Hãy đăng ký thành viên để có thể dễ dàng hỏi bài, trao đổi, giao lưu và chia sẻ về kiến thức
  1. Thủ thuật: Nếu muốn tìm lời giải một câu vật lý trên Google, bạn hãy gõ: tanggiap + câu hỏi.
    Dismiss Notice

Dạng toán 4: Tìm nguyên hàm của hàm số mũ và logarit bằng phương pháp lấy nguyên hàm từng phần.

Thảo luận trong 'Bài 1. Nguyên hàm' bắt đầu bởi Tăng Giáp, 6/12/18.

  1. Tăng Giáp

    Tăng Giáp Administrator Thành viên BQT

    Tham gia ngày:
    16/11/14
    Bài viết:
    4,609
    Đã được thích:
    282
    Điểm thành tích:
    83
    Giới tính:
    Nam
    Chúng ta đã được biết trong phần xác định nguyên hàng bằng phương pháp nguyên hàm từng phần, đối với các dạng nguyên hàm:
    Dạng 1: Tính: $\int {{e^{ax}}} \cos (bx)$ hoặc $\int {{e^{ax}}} \sin (bx)$ với $a,b \ne 0.$
    Khi đó ta đặt: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
    {u = \cos (bx)}\\
    {dv = {e^{ax}}dx}
    \end{array}} \right.$ hoặc $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
    {u = \sin (bx)}\\
    {dv = {e^{ax}}dx}
    \end{array}} \right.$
    Ngoài ra cũng có thể sử dụng phương pháp hằng số bất định.
    Dạng 2: Tính: $\int P (x){e^{\alpha x}}dx$ với $\alpha \in {R^*}.$
    Khi đó ta đặt: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
    {u = P(x)}\\
    {dv = {e^{\alpha x}}dx}
    \end{array}} \right.$
    Ngoài ra cũng có thể sử dụng phương pháp hằng số bất định.

    Ví dụ 1: Tìm nguyên hàm $I = \int x \ln \frac{{1 – x}}{{1 + x}}dx.$

    Đặt $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
    {u = \ln \frac{{1 – x}}{{1 + x}}}\\
    {dv = xdx}
    \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
    {du = \frac{{ – 1}}{{1 – {x^2}}}dx}\\
    {v = \frac{1}{2}{x^2}}
    \end{array}} \right.$
    Khi đó: $I = \frac{1}{2}{x^2}\ln \frac{{1 – x}}{{1 + x}}$ $ + \int {\frac{{{x^2}}}{{2\left( {1 – {x^2}} \right)}}} dx$ $ = \frac{1}{2}{x^2}\ln \frac{{1 – x}}{{1 + x}}$ $ + \int {\left( {\frac{1}{{2\left( {1 – {x^2}} \right)}} – \frac{1}{2}} \right)} dx + C$ $ = \frac{1}{2}{x^2}\ln \frac{{1 – x}}{{1 + x}}$ $ + \frac{1}{4}\ln \left| {\frac{{1 + x}}{{1 – x}}} \right| – \frac{1}{2}x + C.$

    Ví dụ 2: Tìm nguyên hàm của hàm số $f(x) = \left( {{{\tan }^2}x + \tan x + 1} \right){e^x}.$

    Ta có: $\int f (x)dx$ $ = \int {\left( {{{\tan }^2}x + \tan x + 1} \right)} {e^x}$ $ = \int {\left( {{{\tan }^2}x + 1} \right)} {e^x} + \int {{e^x}} \tan xdx$ $(1).$
    Xét tích phân $J = \int {{e^x}} \tan xdx$, đặt:
    $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
    {u = \tan x}\\
    {dv = {e^x}dx}
    \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
    {du = \frac{{dx}}{{{{\cos }^2}x}} = \left( {1 + {{\tan }^2}x} \right)dx}\\
    {v = {e^x}}
    \end{array}} \right.$
    Khi đó: $J = {e^x}\tan x – \int {\left( {{{\tan }^2}x + 1} \right)} {e^x}$ $(2).$
    Thay $(2)$ vào $(1)$ ta được: $\int f (x)dx = {e^x}\tan x + C.$
     

    Bình Luận Bằng Facebook

Chia sẻ trang này