Phương pháp: Nếu $\left( {{u_n}} \right)$ là một cấp số nhân với công bội $q \ne 1$ thì tổng $n$ số hạng đầu tiên của cấp số nhân $\left( {{u_n}} \right)$ được tính theo công thức: ${S_n} = \frac{{{u_1}(1 – {q^n})}}{{1 – q}}.$ Ví dụ 10. Tính các tổng sau: a. $S = 2 + 6 + 18 + \ldots + 13122.$ b. $S = 1 + 2.2 + {3.2^2} + \ldots + {100.2^{99}}.$ a. Xét cấp số nhân $\left( {{u_n}} \right)$ có ${u_1} = 2$ và công bội $q = 3$, ta có: $13122 = {u_n}$ $ = {u_1}{q^{n – 1}} = {2.3^{n – 1}}$ $ \Leftrightarrow n = 9.$ Suy ra: $S = {S_9} = {u_1}\frac{{{q^9} – 1}}{{q – 1}}$ $ = 2\frac{{{3^9} – 1}}{{3 – 1}} = 19682.$ b. Ta có: $S = \left( {2 – 1} \right)S = 2S – S$ $ = 1.2 + {2.2^2} + {3.2^3} + … + {100.2^{100}}$ $ – 1 – 2.2 – {3.2^2} – … – {100.2^{99}}$ $ = {100.2^{100}} – 1$ $ + \left( {1.2 – 2.2} \right) + \left( {{{2.2}^2} – {{3.2}^2}} \right)$ $ + … + \left( {{{99.2}^{99}} – {{100.2}^{99}}} \right)$ $ = {100.2^{100}} – 1 – 2 – {2^2} – … – {2^{99}}$ $ = {100.2^{100}} – \left( {1 + 2 + {2^2} + … + {2^{99}}} \right)$ Xét cấp số nhân $\left( {{u_n}} \right)$ có ${u_1} = 1$, công bội $q = 2.$ Ta có: $1 + 2 + {2^2} + … + {2^{99}}$ $ = \frac{{1\left( {1 – {2^{100}}} \right)}}{{1 – 2}}$ $ = {2^{100}} – 1.$ Suy ra: $S = {100.2^{100}} – \left( {{2^{100}} – 1} \right)$ $ = {99.2^{100}} + 1.$ Ví dụ 11. Tính tổng $S = 1 + 11 + 111$ $ + \ldots + \underbrace {11…1}_{n chữ số}.$ Xét hai dãy số: + Cấp số nhân $\left( {{u_n}} \right)$ có ${u_1} = 1$ và công bội $q = 10.$ + Dãy số $\left( {{s_n}} \right) = \left\{ {1,11,111, \ldots ,\underbrace {11…1}_{n chữ số}} \right\}.$ Suy ra ${s_n}$ là tổng $n$ số hạng đầu của cấp số nhân $\left( {{u_n}} \right)$, tức là: ${s_n} = \frac{{{{10}^n} – 1}}{{10 – 1}}$ $ = \frac{1}{9}\left( {{{10}^n} – 1} \right).$ Khi đó, ta nhận được: $S = {s_1} + {s_2} + \ldots + {s_n}$ $ = \sum\limits_{k = 1}^n {{s_k}} = \sum\limits_{k = 1}^n {\frac{1}{9}\left( {{{10}^k} – 1} \right)} $ $ = \frac{1}{9}\sum\limits_{k = 1}^n {{{10}^k} – \frac{n}{9}} $ $ = \frac{1}{9}.10.\frac{{{{10}^n} – 1}}{{10 – 1}} – \frac{n}{9}$ $ = \frac{1}{{81}}\left( {{{10}^{n + 1}} – 10 – 9n} \right).$
