Hãy đăng ký thành viên để có thể dễ dàng hỏi bài, trao đổi, giao lưu và chia sẻ về kiến thức

Dạng toán 4. Ứng dụng tam thức bậc hai, bất phương trình bậc hai trong...

Thảo luận trong 'Bài 04. Bất phương trình vô tỉ' bắt đầu bởi Tăng Giáp, 8/12/18.

  1. Tăng Giáp

    Tăng Giáp Administrator Thành viên BQT

    Tham gia ngày:
    16/11/14
    Bài viết:
    4,630
    Đã được thích:
    282
    Điểm thành tích:
    83
    Giới tính:
    Nam
    Dạng toán 4. Ứng dụng tam thức bậc hai, bất phương trình bậc hai trong chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất.
    Ví dụ 11
    . Cho hai số thực $x$, $y$. Chứng minh rằng $3{{x}^{2}}+5{{y}^{2}}-2x-2xy+1>0.$

    Viết bất đẳng thức lại dưới dạng $3{{x}^{2}}-2(y+1)x+5{{y}^{2}}+1>0.$
    Đặt $f(x)=3{{x}^{2}}-2(y+1)x+5{{y}^{2}}+1$ và xem $y$ là tham số khi đó $f\left( x \right)$ là tam thức bậc hai ẩn $x$ có hệ số ${{a}_{x}}=3>0$ và ${{\Delta }_{x}}’={{(y+1)}^{2}}-3(5{{y}^{2}}+1)$ $=-14{{y}^{2}}+2y-2.$
    Xét tam thức $g\left( y \right)=-14{{y}^{2}}+2y-2$ có hệ số ${{a}_{y}}=-14<0$ và $\Delta {{‘}_{y}}=-27<0.$
    Suy ra $\Delta {{‘}_{x}}<0.$
    Do đó $f\left( x \right)<0$ với mọi $x$, $y.$

    Ví dụ 12. Cho $a$, $b$, $c$ là độ dài ba cạnh của một tam giác và $x$, $y$, $z$ thỏa mãn: ${{a}^{2}}x+{{b}^{2}}y+{{c}^{2}}z=0$. Chứng minh rằng: $xy+yz+zx\le 0.$

    + Nếu trong ba số $x$, $y$, $z$ có một số bằng $0$, chẳng hạn $x=0$ $\Rightarrow {{b}^{2}}y=-{{c}^{2}}z.$
    Suy ra $xy+yz+zx=yz=-\frac{{{c}^{2}}}{{{b}^{2}}}{{z}^{2}}\le 0.$
    + Nếu $x,y,z\ne 0$. Do ${{a}^{2}}x+{{b}^{2}}y+{{c}^{2}}z=0$ $\Rightarrow x=-\frac{{{b}^{2}}y+{{c}^{2}}z}{{{a}^{2}}}.$
    Suy ra $ xy+yz+zx\le 0$ $\Leftrightarrow -(y+z)\frac{{{b}^{2}}y+{{c}^{2}}z}{{{a}^{2}}}+yz\le 0$ $\Leftrightarrow f(y)={{b}^{2}}{{y}^{2}}+({{b}^{2}}+{{c}^{2}}-{{a}^{2}})yz+{{c}^{2}}{{z}^{2}}\ge 0$.
    Tam thức $f(y)$ có ${{\Delta }_{y}}=\left[ {{({{b}^{2}}+{{c}^{2}}-{{a}^{2}})}^{2}}-4{{b}^{2}}{{c}^{2}} \right]{{z}^{2}}.$
    Vì $\left\{ \begin{align}
    & |b-c|<a \\
    & b+c>a \\
    \end{align} \right.$ $\Rightarrow -2bc<{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-{{a}^{2}}<2bc$ $\Rightarrow {{({{b}^{2}}+{{c}^{2}}-{{a}^{2}})}^{2}}<4{{c}^{2}}{{b}^{2}}$ $\Rightarrow {{\Delta }_{y}}\le 0$, $\forall z$ $\Rightarrow f(y)\ge 0$, $\forall y,z.$
     

Chia sẻ trang này