Dạng toán 8: Viết phương trình mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ vuông góc với đường thẳng $d$ và tiếp xúc với mặt cầu $S(I ;R).$ Phương pháp: + Vector chỉ phương của đường thẳng $d$ cũng là vector pháp tuyến của mặt phẳng $\left( \alpha \right)$, suy ra phương trình mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ có dạng: $Ax + By + Cz + D = 0$, trong đó hệ số $D$ chưa biết. + Từ giả thiết $\left( \alpha \right)$ tiếp xúc với mặt cầu $S(I ;R)$ $ \Rightarrow d\left( {I,\left( \alpha \right)} \right) = R$, từ đó tìm được hệ số $D.$ Ví dụ 15: Viết phương trình mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ tiếp xúc với mặt cầu $(S):$ ${x^2} + {\rm{ }}{y^2} + {\rm{ }}{z^2}$ $ – 2x + 2y + 4z – 3 = 0$ và vuông góc với đường thẳng $d:$ $\frac{{x + 1}}{1} = \frac{{y – 2}}{2} = \frac{z}{{ – 2}}.$ Mặt cầu $(S)$ có tâm $I(1 ;-1 ;-2)$, bán kính $R = 3.$ Vì $\left( \alpha \right) \bot d$ $ \Rightarrow \overrightarrow {{n_\alpha }} = \overrightarrow {{a_d}} = \left( {1;2; – 2} \right)$ là vector pháp tuyến của mặt phẳng $(α).$ Suy ra phương trình mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ có dạng: $x + 2y – 2z +D = 0.$ Vì $\left( \alpha \right)$ tiếp xúc với mặt cầu $(S)$ $ \Rightarrow d\left( {I,\left( \alpha \right)} \right) = R$ $ \Leftrightarrow \frac{{\left| {1 – 2 + 4 + D} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {{( – 2)}^2}} }} = 3$ $ \Leftrightarrow D = 6$ hoặc $D = -12.$ Vậy có hai mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ thỏa mãn điều kiện bài toán là: $x + 2y – 2z + 6 = 0$ và $x + 2y – 2z – 12 = 0.$
