Dạng toán 4: Viết phương trình mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ đi qua hai điểm và các yếu tố khác. • Dạng 1: Viết phương trình mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ đi qua $M,N$ và song song với đường thẳng $d.$ Phương pháp: Vector pháp tuyến của mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ là: $\overrightarrow {{n_\alpha }} = \left[ {\overrightarrow {MN} .\overrightarrow {{a_d}} } \right]$, với $\overrightarrow {{a_d}} $ là vector chỉ phương của đường thẳng $d.$ Ví dụ 9: Viết phương trình mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ đi qua $M\left( {2;1;3} \right)$, $N\left( {1, – 2,1} \right)$ và song song với đường thẳng $d$: $\left\{ \begin{array}{l} x = – 1 + t\\ y = 2t\\ z = – 3 – 2t \end{array} \right.$ ($t$ là tham số). Ta có: $\overrightarrow {MN} = \left( { – 1; – 3; – 2} \right)$, $\overrightarrow {{a_d}} = \left( {1;2; – 2} \right).$ Vì $\left\{ \begin{array}{l} M,N \in \left( \alpha \right)\\ d{\rm{//}}\left( \alpha \right) \end{array} \right.$ $ \Rightarrow \overrightarrow {{n_\alpha }} = \left[ {\overrightarrow {MN} .\overrightarrow {{a_d}} } \right]$ $ = \left( {10; – 4;1} \right)$ là vector pháp tuyến của mặt phẳng $\left( \alpha \right).$ $M\left( {2;1;3} \right) \in \left( \alpha \right).$ Suy ra phương trình mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ là: $10\left( {x – 2} \right) – 4\left( {y – 1} \right)$ $ + 1\left( {z – 3} \right) = 0$ $ \Leftrightarrow 10x – 4y + z – 19 = 0.$ • Dạng 2: Viết phương trình mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ đi qua hai điểm $M,N$ và vuông góc với mặt phẳng $(P)$ ($MN$ không vuông góc với $(P)$). Phương pháp: Vector pháp tuyến của mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ là: $\overrightarrow {{n_\alpha }} = \left[ {\overrightarrow {MN} .\overrightarrow {{n_P}} } \right]$, với $\overrightarrow {{n_P}} $ là vector pháp tuyến của mặt phẳng $(P).$ Ví dụ 10: Viết phương trình mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ đi qua $M(0;1;2)$, $N(2;0;1)$ và vuông góc với $(P)$: $2x + 3y – z + 1 = 0 $. Ta có: $\overrightarrow {MN} = \left( {2; – 1; – 1} \right)$; $\overrightarrow {{n_P}} = \left( {2;3; – 1} \right).$ Vì $\left\{ \begin{array}{l} M,N \in \left( \alpha \right)\\ \left( \alpha \right) \bot \left( P \right) \end{array} \right.$ $ \Rightarrow \overrightarrow {{n_\alpha }} = \left[ {\overrightarrow {MN} .\overrightarrow {{n_P}} } \right]$ $ = \left( {4;0;8} \right)$ là vector pháp tuyến của mặt phẳng $(α).$ $M\left( {0;1;2} \right) \in \left( \alpha \right).$ Suy ra phương trình mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ là: $4\left( {x – 0} \right) + 0\left( {y – 1} \right)$ $ + 8\left( {z – 2} \right) = 0$ $ \Leftrightarrow 4x + 8z – 16 = 0$ $ \Leftrightarrow x + 2z – 4 = 0.$