Dạng toán 3. Tìm điều kiện của tham số để bộ số lập thành một cấp số cộng.

Phương pháp:
+ Để ba số $a, b, c$ lập thành cấp số cộng, điều kiện là: $a + c = 2b$, bài toán được chuyển về việc giải phương trình.
+ Để bốn số $a, b, c, d$ lập thành cấp số cộng, điều kiện là: $\left\{ \begin{array}{l}
a + c = 2b\\
b + d = 2c
\end{array} \right.$, bài toán được chuyển về việc giải hệ phương trình.

Ví dụ 5. Tìm $x$ để ba số ${x^2} + 1$, $x – 2$, $1 – 3x$ lập thành một cấp số cộng.

Để ba số ${x^2} + 1$, $x – 2$, $1 – 3x$ lập thành một cấp số cộng, điều kiện là: ${\left( {{x^2} + 1} \right) + \left( {1 – 3x} \right)}$ ${ = 2\left( {x – 2} \right)}$ ${ \Leftrightarrow {x^2} – 5x + 6 = 0}$ $ \Leftrightarrow x = 2$ hoặc $x = 3.$
Vậy: với $x = 2$ hoặc $x = 3$ thì ba số ${x^2} + 1$, $x – 2$, $1 – 3x$ lập thành một cấp số cộng.

Bài toán: Tìm điều kiện của tham số sao cho phương trình bậc ba: $a{x^3} + b{x^2} + cx + d = 0$ $(*)$, với $a ≠ 0$ có $3$ nghiệm ${x_1},{\rm{ }}{x_2},{\rm{ }}{x_3}$ lập thành cấp số cộng.

Phương pháp giải:
Điều kiện cần: Giả sử phương trình $(*)$ có ba nghiệm phân biệt thành cấp số cộng, khi đó: ${x_1} + {x_3} = 2{x_2}.$
Theo định lý Viet đối với phương trình bậc ba, ta có: ${x_1} + {x_2} + {x_3} = – \frac{b}{a}$ $ \Leftrightarrow 3{x_2} = – \frac{b}{a}$ $ \Leftrightarrow {x_2} = – \frac{b}{{3a}}.$
Với ${x_2} = – \frac{b}{{3a}}$, thay vào phương trình $(*)$, ta được: $a{\left( { – \frac{b}{{3a}}} \right)^3} + b{\left( { – \frac{b}{{3a}}} \right)^2}$ $ + c\left( { – \frac{b}{{3a}}} \right) + d = 0$ $ \Leftrightarrow 2{b^3} – 9abc + 27{a^2}d = 0.$
Đó chính là điều kiện cần để phương trình $(*)$ có $3$ nghiệm lập thành cấp số cộng.
Điều kiện đủ: Từ $2{b^3} – 9abc + 27{a^2}d = 0$, suy ra phương trình $(*)$ có nghiệm ${x_2} = – \frac{b}{{3a}}$. Khi đó: ${x_1} + {x_2} + {x_3} = – \frac{b}{a}$ $ \Leftrightarrow {x_1} + {x_3} – \frac{b}{{3a}} = \frac{{ – b}}{a}$ $ \Leftrightarrow {x_1} + {x_{3}} = – \frac{{2b}}{{3a}}{\rm{ = }}2{x_2}$ $ \Leftrightarrow {x_1},{\rm{ }}{x_2},{\rm{ }}{x_3}$ lập thành cấp số cộng.
Vậy, điều kiện cần và đủ để phương trình bậc ba $a{x^3} + b{x^2} + cx + d = 0$, với $a ≠ 0$ có $3$ nghiệm lập thành cấp số cộng là: $2{b^3} – 9abc + 27{a^2}d = 0.$

Với bài toán chỉ có một tham số, trong điều kiện đủ ta có thể khẳng định bằng việc chỉ ra nghiệm cụ thể của phương trình, điều này rất quan trọng bởi ta còn phải khẳng định phương trình đã cho có $3$ nghiệm phân biệt.

Ví dụ 6. Xác định tham số $m$ để phương trình: ${x^3} – 3{x^2} – 9x + m = 0$ $(1)$ có ba nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng.

Điều kiện cần: Giả sử phương trình có ba nghiệm phân biệt thành cấp số cộng, khi đó: ${x_1} + {x_3} = 2{x_2}.$
Ta có: ${x_1} + {x_2} + {x_3} = 3$ $ \Leftrightarrow 3{x_2} = 3$ $ \Leftrightarrow {x_2} = {\rm{ }}1.$
Với ${x_2} = – 1$ thay vào $(1)$ ta được: $11 – m = 0$ $ \Leftrightarrow m = 11.$
Đó chính là điều kiện cần để $(1)$ có $3$ nghiệm lập thành cấp số cộng.
Điều kiện đủ: Với $m=11$, ta được: ${x^3} – 3{x^2} – 9x + 11 = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
{x_1} = 1 – \sqrt {12} \\
{x_2} = 1\\
{x_3} = 1 + \sqrt {12}
\end{array} \right.$, thoả mãn điều kiện ${x_1} + {x_3} = 2{x_2}.$
Vậy: với $m=11$, phương trình: ${x^3} – 3{x^2} – 9x + m = 0$ có ba nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng.

