Hãy đăng ký thành viên để có thể dễ dàng hỏi bài, trao đổi, giao lưu và chia sẻ về kiến thức

Dạng toán 4. Tìm các phần tử của một cấp số nhân $\left( {{u_n}} \right).$

Thảo luận trong 'Chủ đề 3: Cấp số cộng và cấp số nhân' bắt đầu bởi moon, 5/12/18.

  1. moon

    moon Thành viên cấp 2 Thành viên BQT

    Tham gia ngày:
    2/10/14
    Bài viết:
    160
    Đã được thích:
    46
    Điểm thành tích:
    28
    Phương pháp: Thông thường bài toán được chuyển về xác định ${u_1}$ và công bội $q.$

    Ví dụ 6. Tìm số hạng đầu ${u_1}$ và công bội $q$ của các cấp số nhân $\left( {{u_n}} \right)$ biết: $\left\{ \begin{array}{l}
    {u_4} – {u_2} = 72\\
    {u_5} – {u_3} = 144
    \end{array} \right.$

    Ta biến đổi: $\left\{ \begin{array}{l}
    {u_1}{q^3} – {u_1}q = 72\\
    {u_1}{q^4} – {u_1}{q^2} = 144
    \end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
    {u_1}q({q^2} – 1) = 72\\
    {u_1}{q^2}({q^2} – 1) = 144
    \end{array} \right.$ $ \Rightarrow q = \frac{{144}}{{72}} = 2$ $ \Rightarrow {u_1} = 12.$
    Vậy: cấp số nhân $\left( {{u_n}} \right)$ có ${u_1} = 12$ và $q = 2.$

    Ví dụ 7. Cho cấp số nhân $\left( {{u_n}} \right)$ thoả mãn ${u_4} – {u_2} = 72$ và ${u_5} – {u_3} = 144.$
    a. Tìm số hạng đầu tiên và công bội của cấp số nhân $\left( {{u_n}} \right).$
    b. Tính tổng số của $10$ số hạng đầu tiên của cấp số nhân $\left( {{u_n}} \right).$
    c. Tính tổng $S’ = {u_3} + {u_6} + \ldots + {u_{12}}.$

    a. Gọi $q$ là công bội của cấp số nhân $\left( {{u_n}} \right)$, ta có:
    $\left\{ \begin{array}{l}
    {u_4} – {u_2} = 72\\
    {u_5} – {u_3} = 144
    \end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
    {u_1}{q^3} – {u_1}q = 72\\
    {u_1}{q^4} – {u_1}{q^2} = 144
    \end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
    {u_1}({q^3} – q) = 72\\
    {u_1}({q^4} – {q^2}) = 144
    \end{array} \right.$
    $ \Rightarrow \frac{{{q^3} – q}}{{{q^4} – {q^2}}} = \frac{1}{2}$ $ \Leftrightarrow q = 2$ $ \Rightarrow {u_1} = 12.$
    Vậy: cấp số nhân $\left( {{u_n}} \right)$ có ${u_1} = 12$ và $q = 2.$
    b. Ta có: ${S_{20}} = {u_1} + {u_2} + \ldots + {u_{10}}$ $ = {u_1}\frac{{{q^{10}} – 1}}{{q – 1}}$ $ = 12\frac{{{2^{10}} – 1}}{{2 – 1}}$ $ = 12276.$
    c. Ta có: $S’ = {u_3} + {u_6} + \ldots + {u_{12}}$ $ = {u_3}\frac{{{q^{10}} – 1}}{{q – 1}}$ $ = {12.2^2}\frac{{{2^{10}} – 1}}{{2 – 1}}$ $ = 49104.$

    Ví dụ 8. Cho ba số $a, b, c$ lập thành một cấp số nhân. Chứng minh rằng: $\left( {a + b + c} \right)(a – b + c)$ $ = {a^2} + {b^2} + {c^2}.$
    Áp dụng: Tìm ba số liên tiếp của một cấp số nhân biết tổng của chúng bằng $21$ và tổng bình phương của chúng bằng $189.$

    Từ giả thiết ba số $a, b, c$ lập thành một cấp số nhân, ta được: $ac = {b^2}.$
    Khi đó: $\left( {a + b + c} \right)\left( {a – b + c} \right)$ $ = {\left( {a + c} \right)^2} – {b^2}$ $ = {a^2} + 2ac + {c^2} – {b^2}$ $ = {a^2} + 2{b^2} + {c^2} – {b^2}$ $ = {a^2} + {b^2} + {c^2}.$
    Áp dụng: Với ba số $a, b, c$ lập thành một cấp số nhân, biết rằng $a + b + c = 21$ và ${a^2} + {b^2} + {c^2} = 189$, suy ra:
    $a – b + c = \frac{{189}}{{21}} = 9$ $ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
    b = 6\\
    a + c = 15
    \end{array} \right.$ $ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
    b = 6\\
    a + c = 15\\
    {a^2} + {c^2} = 153
    \end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
    a = 3\\
    b = 6\\
    c = 12
    \end{array} \right.$
    Vậy, ba số cần tìm là $3, 6, 12.$

    Ví dụ 9. Biết rằng ba số $x, y, z$ lập thành một cấp số nhân và ba số $x, 2y, 3z$ lập thành một cấp số cộng. Tìm công bội của cấp số nhân.

    Gọi $q$ là công bội của cấp số nhân.
    Các số $x, 2y, 3z$ lập thành một cấp số cộng, suy ra: $x + 3z = 4y$ $ \Leftrightarrow x + 3x{q^2} = 4xq$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
    x = 0 \left( {loại} \right)\\
    3{q^2} – 4q + 1 = 0
    \end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
    q = 1\\
    q = \frac{1}{3}
    \end{array} \right.$
    Vậy: cấp số nhân có công bội $q = 1$ hoặc $q = \frac{1}{3}.$
     

Chia sẻ trang này