Dạng toán 4. Tìm các phần tử của một cấp số cộng $\left( {{u_n}} \right).$

Phương pháp: Thông thường bài toán được chuyển về xác định ${u_1}$ và công sai $d.$

Ví dụ 8. Cho cấp số cộng $\left( {{u_n}} \right)$ thoả mãn ${u_2} – {u_3} + {\rm{ }}{u_5} = 10$ và ${u_1} + {u_6} = 17.$
a. Tìm số hạng đầu tiên và công sai của cấp số cộng.
b. Tính tổng số của $20$ số hạng đầu tiên của cấp số cộng.
c. Tính tổng $S’ = {u_5} + {u_6} + \ldots + {u_{24}}.$

a. Gọi $d$ là công sai của cấp số cộng $\left( {{u_n}} \right)$, ta có:
$\left\{ \begin{array}{l}
{u_2} – {u_3} + {u_5} = 10\\
{u_1} + {u_6} = 17
\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
({u_1} + d) – ({u_1} + 2d) + ({u_1} + 4d) = 10\\
{u_1} + ({u_1} + 5d) = 17
\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{u_1} + 3d = 10\\
2{u_1} + 5d = 17
\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{u_1} = 1\\
d = 3
\end{array} \right.$
Vậy: cấp số cộng $\left( {{u_n}} \right)$ có ${u_1} = 1$ và $d = 3.$
b. Ta có: ${S_{20}} = \frac{{20}}{2}\left[ {2{u_1} + \left( {20 – 1} \right)d} \right]$ $ = \frac{{20}}{2}\left[ {2.1 + \left( {20 – 1} \right).3} \right]$ $ = 590.$
c. Ta có: $S’ = \frac{{20}}{2}\left[ {2{u_5} + \left( {20 – 1} \right)d} \right]$ $ = \frac{{20}}{2}\left[ {2\left( {1 + 4.3} \right) + \left( {20 – 1} \right).3} \right]$ $ = 830.$

Ví dụ 9. Tìm số hạng đầu ${u_1}$ và công sai $d$ của các cấp số cộng $\left( {{u_n}} \right)$, biết $\left\{ \begin{array}{l}
{u_7} + {u_{15}} = 60\\
u_4^2 + u_{12}^2 = 1170
\end{array} \right.$

Ta biến đổi:
$\left\{ \begin{array}{l}
({u_1} + 6d) + ({u_1} + 14d) = 60\\
{({u_1} + 3d)^2} + {({u_1} + 11d)^2} = 1170
\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{u_1} + 10d = 30\\
u_1^2 + 14d{u_1} + 65{d^2} = 585
\end{array} \right.$
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{u_1} = 30 – 10d\\
{(30 – 10d)^2} + 14d30 – 10d + 65{d^2} = 585
\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{u_1} = 30 – 10d\\
5{d^2} – 36d + 63 = 0
\end{array} \right.$
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{u_1} = 30 – 10d\\
\left[ \begin{array}{l}
d = 3\\
d = \frac{{21}}{5}
\end{array} \right.
\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
d = 3\\
{u_1} = 0
\end{array} \right.\,\\
\left\{ \begin{array}{l}
d = \frac{{21}}{5}\\
{u_1} = – 12
\end{array} \right.
\end{array} \right.$
Vậy: tồn tại hai cấp số cộng $\left( {{u_n}} \right)$ có ${u_1} = 0$ và $d = 3$ hoặc ${u_1} = – 12$ và $d = \frac{{21}}{5}$ thoả mãn yêu cầu bài toán.

Ví dụ 10. Tìm bốn số hạng liên tiếp của một cấp số cộng, biết tổng của chúng bằng $16$ và tổng bình phương của chúng bằng $84.$

Gọi $d = 2x$ là công sai của cấp số cộng, ta có bốn số cần tìm là $a – 3x$, $a – x$, $a + x$, $a + 3x.$
Khi đó, từ giả thiết ta có: $(a – 3x) + (a – x)$ $ + (a + x) + (a + 3x) = 16$ và ${(a – 3x)^2} + {(a – x)^2}$ $ + {(a + x)^2} + {(a + 3x)^2} = 84.$
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
4a = 16\\
4{a^2} + 20{x^2} = 84
\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = 4\\
x = \pm 1
\end{array} \right.$
Vậy, bốn số cần tìm là $1, 3, 5, 7.$

Chú ý: Cách đặt $d = 2x$ giúp ta có thể biểu diễn bốn số cần tìm dưới dạng đối xứng $a – 3x$, $a – x$, $a + x$, $a + 3x$, giúp cho việc giải hệ bậc hai đơn giản hơn.

Kinh nghiệm giải toán:
+ Với ba số hạng liên tiếp của một cấp số cộng, ta đặt: $a – x$, $a$, $a + x$, trong đó $x$ là công sai.
+ Với bốn số hạng liên tiếp của một cấp số cộng, ta đặt: $a – 3x$, $a – x$, $a + x$, $a + 3x$, trong đó $2x$ là công sai.
+ Với năm số hạng liên tiếp của một cấp số cộng, ta đặt: $a – 2x$, $a – x$, $a$, $a + x$, $a + 2x$, trong đó $x$ là công sai.