Dạng toán 3. Tìm điều kiện của tham số để bộ số lập thành một cấp số nhân.

Phương pháp:
+ Để ba số $a, b, c$ lập thành cấp số nhân, điều kiện là: $ac = {b^2}$, bài toán được chuyển về việc giải phương trình.
+ Để bốn số $a, b, c, d$ lập thành cấp số nhân, điều kiện là: $\left\{ \begin{array}{l}
ac = {b^2}\\
bd = {c^2}
\end{array} \right.$, bài toán được chuyển về việc giải hệ phương trình.

Ví dụ 4. Tìm $x$ để ba số $x – 2$, $x – 4$, $x + 2$ lập thành một cấp số nhân.

Để ba số $x – 2$, $x – 4$, $x + 2$ lập thành một cấp số nhân, điều kiện là: ${(x – 4)^2} = (x – 2)\left( {x + 2} \right)$ $ \Leftrightarrow 8x = 20$ $ \Leftrightarrow x = \frac{5}{2}.$
Vậy: $x = \frac{5}{2}$ thoả mãn yêu cầu bài toán.

Bài toán: Tìm điều kiện của tham số sao cho phương trình bậc ba: $a{x^3} + b{x^2} + cx + d = 0$ $(*)$, (với $a \ne 0$) có $3$ nghiệm ${x_1},{\rm{ }}{x_2},{\rm{ }}{x_3}$ lập thành cấp số nhân.

Điều kiện cần: Giả sử phương trình có ba nghiệm phân biệt lập thành cấp số nhân, khi đó: ${x_1}{x_3} = x_2^2.$
Áp dụng định lý Viet đối với phương trình bậc ba, ta có:
${x_1} + {x_2} + {x_3} = – \frac{b}{a}.$
${x_1}{x_2} + {x_2}{x_3} + {x_3}{x_1} = \frac{c}{a}$ $ \Leftrightarrow {x_1}{x_2} + {x_2}{x_3} + x_2^2 = \frac{c}{a}$ $ \Leftrightarrow {x_2}\left( {{x_1} + {x_2} + {x_3}} \right) = \frac{c}{a}$ $ \Leftrightarrow {x_2} = – \frac{c}{b}.$
Với ${x_2} = – \frac{c}{b}$ thay vào $(*)$ ta được:
$a{\left( { – \frac{c}{b}} \right)^3} + b{\left( { – \frac{c}{b}} \right)^2}$ $ + c\left( { – \frac{c}{b}} \right) + d = 0$ $ \Leftrightarrow a{c^3} = {b^3}d.$
Đây chính là điều kiện cần để phương trình $(*)$ có $3$ nghiệm lập thành cấp số nhân.
Điều kiện đủ: Từ $a{c^3} = {b^3}d$ suy ra phương trình $(*)$ có nghiệm ${x_2} = – \frac{c}{b}.$ Khi đó:
${x_2}\left( {{x_1} + {x_2} + {x_3}} \right)$ $ = \left( { – \frac{c}{b}} \right)\left( { – \frac{b}{a}} \right)$ $ = \frac{c}{a}$ $ = {x_1}{x_2} + {x_2}{x_3} + {x_3}{x_1}$ $ \Leftrightarrow {x_1}{x_3} = x_2^2$ $ \Leftrightarrow {x_1},{\rm{ }}{x_2},{\rm{ }}{x_3}$ lập thành cấp số nhân.
Vậy, điều kiện cần và đủ để $(*)$ có $3$ nghiệm lập thành cấp số nhân là: $a{c^3} = {b^3}d.$

Với bài toán chỉ chứa một tham số, trong điều kiện đủ ta có thể khẳng định bằng việc chỉ ra nghiệm cụ thể của phương trình. Hãy nhớ điều này rất quan trọng bởi khi đó ta còn phải khẳng định phương trình đã cho có $3$ nghiệm phân biệt.

Ví dụ 5. Xác định $m$ để phương trình: ${x^3} + 2{x^2} + \left( {m + 1} \right)x$ $ + 2\left( {m + 1} \right) = 0$ $(1)$ có ba nghiệm phân biệt lập thành cấp số nhân.

Điều kiện cần: Giả sử phương trình $(1)$ có ba nghiệm phân biệt lập thành cấp số nhân, khi đó: ${x_1}{x_3} = x_2^2.$
Ta có:
${x_1} + {x_2} + {x_3} = – 2.$
${x_1}{x_2} + {x_2}{x_3} + {x_3}{x_1} = m + 1$ $ \Leftrightarrow {x_1}{x_2} + {x_2}{x_3} + x_2^2 = m + 1$ $ \Leftrightarrow {x_2}\left( {{x_1} + {x_2} + {x_3}} \right) = m + 1$ $ \Leftrightarrow {x_2} = – \frac{{m + 1}}{2}.$
Với ${x_2} = – \frac{{m + 1}}{2}$ thay vào $(1)$ ta được:
${\left( { – \frac{{m + 1}}{2}} \right)^3} + 2{\left( { – \frac{{m + 1}}{2}} \right)^2}$ $ + \left( {m + 1} \right)\left( { – \frac{{m + 1}}{2}} \right)$ $ + 2\left( {m + 1} \right) = 0$ $ \Leftrightarrow \left( {m + 1} \right)({m^2} + 2m – 15) = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
m = – 1\\
m = 3\\
m = – 4
\end{array} \right.$
Đó chính là điều kiện cần để $(1)$ có $3$ nghiệm lập thành cấp số nhân.
Điều kiện đủ:
+ Với $m = -1$, ta được: $(1)$ $ \Leftrightarrow {x^3} + 2{x^2} = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 0\\
x = – 2
\end{array} \right.$ không thoả mãn.
+ Với $m = 3$, ta được: $(1)$ $ \Leftrightarrow {x^3} + 2{x^2} + 4x + 8 = 0$ $ \Leftrightarrow x = – 2$ không thoả mãn.
+ Với $m = -5$, ta được: $(1)$ $ \Leftrightarrow {x^3} + 2{x^2} – 4x – 8 = 0$ $ \Leftrightarrow x = 0$ không thoả mãn.
Vậy: không tồn tại giá trị $m$ thoả mãn yêu câu bài toán.