a) Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm với mọi $m.$ b) Gọi ${{x}_{1}}$, ${{x}_{2}}$ là hai nghiệm của phương trình. Tìm hệ thức liên hệ giữa ${{x}_{1}}$, ${{x}_{2}}$ không phụ thuộc vào $m.$ c) Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của biểu thức $A=\frac{2{{x}_{1}}{{x}_{2}}+3}{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+2({{x}_{1}}{{x}_{2}}+1)}.$ a) Ta có $\Delta ={{m}^{2}}-4\left( m-1 \right)$ $={{\left( m-2 \right)}^{2}}~\ge 0$ nên phương trình có nghiệm với mọi giá trị của $m.$ b) Theo hệ thức Vi-ét ta có: ${{x}_{1}}+{{x}_{2}}=m$ và ${{x}_{1}}{{x}_{2}}=m-1.$ Suy ra hệ thức liên hệ giữa ${{x}_{1}}$, ${{x}_{2}}$ không phụ thuộc vào $m$ là ${{x}_{1}}{{x}_{2}}={{x}_{1}}+{{x}_{2}}-1.$ c) Ta có $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}$ $={{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-2{{x}_{1}}{{x}_{2}}$ $={{m}^{2}}-2m+2.$ Suy ra $A=\frac{2{{x}_{1}}{{x}_{2}}+3}{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+2({{x}_{1}}{{x}_{2}}+1)}$ $=\frac{2m+1}{{{m}^{2}}+2}.$ Vì $A-1=\frac{2m+1}{{{m}^{2}}+2}-1$ $=\frac{2m+1-{{m}^{2}}-2}{{{m}^{2}}+2}$ $=-\frac{{{\left( m-1 \right)}^{2}}}{{{m}^{2}}+2}\le 0$, $\forall m$ $\Rightarrow A\le 1$, $\forall m.$ Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $m=1.$ Và $A+\frac{1}{2}$ $=\frac{2m+1}{{{m}^{2}}+2}+\frac{1}{2}$ $=\frac{2\left( 2m+1 \right)+{{m}^{2}}+2}{2\left( {{m}^{2}}+2 \right)}$ $=\frac{{{\left( m+2 \right)}^{2}}}{2\left( {{m}^{2}}+2 \right)}\ge 0$, $\forall m$ $\Rightarrow A\ge -\frac{1}{2}$, $\forall m.$ Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $m=-2.$ Vậy $\max A=1$ khi và chỉ khi $m=1$, $\min A=-\frac{1}{2}$ khi và chỉ khi $m=-2.$ C. BÀI TẬP RÈN LUYỆN 1. Đề bài Bài toán 1. Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a) $f(x)=2{{x}^{2}}-5x+3.$ b) $g(x)=2{{x}^{4}}-14{{x}^{2}}-36.$ c) $P(x;y)=3{{x}^{2}}-5xy-2{{y}^{2}}.$ d) $Q(x;y)={{x}^{2}}-2{{y}^{2}}-xy-3y-1.$ Bài toán 2. Phân tích đa thức $f\left( x \right)=2{{x}^{3}}+\left( m+1 \right){{x}^{2}}+2mx+{{m}^{2}}+m$ (biến $x$ và tham số $m$) thành tích một đa thức bậc hai và một đa thức bậc nhất. Bài toán 3. Gọi ${{x}_{1}}$, ${{x}_{2}}$ là hai nghiệm của phương trình: $-{{x}^{2}}+3x+1=0$. Tính giá trị của các biểu thức: $A=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}.$ $B=x_{1}^{3}\left( {{x}_{1}}-1 \right)+x_{2}^{3}\left( {{x}_{2}}-1 \right).$ $C=\left| \frac{1}{x_{1}^{2}}-\frac{1}{x_{2}^{2}} \right|.$ Bài toán 4. Tìm $m$ để phương trình $3{{x}^{2}}+4\left( m-1 \right)x+{{m}^{2}}-4m+1=0$ có hai nghiệm phân biệt ${{x}_{1}}$, ${{x}_{2}}$ thỏa mãn: $\frac{1}{{{x}_{1}}}+\frac{1}{{{x}_{2}}}=\frac{1}{2}\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right).$ Bài toán 5. Cho phương trình ${{x}^{2}}-2\left( m-1 \right)x+{{m}^{2}}-3=0$ với $m$ là tham số. Tìm $m$ để phương trình có hai nghiệm ${{x}_{1}}$; ${{x}_{2}}$ sao cho: a) ${{x}_{1}}+{{x}_{2}}=2{{x}_{1}}{{x}_{2}}.