Dạng toán 3: Viết phương trình mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ đi qua một điểm

Dạng toán 3: Viết phương trình mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ đi qua một điểm và một số yếu tố khác.

• Dạng 1: Viết phương trình mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ đi qua điểm $M$ và vuông góc với đường thẳng $d.$

Phương pháp: Vector chỉ phương của đường thẳng $d$ (ký hiệu $\overrightarrow {{a_d}} $) cũng là vector pháp tuyến của mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ (ký hiệu $\overrightarrow {{n_\alpha }} $).

Ví dụ 3: Viết phương trình mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ trong các trường hợp sau:
a. $\left( \alpha \right)$ đi qua điểm $M\left( {1;2;3} \right)$ và vuông góc với $d$: $\left\{ \begin{array}{l}
x = 2t\\
y = – 3 + t\\
z = 2 – t
\end{array} \right.$ ($t$ là tham số).
b. $\left( \alpha \right)$ đi qua điểm $N\left( {2; – 1;3} \right)$ và vuông góc với $d$: $\frac{{x + 1}}{{ – 2}} = \frac{{y + 2}}{3} = \frac{z}{1}.$
c. $\left( \alpha \right)$ đi qua điểm $P\left( {0;1;2} \right)$ và vuông góc với trục $Ox.$

a. Vì $\left( \alpha \right) ⊥ d$ $ \Rightarrow \overrightarrow {{n_\alpha }} = \overrightarrow {{a_d}} = \left( {2;1; – 1} \right)$ là vector pháp tuyến của mặt phẳng $\left( \alpha \right).$
$M\left( {1;2;3} \right) \in \left( \alpha \right).$
Suy ra phương trình mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ là: $2\left( {x – 1} \right) + 1\left( {y – 2} \right)$ $ – 1\left( {z – 3} \right) = 0$ $ \Leftrightarrow 2x + y – z – 1 = 0.$
b. Vì $\left( \alpha \right) ⊥ d$ $ \Rightarrow \overrightarrow {{n_\alpha }} = \overrightarrow {{a_d}} = \left( { – 2;3;1} \right)$ là vector pháp tuyến của mặt phẳng $\left( \alpha \right).$
$N\left( {2; – 1;3} \right) \in \left( \alpha \right).$
Suy ra phương trình mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ là: $ – 2\left( {x – 2} \right) + 3\left( {y + 1} \right)$ $ + 1\left( {z – 3} \right) = 0$ $ \Leftrightarrow – 2x + 3y + z + 4 = 0.$
c. Do $\left( \alpha \right) ⊥ Ox$ $ \Rightarrow \overrightarrow {{n_\alpha }} = \left( {1;0;0} \right)$ là vector pháp tuyến của mặt phẳng $\left( \alpha \right).$
$P\left( {0;1;2} \right) \in \left( \alpha \right).$
Suy ra phương trình mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ là: $1\left( {x – 0} \right) + 0\left( {y – 1} \right)$ $ + 0\left( {z – 2} \right) = 0$ $ \Leftrightarrow x = 0.$

• Dạng 2: Viết phương trình mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ đi qua điểm $M$ và song song với mặt phẳng $(P).$

Phương pháp: Vector pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$ cũng là vector pháp tuyến của mặt phẳng $\left( \alpha \right)$.

Ví dụ 4: Viết phương trình mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ đi qua $M\left( {2; – 1;3} \right)$ và song song với mặt phẳng $\left( P \right):{\rm{ }}x + 2y – 3z + 1 = 0.$

Vì $\left( \alpha \right){\rm{//}}\left( P \right)$ $ \Rightarrow \overrightarrow {{n_\alpha }} = \overrightarrow {{n_P}} = \left( {1;2; – 3} \right)$ là vector pháp tuyến của mặt phẳng $\left( \alpha \right).$
$M\left( {2; – 1;3} \right) \in \left( \alpha \right).$
Suy ra phương trình mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ là: $1\left( {x – 2} \right) + 2\left( {y + 1} \right)$ $ – 3\left( {z – 3} \right) = 0$ $ \Leftrightarrow x + 2y – 3z + 9 = 0.$

• Dạng 3: Viết phương trình mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ đi qua điểm $M$ song song với đường thẳng $d$ và vuông góc với mặt phẳng $(P).$

Phương pháp: Vector pháp tuyến của mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ là: $\overrightarrow {{n_\alpha }} = \left[ {\overrightarrow {{a_d}} .\overrightarrow {{n_P}} } \right]$, trong đó: $\overrightarrow {{a_d}} $ là vector chỉ phương của đường thẳng $d$, $\overrightarrow {{n_P}} $ là vector pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$.

Ví dụ 5: Viết phương trình mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ đi qua điểm $M\left( {2;3; – 1} \right)$, song song với đường thẳng $d$: $\left\{ \begin{array}{l}
x = 1 – 3t\\
y = 2t\\
z = 3 – t
\end{array} \right.$ ($t$ là tham số) và vuông góc với mặt phẳng $(P)$: $x + y – z + 1 = 0.$

Ta có: $\overrightarrow {{a_d}} = \left( { – 3;2; – 1} \right)$, $\overrightarrow {{n_P}} = \left( {1;1; – 1} \right).$
Vì $\left\{ \begin{array}{l}
\left( \alpha \right){\rm{//}}d\\
\left( \alpha \right) \bot \left( P \right)
\end{array} \right.$ $ \Rightarrow \overrightarrow {{n_\alpha }} = \left[ {\overrightarrow {{a_d}} .\overrightarrow {{n_P}} } \right]$ $ = \left( { – 1; – 4; – 5} \right)$
$M\left( {2;3; – 1} \right) \in \left( \alpha \right).$
Suy ra phương trình mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ là: $ – 1\left( {x – 2} \right) – 4\left( {y – 3} \right)$ $ – 5\left( {z + 1} \right) = 0$ $ \Leftrightarrow x + 4y + 5z – 9 = 0.$

• Dạng 4: Viết phương trình mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ đi qua điểm $M$ và vuông góc với hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q).$

Phương pháp: Vector pháp tuyến của mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ là: $\overrightarrow {{n_\alpha }} = \left[ {\overrightarrow {{n_p}} .\overrightarrow {{n_Q}} } \right]$, trong đó $\overrightarrow {{n_P}} $, $\overrightarrow {{n_Q}} $ lần lượt là vetor pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$, $(Q)$.