Bài toán trên có thể được giải bằng phương pháp hằng số bất định, như sau:
Phương trình $(1)$ có $3$ nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng khi và chỉ khi phương trình $(1)$ có ba nghiệm ${x_0} – d$, ${x_0}$, ${x_0} + d$ với $d ≠ 0.$
Khi đó: ${x^3} – 3{x^2} – 9x + m$ $ = {\rm{ }}[x – ({x_0} – d)]$$(x – {x_0})[x – \left( {{x_0} + d} \right)]$ $ = {x^3} – 3{x_0}{x^2}$ $ + (3x_0^2 – {d^2})x + {d^2}{x_0} – x_0^3 $ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
– 3 = – 3{x_0}\\
– 9 = 3x_0^2 – {d^2}\\
m = – x_0^3 + {d^2}{x_0}
\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x_0} = 1\\
d = \pm 2\sqrt 3 \\
m = 11
\end{array} \right.$
Vậy: với $m = 11$, phương trình $(1)$ có ba nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng.

Bài toán: Tìm điều kiện của tham số để phương trình trùng phương $a{x^4} + {\rm{ }}b{x^2} + c = 0$ $\left( {a \ne 0} \right)$ $(*)$ có bốn nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng.

Phương pháp giải:
Đặt $t = {x^2}$, điều kiện $t \ge 0.$
Khi đó, phương trình $(*)$ được biến đổi về dạng: $a{t^2} + bt + c = 0$ $(1).$
Phương trình $(*)$ có bốn nghiệm phân biệt $⇔(1)$ có hai nghiệm phân biệt dương $0 < {t_1} < {t_2}.$
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\Delta’ > 0\\
– \frac{b}{a} > 0\\
\frac{c}{a} > 0
\end{array} \right.$ $(2).$
Khi đó bốn nghiệm của $(*)$ là $ – \sqrt {{t_2}} $, $ – \sqrt {{t_1}} $, $\sqrt {{t_1}} $, $\sqrt {{t_2}} .$
Bốn nghiệm trên lập thành cấp số cộng khi:
$\left\{ \begin{array}{l}
– \sqrt {{t_2}} + \sqrt {{t_1}} = – 2\sqrt {{t_1}} \\
– \sqrt {{t_1}} + \sqrt {{t_2}} = 2\sqrt {{t_1}}
\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \sqrt {{t_2}} = 3\sqrt {{t_1}} $ $ \Leftrightarrow {t_2} = 9{t_1}$ $(3).$
Theo định lí Viet ta có: $\left\{ \begin{array}{l}
{t_1} + {t_2} = – \frac{b}{a}\\
{t_1}{t_2} = \frac{c}{a}
\end{array} \right.$ $(4).$
Thay $(3)$ vào $(4)$ được: $\left\{ \begin{array}{l}
{t_1} + 9{t_1} = \frac{{ – b}}{a}\\
{t_1}.(9{t_1}) = \frac{c}{a}
\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{t_1} = – \frac{b}{{10a}}\\
t_1^2 = \frac{c}{{9a}}
\end{array} \right.$ $ \Rightarrow {\left( { – \frac{b}{{10a}}} \right)^2} = \frac{c}{{9a}}$ $(5).$
Kết hợp $(5)$ và $(2)$ ta được điều kiện của tham số.

Ví dụ 7. Cho phương trình: ${x^4} – 2\left( {m + 1} \right){x^2} + 2m + 1 = 0$ $(*)$. Xác định $m$ để phương trình có $4$ nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng.

Đặt $t = {x^2}$, điều kiện $t \ge 0.$
Khi đó, phương trình $(*)$ được biến đổi về dạng: ${t^2} – 2\left( {m + 1} \right)t + 2m + 1 = 0$ $(1).$
Phương trình $(*)$ có bốn nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình $(1)$ có hai nghiệm phân biệt dương $0 < {t_1} < {t_2}.$
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\Delta’ > 0\\
\frac{{ – b}}{a} > 0\\
\frac{c}{a} > 0
\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{(m + 1)^2} – 2m – 1 > 0\\
2(m + 1) > 0\\
2m + 1 > 0
\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow – \frac{1}{2} < m \ne 0 .$
Khi đó bốn nghiệm của $(*)$ là: $ – \sqrt {{t_2}} $, $ – \sqrt {{t_1}} $, $\sqrt {{t_1}} $, $\sqrt {{t_2}} .$
Bốn nghiệm trên lập thành cấp số cộng khi: $\left\{ \begin{array}{l}
– \sqrt {{t_2}} + \sqrt {{t_1}} = – 2\sqrt {{t_1}} \\
– \sqrt {{t_1}} + \sqrt {{t_2}} = 2\sqrt {{t_1}}
\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \sqrt {{t_2}} = 3\sqrt {{t_1}} $ $ \Leftrightarrow {t_2} = 9{t_1}$ $(2).$
Theo định lí Viet ta có: $\left\{ \begin{array}{l}
{t_1} + {t_2} = 2(m + 1)\\
{t_1}{t_2} = 2m + 1
\end{array} \right.$ $(3).$
Thay $(2)$ vào $(3)$ được: $\left\{ \begin{array}{l}
{t_1} + 9{t_1} = 2(m + 1)\\
{t_1}.(9{t_1}) = 2m + 1
\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
5{t_1} = m + 1\\
9t_1^2 = 2m + 1
\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow 9{m^2} – 32m – 16 = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
m = 4\\
m = – \frac{4}{9}
\end{array} \right.$
Vậy: với $m = 4$ hoặc $m = – \frac{4}{9}$ thì phương trình $(*)$ có $4$ nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng.