Hãy đăng ký thành viên để có thể dễ dàng hỏi bài, trao đổi, giao lưu và chia sẻ về kiến thức
  1. Thủ thuật: Nếu muốn tìm lời giải một câu vật lý trên Google, bạn hãy gõ: tanggiap + câu hỏi.
    Dismiss Notice

Dạng toán 4. Tìm các phần tử của một cấp số cộng $\left( {{u_n}} \right).$

Thảo luận trong 'Chủ đề 3: Cấp số cộng và cấp số nhân' bắt đầu bởi moon, 5/12/18.

  1. moon

    moon Thành viên cấp 2 Thành viên BQT

    Tham gia ngày:
    2/10/14
    Bài viết:
    160
    Đã được thích:
    46
    Điểm thành tích:
    28
    Phương pháp: Thông thường bài toán được chuyển về xác định ${u_1}$ và công sai $d.$

    Ví dụ 8. Cho cấp số cộng $\left( {{u_n}} \right)$ thoả mãn ${u_2} – {u_3} + {\rm{ }}{u_5} = 10$ và ${u_1} + {u_6} = 17.$
    a. Tìm số hạng đầu tiên và công sai của cấp số cộng.
    b. Tính tổng số của $20$ số hạng đầu tiên của cấp số cộng.
    c. Tính tổng $S’ = {u_5} + {u_6} + \ldots + {u_{24}}.$

    a. Gọi $d$ là công sai của cấp số cộng $\left( {{u_n}} \right)$, ta có:
    $\left\{ \begin{array}{l}
    {u_2} – {u_3} + {u_5} = 10\\
    {u_1} + {u_6} = 17
    \end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
    ({u_1} + d) – ({u_1} + 2d) + ({u_1} + 4d) = 10\\
    {u_1} + ({u_1} + 5d) = 17
    \end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
    {u_1} + 3d = 10\\
    2{u_1} + 5d = 17
    \end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
    {u_1} = 1\\
    d = 3
    \end{array} \right.$
    Vậy: cấp số cộng $\left( {{u_n}} \right)$ có ${u_1} = 1$ và $d = 3.$
    b. Ta có: ${S_{20}} = \frac{{20}}{2}\left[ {2{u_1} + \left( {20 – 1} \right)d} \right]$ $ = \frac{{20}}{2}\left[ {2.1 + \left( {20 – 1} \right).3} \right]$ $ = 590.$
    c. Ta có: $S’ = \frac{{20}}{2}\left[ {2{u_5} + \left( {20 – 1} \right)d} \right]$ $ = \frac{{20}}{2}\left[ {2\left( {1 + 4.3} \right) + \left( {20 – 1} \right).3} \right]$ $ = 830.$

    Ví dụ 9. Tìm số hạng đầu ${u_1}$ và công sai $d$ của các cấp số cộng $\left( {{u_n}} \right)$, biết $\left\{ \begin{array}{l}
    {u_7} + {u_{15}} = 60\\
    u_4^2 + u_{12}^2 = 1170
    \end{array} \right.$

    Ta biến đổi:
    $\left\{ \begin{array}{l}
    ({u_1} + 6d) + ({u_1} + 14d) = 60\\
    {({u_1} + 3d)^2} + {({u_1} + 11d)^2} = 1170
    \end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
    {u_1} + 10d = 30\\
    u_1^2 + 14d{u_1} + 65{d^2} = 585
    \end{array} \right.$
    $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
    {u_1} = 30 – 10d\\
    {(30 – 10d)^2} + 14d30 – 10d + 65{d^2} = 585
    \end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
    {u_1} = 30 – 10d\\
    5{d^2} – 36d + 63 = 0
    \end{array} \right.$
    $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
    {u_1} = 30 – 10d\\
    \left[ \begin{array}{l}
    d = 3\\
    d = \frac{{21}}{5}
    \end{array} \right.
    \end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
    \left\{ \begin{array}{l}
    d = 3\\
    {u_1} = 0
    \end{array} \right.\,\\
    \left\{ \begin{array}{l}
    d = \frac{{21}}{5}\\
    {u_1} = – 12
    \end{array} \right.
    \end{array} \right.$
    Vậy: tồn tại hai cấp số cộng $\left( {{u_n}} \right)$ có ${u_1} = 0$ và $d = 3$ hoặc ${u_1} = – 12$ và $d = \frac{{21}}{5}$ thoả mãn yêu cầu bài toán.

    Ví dụ 10. Tìm bốn số hạng liên tiếp của một cấp số cộng, biết tổng của chúng bằng $16$ và tổng bình phương của chúng bằng $84.$

    Gọi $d = 2x$ là công sai của cấp số cộng, ta có bốn số cần tìm là $a – 3x$, $a – x$, $a + x$, $a + 3x.$
    Khi đó, từ giả thiết ta có: $(a – 3x) + (a – x)$ $ + (a + x) + (a + 3x) = 16$ và ${(a – 3x)^2} + {(a – x)^2}$ $ + {(a + x)^2} + {(a + 3x)^2} = 84.$
    $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
    4a = 16\\
    4{a^2} + 20{x^2} = 84
    \end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
    a = 4\\
    x = \pm 1
    \end{array} \right.$
    Vậy, bốn số cần tìm là $1, 3, 5, 7.$

    Chú ý: Cách đặt $d = 2x$ giúp ta có thể biểu diễn bốn số cần tìm dưới dạng đối xứng $a – 3x$, $a – x$, $a + x$, $a + 3x$, giúp cho việc giải hệ bậc hai đơn giản hơn.

    Kinh nghiệm giải toán:
    + Với ba số hạng liên tiếp của một cấp số cộng, ta đặt: $a – x$, $a$, $a + x$, trong đó $x$ là công sai.
    + Với bốn số hạng liên tiếp của một cấp số cộng, ta đặt: $a – 3x$, $a – x$, $a + x$, $a + 3x$, trong đó $2x$ là công sai.
    + Với năm số hạng liên tiếp của một cấp số cộng, ta đặt: $a – 2x$, $a – x$, $a$, $a + x$, $a + 2x$, trong đó $x$ là công sai.
     

    Bình Luận Bằng Facebook

Chia sẻ trang này