Dạng toán 9: Viết phương trình mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ song song với đường thẳng $d$, vuông góc với mặt phẳng $(P)$ và tiếp xúc với mặt cầu $S(I ;R).$ ($d$ không vuông góc với $(P)$). Phương pháp: + Vector pháp tuyến của mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ là: $\overrightarrow {{n_\alpha }} = \left[ {\overrightarrow {{a_d}} .\overrightarrow {{n_P}} } \right]$, trong đó $\overrightarrow {{a_d}} $ là vector chỉ phương của đường thẳng $d$, $\overrightarrow {{n_P}} $ là vector pháp tuyến của mặt phẳng $(P).$ + Suy ra phương trình mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ có dạng $Ax + By + Cz + D = 0$, trong đó hệ số $D$ chưa biết. + Từ giả thiết $\left( \alpha \right)$ tiếp xúc với mặt cầu $S(I;R)$ $ \Rightarrow d\left( {I,\left( \alpha \right)} \right) = R$, từ đó tìm được hệ số $D.$ Ví dụ 16: Viết phương trình mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ song song với đường thẳng $d:$ $\frac{{x – 2}}{1} = \frac{{y + 1}}{3} = \frac{z}{{ – 1}}$, vuông góc với mặt phẳng $(P):$ $2x +y + z – 1 = 0$ và tiếp xúc với mặt cầu $(S):$ ${\left( {x – 2} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2}$ $ + {\rm{ }}{z^2} = 9.$ Mặt cầu $(S)$ có tâm $I(2; -1; 0)$, bán kính $R = 3.$ Ta có: $\overrightarrow {{n_P}} = \left( {2;1;1} \right)$, $\overrightarrow {{a_d}} = \left( {1;3; – 1} \right).$ Vì $\left\{ \begin{array}{l} \left( \alpha \right){\rm{//}}d\\ \left( \alpha \right) \bot \left( P \right) \end{array} \right.$ $ \Rightarrow \overrightarrow {{n_\alpha }} = \left[ {\overrightarrow {{a_d}} .\overrightarrow {{n_P}} } \right]$ $ = ( – {\rm{ }}4;3;5)$ là vector pháp tuyến của mặt phẳng $\left( \alpha \right).$ Do đó phương trình mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ có dạng: $-4x + 3y + 5z + D = 0.$ Vì $\left( \alpha \right)$ tiếp xúc với mặt cầu $S(I;R)$ $ \Rightarrow d\left( {I,\left( \alpha \right)} \right) = R$ $ \Leftrightarrow \frac{{\left| { – 8 – 3 + D} \right|}}{{\sqrt {{{( – 4)}^2} + {3^2} + {5^2}} }} = 3$ $ \Leftrightarrow D = 11 + 15\sqrt 2 $ hoặc $D = 11 – 15\sqrt 2 .$ Vậy có hai mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ thỏa mãn yêu cầu bài toán là: $ – {\rm{ }}4x + 3y + 5z + 11 + 15\sqrt 2 = 0$ và $ – {\rm{ }}4x + 3y + 5z + 11 – 15\sqrt 2 = 0.$
