Dạng toán 6. Phương trình bậc bốn dạng $a{f^2}\left( x \right) + bf\left( x \right)g\left( x \right) + c{g^2}\left( x \right) = 0.$ Cách 1: Xét $g(x) = 0$, giải tìm nghiệm và thử lại vào phương trình ban đầu. Trường hợp $g(x) ≠ 0$, phương trình $ \Leftrightarrow a{\left[ {\frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}}} \right]^2} + b\frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}} + c = 0.$ Đặt $y = \frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}}$, giải phương trình bậc hai $a{y^2} + by + c = 0$ rồi tìm $x.$ Cách 2: Đặt $u = f\left( x \right)$, $v = g\left( x \right)$, phương trình trở thành: $a{u^2} + buv + c{v^2} = 0$, xem phương trình này là phương trình bậc hai theo ẩn $u$, tham số $v$, từ đó tính $u$ theo $v.$ Ví dụ 6. Giải phương trình: $20{\left( {x – 2} \right)^2} – 5{\left( {x + 1} \right)^2}$ $ + 48\left( {x – 2} \right)\left( {x + 1} \right) = 0.$ Đặt $u=x-2$, $v=x+1$, phương trình trở thành: $20{u^2} + 48uv – 5{v^2} = 0$ $ \Leftrightarrow \left( {10u – v} \right)\left( {2u + 5v} \right) = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 10u = v\\ 2u = – 5v \end{array} \right.$ Với $10u=v$, ta có: $10\left( {x – 2} \right) = x + 1$ $ \Leftrightarrow x = \frac{7}{3}.$ Với $2u=-5v$, ta có: $2\left( {x – 2} \right) = – 5\left( {x + 1} \right)$ $ \Leftrightarrow x = – \frac{1}{7}.$ Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm: $S = \left\{ {\frac{7}{3}; – \frac{1}{7}} \right\}.$