Dạng toán 3: Tìm nguyên hàm của hàm số mũ và logarit bằng phương pháp đổi biến.

Phương pháp đổi biến được sử dụng cho các hàm số mũ và logarit với mục đích chủ đạo để chuyển biểu thức dưới dấu tích phân về các dạng hữu tỉ hoặc vô tỉ, tuy nhiên trong nhiều trường hợp cần tiếp thu những kinh nghiệm nhỏ đã được trình bày bằng các chú ý.

Ví dụ 1: Tìm nguyên hàm của hàm số $f(x) = \frac{1}{{\sqrt {1 + {e^{2x}}} }}.$

Ta có thể lựa chọn các cách trình bày sau:
Cách 1: Ta có:
$\frac{{dx}}{{\sqrt {1 + {e^{2x}}} }}$ $ = \frac{{dx}}{{{e^x}\sqrt {{e^{ – 2x}} + 1} }}$ $ = \frac{{{e^{ – x}}dx}}{{\sqrt {{e^{ – 2x}} + 1} }}$ $ = – \frac{{d\left( {{e^{ – x}}} \right)}}{{\sqrt {{e^{ – 2x}} + 1} }}.$
Khi đó:
$\int f (x)dx$ $ = – \int {\frac{{d\left( {{e^{ – x}}} \right)}}{{\sqrt {{e^{ – 2x}} + 1} }}} $ $ = – \ln \left( {{e^{ – x}} + \sqrt {{e^{ – 2x}} + 1} } \right) + C.$
Cách 2: Đặt $t = \sqrt {1 + {e^{2x}}} $, suy ra:
${t^2} = 1 + {e^{2x}}$ $ \Rightarrow 2tdt = 2{e^{2x}}dx$ $ \Leftrightarrow dx = \frac{{tdt}}{{{t^2} – 1}}.$
Khi đó:
$\int {f(x)} dx$ $ = \int {\frac{{tdt}}{{t\left( {{t^2} – 1} \right)}}} $ $ = \int {\frac{{dt}}{{{t^2} – 1}}} $ $ = \frac{1}{2}\ln \left| {\frac{{t – 1}}{{t + 1}}} \right| + C$ $ = \frac{1}{2}\ln \left| {\frac{{\sqrt {1 + {e^{2x}}} – 1}}{{\sqrt {1 + {e^{2x}}} + 1}}} \right| + C.$
Cách 3: Đặt $t = {e^x}$, suy ra $dt = {e^x}dx.$
Khi đó:
$\int {f(x)} dx$ $ = \int {\frac{{dt}}{{t\sqrt {1 + {t^2}} }}} $ $ = \int {\frac{{dt}}{{{t^2}\sqrt {\frac{1}{{{t^2}}} + 1} }}} $ $ = – \int {\frac{{d\left( {\frac{1}{t}} \right)}}{{\sqrt {\frac{1}{{{t^2}}} + 1} }}} $ $ = – \ln \left| {\frac{1}{t} + \sqrt {\frac{1}{{{t^2}}} + 1} } \right| + C$ $ = – \ln \left( {{e^{ – x}} + \sqrt {{e^{ – 2x}} + 1} } \right) + C.$
Cách 4: Đặt $t = {e^{ – x}}$, suy ra:
$dt = – {e^{ – x}}dx$ $ \Leftrightarrow – dt = \frac{{dx}}{{{e^x}}}.$
Khi đó:
$\int {f(x)} dx$ $ = \int {\frac{{dx}}{{\sqrt {1 + {e^{2x}}} }}} $ $ = \int {\frac{{dx}}{{\sqrt {{e^{2x}}\left( {{e^{ – 2x}} + 1} \right)} }}} $ $ = \int {\frac{{dx}}{{{e^x}\sqrt {{e^{ – 2x}} + 1} }}} $ $ = \int {\frac{{ – dt}}{{\sqrt {{t^2} + 1} }}} $ $ = – \int {\frac{{dt}}{{\sqrt {{t^2} + 1} }}} $ $ = – \ln \left| {t + \sqrt {{t^2} + 1} } \right| + C$ $ = – \ln \left| {{e^{ – x}} + \sqrt {{e^{ – 2x}} + 1} } \right| + C.$

Ví dụ 2: Tìm nguyên hàm của hàm số: $f(x) = \frac{1}{{{e^x} – 4{e^{ – x}}}}.$

Đặt ${e^x} = t$, suy ra ${e^x}dx = dt.$
Khi đó: $\int f (x)dx$ $ = \int {\frac{{dx}}{{{e^x} – 4{e^{ – x}}}}} $ $ = \int {\frac{{{e^x}dx}}{{{e^{2x}} – 4}}} $ $ = \int {\frac{{dt}}{{{t^2} – 4}}} $ $ = \ln \left| {\frac{{t – 2}}{{t + 2}}} \right| + C$ $ = \ln \left| {\frac{{{e^x} – 2}}{{{e^x} + 2}}} \right| + C.$