Hãy đăng ký thành viên để có thể dễ dàng hỏi bài, trao đổi, giao lưu và chia sẻ về kiến thức
  1. Thủ thuật: Nếu muốn tìm lời giải một câu vật lý trên Google, bạn hãy gõ: tanggiap + câu hỏi.
    Dismiss Notice

Dạng toán 3: Tìm nguyên hàm của hàm số mũ và logarit bằng phương pháp đổi biến.

Thảo luận trong 'Bài 1. Nguyên hàm' bắt đầu bởi Tăng Giáp, 6/12/18.

  1. Tăng Giáp

    Tăng Giáp Administrator Thành viên BQT

    Tham gia ngày:
    16/11/14
    Bài viết:
    4,609
    Đã được thích:
    282
    Điểm thành tích:
    83
    Giới tính:
    Nam
    Phương pháp đổi biến được sử dụng cho các hàm số mũ và logarit với mục đích chủ đạo để chuyển biểu thức dưới dấu tích phân về các dạng hữu tỉ hoặc vô tỉ, tuy nhiên trong nhiều trường hợp cần tiếp thu những kinh nghiệm nhỏ đã được trình bày bằng các chú ý.

    Ví dụ 1: Tìm nguyên hàm của hàm số $f(x) = \frac{1}{{\sqrt {1 + {e^{2x}}} }}.$

    Ta có thể lựa chọn các cách trình bày sau:
    Cách 1: Ta có:
    $\frac{{dx}}{{\sqrt {1 + {e^{2x}}} }}$ $ = \frac{{dx}}{{{e^x}\sqrt {{e^{ – 2x}} + 1} }}$ $ = \frac{{{e^{ – x}}dx}}{{\sqrt {{e^{ – 2x}} + 1} }}$ $ = – \frac{{d\left( {{e^{ – x}}} \right)}}{{\sqrt {{e^{ – 2x}} + 1} }}.$
    Khi đó:
    $\int f (x)dx$ $ = – \int {\frac{{d\left( {{e^{ – x}}} \right)}}{{\sqrt {{e^{ – 2x}} + 1} }}} $ $ = – \ln \left( {{e^{ – x}} + \sqrt {{e^{ – 2x}} + 1} } \right) + C.$
    Cách 2: Đặt $t = \sqrt {1 + {e^{2x}}} $, suy ra:
    ${t^2} = 1 + {e^{2x}}$ $ \Rightarrow 2tdt = 2{e^{2x}}dx$ $ \Leftrightarrow dx = \frac{{tdt}}{{{t^2} – 1}}.$
    Khi đó:
    $\int {f(x)} dx$ $ = \int {\frac{{tdt}}{{t\left( {{t^2} – 1} \right)}}} $ $ = \int {\frac{{dt}}{{{t^2} – 1}}} $ $ = \frac{1}{2}\ln \left| {\frac{{t – 1}}{{t + 1}}} \right| + C$ $ = \frac{1}{2}\ln \left| {\frac{{\sqrt {1 + {e^{2x}}} – 1}}{{\sqrt {1 + {e^{2x}}} + 1}}} \right| + C.$
    Cách 3: Đặt $t = {e^x}$, suy ra $dt = {e^x}dx.$
    Khi đó:
    $\int {f(x)} dx$ $ = \int {\frac{{dt}}{{t\sqrt {1 + {t^2}} }}} $ $ = \int {\frac{{dt}}{{{t^2}\sqrt {\frac{1}{{{t^2}}} + 1} }}} $ $ = – \int {\frac{{d\left( {\frac{1}{t}} \right)}}{{\sqrt {\frac{1}{{{t^2}}} + 1} }}} $ $ = – \ln \left| {\frac{1}{t} + \sqrt {\frac{1}{{{t^2}}} + 1} } \right| + C$ $ = – \ln \left( {{e^{ – x}} + \sqrt {{e^{ – 2x}} + 1} } \right) + C.$
    Cách 4: Đặt $t = {e^{ – x}}$, suy ra:
    $dt = – {e^{ – x}}dx$ $ \Leftrightarrow – dt = \frac{{dx}}{{{e^x}}}.$
    Khi đó:
    $\int {f(x)} dx$ $ = \int {\frac{{dx}}{{\sqrt {1 + {e^{2x}}} }}} $ $ = \int {\frac{{dx}}{{\sqrt {{e^{2x}}\left( {{e^{ – 2x}} + 1} \right)} }}} $ $ = \int {\frac{{dx}}{{{e^x}\sqrt {{e^{ – 2x}} + 1} }}} $ $ = \int {\frac{{ – dt}}{{\sqrt {{t^2} + 1} }}} $ $ = – \int {\frac{{dt}}{{\sqrt {{t^2} + 1} }}} $ $ = – \ln \left| {t + \sqrt {{t^2} + 1} } \right| + C$ $ = – \ln \left| {{e^{ – x}} + \sqrt {{e^{ – 2x}} + 1} } \right| + C.$

    Ví dụ 2: Tìm nguyên hàm của hàm số: $f(x) = \frac{1}{{{e^x} – 4{e^{ – x}}}}.$

    Đặt ${e^x} = t$, suy ra ${e^x}dx = dt.$
    Khi đó: $\int f (x)dx$ $ = \int {\frac{{dx}}{{{e^x} – 4{e^{ – x}}}}} $ $ = \int {\frac{{{e^x}dx}}{{{e^{2x}} – 4}}} $ $ = \int {\frac{{dt}}{{{t^2} – 4}}} $ $ = \ln \left| {\frac{{t – 2}}{{t + 2}}} \right| + C$ $ = \ln \left| {\frac{{{e^x} – 2}}{{{e^x} + 2}}} \right| + C.$
     

    Bình Luận Bằng Facebook

Chia sẻ trang này