Dạng toán 4. Tìm các phần tử của một cấp số nhân $\left( {{u_n}} \right).$

Phương pháp: Thông thường bài toán được chuyển về xác định ${u_1}$ và công bội $q.$

Ví dụ 6. Tìm số hạng đầu ${u_1}$ và công bội $q$ của các cấp số nhân $\left( {{u_n}} \right)$ biết: $\left\{ \begin{array}{l}
{u_4} – {u_2} = 72\\
{u_5} – {u_3} = 144
\end{array} \right.$

Ta biến đổi: $\left\{ \begin{array}{l}
{u_1}{q^3} – {u_1}q = 72\\
{u_1}{q^4} – {u_1}{q^2} = 144
\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{u_1}q({q^2} – 1) = 72\\
{u_1}{q^2}({q^2} – 1) = 144
\end{array} \right.$ $ \Rightarrow q = \frac{{144}}{{72}} = 2$ $ \Rightarrow {u_1} = 12.$
Vậy: cấp số nhân $\left( {{u_n}} \right)$ có ${u_1} = 12$ và $q = 2.$

Ví dụ 7. Cho cấp số nhân $\left( {{u_n}} \right)$ thoả mãn ${u_4} – {u_2} = 72$ và ${u_5} – {u_3} = 144.$
a. Tìm số hạng đầu tiên và công bội của cấp số nhân $\left( {{u_n}} \right).$
b. Tính tổng số của $10$ số hạng đầu tiên của cấp số nhân $\left( {{u_n}} \right).$
c. Tính tổng $S’ = {u_3} + {u_6} + \ldots + {u_{12}}.$

a. Gọi $q$ là công bội của cấp số nhân $\left( {{u_n}} \right)$, ta có:
$\left\{ \begin{array}{l}
{u_4} – {u_2} = 72\\
{u_5} – {u_3} = 144
\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{u_1}{q^3} – {u_1}q = 72\\
{u_1}{q^4} – {u_1}{q^2} = 144
\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{u_1}({q^3} – q) = 72\\
{u_1}({q^4} – {q^2}) = 144
\end{array} \right.$
$ \Rightarrow \frac{{{q^3} – q}}{{{q^4} – {q^2}}} = \frac{1}{2}$ $ \Leftrightarrow q = 2$ $ \Rightarrow {u_1} = 12.$
Vậy: cấp số nhân $\left( {{u_n}} \right)$ có ${u_1} = 12$ và $q = 2.$
b. Ta có: ${S_{20}} = {u_1} + {u_2} + \ldots + {u_{10}}$ $ = {u_1}\frac{{{q^{10}} – 1}}{{q – 1}}$ $ = 12\frac{{{2^{10}} – 1}}{{2 – 1}}$ $ = 12276.$
c. Ta có: $S’ = {u_3} + {u_6} + \ldots + {u_{12}}$ $ = {u_3}\frac{{{q^{10}} – 1}}{{q – 1}}$ $ = {12.2^2}\frac{{{2^{10}} – 1}}{{2 – 1}}$ $ = 49104.$

Ví dụ 8. Cho ba số $a, b, c$ lập thành một cấp số nhân. Chứng minh rằng: $\left( {a + b + c} \right)(a – b + c)$ $ = {a^2} + {b^2} + {c^2}.$
Áp dụng: Tìm ba số liên tiếp của một cấp số nhân biết tổng của chúng bằng $21$ và tổng bình phương của chúng bằng $189.$

Từ giả thiết ba số $a, b, c$ lập thành một cấp số nhân, ta được: $ac = {b^2}.$
Khi đó: $\left( {a + b + c} \right)\left( {a – b + c} \right)$ $ = {\left( {a + c} \right)^2} – {b^2}$ $ = {a^2} + 2ac + {c^2} – {b^2}$ $ = {a^2} + 2{b^2} + {c^2} – {b^2}$ $ = {a^2} + {b^2} + {c^2}.$
Áp dụng: Với ba số $a, b, c$ lập thành một cấp số nhân, biết rằng $a + b + c = 21$ và ${a^2} + {b^2} + {c^2} = 189$, suy ra:
$a – b + c = \frac{{189}}{{21}} = 9$ $ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
b = 6\\
a + c = 15
\end{array} \right.$ $ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
b = 6\\
a + c = 15\\
{a^2} + {c^2} = 153
\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = 3\\
b = 6\\
c = 12
\end{array} \right.$
Vậy, ba số cần tìm là $3, 6, 12.$

Ví dụ 9. Biết rằng ba số $x, y, z$ lập thành một cấp số nhân và ba số $x, 2y, 3z$ lập thành một cấp số cộng. Tìm công bội của cấp số nhân.

Gọi $q$ là công bội của cấp số nhân.
Các số $x, 2y, 3z$ lập thành một cấp số cộng, suy ra: $x + 3z = 4y$ $ \Leftrightarrow x + 3x{q^2} = 4xq$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 0 \left( {loại} \right)\\
3{q^2} – 4q + 1 = 0
\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
q = 1\\
q = \frac{1}{3}
\end{array} \right.$
Vậy: cấp số nhân có công bội $q = 1$ hoặc $q = \frac{1}{3}.$