$ b) $A=2\left( x_{1}^{2}+x_{2}^{2} \right)-{{x}_{1}}{{x}_{2}}$ đạt giá trị lớn nhất. c) $B=\frac{{{x}_{1}}{{x}_{2}}}{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-{{x}_{1}}{{x}_{2}}}$ đạt giá trị nhỏ nhất. 2. Hướng dẫn giải và đáp số Bài toán 1. a) Phương trình $2{{x}^{2}}-5x+3=0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} x=\frac{3}{2} \\ x=1 \\ \end{matrix} \right.$ Suy ra $f(x)=\left( 2x-3 \right)\left( x-1 \right).$ b) $g(x)=2\left( {{x}^{2}}+2 \right)\left( {{x}^{2}}-9 \right)$ $=2\left( {{x}^{2}}+2 \right)\left( x-3 \right)\left( x+3 \right).$ c) $P(x;y)=\left( x-2y \right)\left( 3x+y \right).$ d) $Q(x;y)=\left( x-2y-1 \right)\left( x+y+1 \right).$ Bài toán 2. $f\left( x \right) = ({x^2} + m)(2x + m + 1).$ Bài toán 3. Ta có $\Delta ={{3}^{2}}+4=13>0$ nên phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt ${{x}_{1}}$, ${{x}_{2}}.$ Theo định lí Vi-ét ta có: ${{x}_{1}}+{{x}_{2}}=3$, ${{x}_{1}}{{x}_{2}}=-1.$ Khi đó: $A=11$, $B=83$, $C=3\sqrt{13}.$ Bài toán 4. Trước hết phương trình phải có hai nghiệm khác $0$ nên: $\left\{ \begin{align} & \Delta’={{m}^{2}}+4m+1>0 \\ & \frac{c}{a}=\frac{{{m}^{2}}-4m+1}{3}\ne 0 \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & {{m}^{2}}+4m+1>0 \\ & {{m}^{2}}-4m+1\ne 0 \\ \end{align} \right.$ $(*).$ Khi đó theo định lí Vi-ét ta có: ${{x}_{1}}+{{x}_{2}}=\frac{4\left( 1-m \right)}{3}$, ${{x}_{1}}{{x}_{2}}=\frac{{{m}^{2}}-4m+1}{3}.$ Ta có: $\frac{1}{{{x}_{1}}}+\frac{1}{{{x}_{2}}}=\frac{1}{2}\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)$ $\Leftrightarrow \left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)\left( {{x}_{1}}{{x}_{2}}-2 \right)=0$ (vì ${{x}_{1}}{{x}_{2}}\ne 0$) $\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=0 \\ & {{x}_{1}}{{x}_{2}}-2=0 \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & m=1 \\ & {{m}^{2}}-4m-5=0 \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow m=1$, $m=-1$, $m=5.$ Thay vào $(*)$ ta thấy $m=-1$ không thỏa mãn. Vậy $m=1$, $m=5$ là giá trị cần tìm. Bài toán 5. Ta có phương trình có hai nghiệm ${{x}_{1}}$, ${{x}_{2}}$ khi và chỉ khi $\Delta’\ge 0$ $\Leftrightarrow {{\left( m-1 \right)}^{2}}-\left( {{m}^{2}}-3 \right)\ge 0$ $\Leftrightarrow m\le 2.$ Theo định lí Vi-ét ta có: $\left\{ \begin{matrix} {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=2m-2 \\ {{x}_{1}}.{{x}_{2}}={{m}^{2}}-3 \\ \end{matrix} \right.$ a) ${{x}_{1}}+{{x}_{2}}=2{{x}_{1}}{{x}_{2}}$ $\Leftrightarrow 2m-2=2\left( {{m}^{2}}-3 \right)$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} m=-1 \\ m=2 \\ \end{matrix} \right.$ (thỏa mãn điều kiện $m\le 2$). b) $A=2{{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-5{{x}_{1}}{{x}_{2}}$ $=2\left( 2m-2 \right)-5\left( {{m}^{2}}-3 \right)$ $=-5{{m}^{2}}+4m+11$ $=-5{{\left( m-\frac{2}{5} \right)}^{2}}+3\le 3.$ Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $m=\frac{2}{5}.$ c) $B=\frac{{{x}_{1}}{{x}_{2}}}{{{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-3{{x}_{1}}{{x}_{2}}}$ $=\frac{{{m}^{2}}-3}{{{\left( 2m-2 \right)}^{2}}-3\left( {{m}^{2}}-3 \right)}$ $=\frac{{{m}^{2}}-3}{{{m}^{2}}-8m+13}.$ Suy ra $\min B=-\frac{1}{3}$ khi và chỉ khi $m=1.$