Ví dụ 6: Viết phương trình mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ đi qua điểm $M\left( {3; – 1; – 5} \right)$ đồng thời vuông góc với hai mặt phẳng $\left( P \right):3x – 2y + 2{\rm{ }}z + 7 = 0$, $\left( Q \right):5x – 4y + 3z + 1 = 0.$

Ta có: $\overrightarrow {{n_P}} = \left( {3; – 2;2} \right)$, $\overrightarrow {{n_Q}} = \left( {5; – 4;3} \right).$
Vì $\left\{ \begin{array}{l}
\left( \alpha \right) \bot \left( P \right)\\
\left( \alpha \right) \bot \left( Q \right)
\end{array} \right.$ $ \Rightarrow \overrightarrow {{n_\alpha }} = \left[ {\overrightarrow {{n_p}} .\overrightarrow {{n_Q}} } \right]$ $ = \left( {2;1; – 2} \right)$ là vector pháp tuyến của mặt phẳng $(α).$
$M\left( {3; – 1; – 5} \right) \in \left( \alpha \right).$
Suy ra phương trình mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ là: $2\left( {x – 3} \right) + 1\left( {y + 1} \right)$ $ – 2\left( {z + 5} \right) = 0$ $ \Leftrightarrow 2x + y – 2z – 15 = 0.$

• Dạng 5: Viết phương trình mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ đi qua điểm $M$ và song song với $d$ và $d’$.

Phương pháp: Vector pháp tuyến của mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ là: $\overrightarrow {{n_\alpha }} = \left[ {\overrightarrow {{a_d}} .\overrightarrow {{a_{d’}}} } \right]$, trong đó $\overrightarrow {{a_d}} ,\overrightarrow {{a_{d’}}} $ lần lượt là vector chỉ phương của $d$, $d’$.

Ví dụ 7: Trong không gian hệ toạ độ $Oxyz$ cho hai đường thẳng $d$: $\left\{ \begin{array}{l}
x = 1 + 2t\\
y = – 3t\\
z = 4 + t
\end{array} \right.$ ($t$ là tham số) và $d’$: $\frac{{x – 2}}{1} = \frac{{y + 1}}{2} = \frac{{z – 3}}{{ – 1}}.$ Viết phương trình mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ đi qua $M\left( {1;2;3} \right)$ đồng thời song song với $d$ và $d’.$

Ta có: $\overrightarrow {{a_d}} = \left( {2; – 3;1} \right)$, $\overrightarrow {{a_{d’}}} = \left( {1;2; – 1} \right).$
Vì $\left\{ \begin{array}{l}
\left( \alpha \right){\rm{//}}d\\
\left( \alpha \right){\rm{//}}d’
\end{array} \right.$ $ \Rightarrow \overrightarrow {{n_\alpha }} = \left[ {\overrightarrow {{a_d}} .\overrightarrow {{a_{d’}}} } \right]$ $ = \left( {1;3;7} \right)$ là vector pháp tuyến của mặt phẳng $(α).$
$M\left( {1;2;3} \right) \in \left( \alpha \right).$
Suy ra phương trình mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ là: $1\left( {x – 1} \right) + 3\left( {y – 2} \right)$ $ + 7\left( {z – 3} \right) = 0$ $ \Leftrightarrow x + 3y + 7z – 28 = 0.$

• Dạng 6: Viết phương trình mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ đi qua điểm $M$ và chứa $d$ $\left( {M \notin d} \right).$

Phương pháp:
+ Lấy $N \in d.$
+ Vector pháp tuyến của mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ là: $\overrightarrow {{n_\alpha }} = \left[ {\overrightarrow {{a_d}} .\overrightarrow {MN} } \right]$, với $\overrightarrow {{a_d}}$ là vector chỉ phương của đường thẳng $d.$

Ví dụ 8: Viết phương trình mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ đi qua điểm $M(1;2;3)$ và chứa đường thẳng $d$: $\frac{{x – 2}}{1} = \frac{{y + 1}}{2} = \frac{{z – 3}}{{ – 1}}.$

Chọn $N\left( {2; – 1;3} \right) \in d.$
Ta có: $\overrightarrow {MN} = \left( {1;3;0} \right)$, $\overrightarrow {{a_d}} = \left( {1;2; – 1} \right).$
Vì $\left\{ \begin{array}{l}
M \in \left( \alpha \right)\\
d \subset \left( \alpha \right)
\end{array} \right.$ nên vector pháp tuyến của mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ là: $\overrightarrow {{n_\alpha }} = \left[ {\overrightarrow {{a_d}} .\overrightarrow {MN} } \right]$ $ = \left( { – 3;1; – 1} \right).$
Phương trình mặt phẳng $\left( \alpha \right)$: $ – 3\left( {x – 1} \right) + 1\left( {y – 2} \right)$ $ – 1\left( {z – 3} \right) = 0$ $ \Leftrightarrow – 3x + y – z + 4 = 0.$