Hãy đăng ký thành viên để có thể dễ dàng hỏi bài, trao đổi, giao lưu và chia sẻ về kiến thức
  1. Thủ thuật: Nếu muốn tìm lời giải một câu vật lý trên Google, bạn hãy gõ: tanggiap + câu hỏi.
    Dismiss Notice

Dạng toán dùng phương pháp quy nạp toán học chứng minh bài toán chia hết

Thảo luận trong 'Chủ đề 3: Cấp số cộng và cấp số nhân' bắt đầu bởi moon, 5/12/18.

  1. moon

    moon Thành viên cấp 2 Thành viên BQT

    Tham gia ngày:
    2/10/14
    Bài viết:
    160
    Đã được thích:
    46
    Điểm thành tích:
    28
    Ví dụ 5. Cho $n$ là số tự nhiên dương. Chứng minh rằng: ${a_n} = {16^n} – 15n – 1 \vdots 225$.

    + Với $n = 1$ ta có: ${a_1} = 0 \Rightarrow {a_1} \vdots 225.$
    + Giả sử ${a_k} = {16^k} – 15k – 1 \vdots 225$, ta chứng minh: ${a_{k + 1}} = {16^{k + 1}} – 15(k + 1) – 1 \vdots 225.$
    Thật vậy: ${a_{k + 1}} = {16.16^k} – 15k – 16$ $ = {16^k} – 15k – 1 – 15\left( {{{16}^k} – 1} \right)$ $ = {a_k} – 15\left( {{{16}^k} – 1} \right).$
    Vì ${16^k} – 1$ $ = 15.\left( {{{16}^{k – 1}} + {{16}^{k – 2}} + … + 1} \right) \vdots 15$ và ${a_k} \vdots 225.$
    Nên ta suy ra ${a_{k + 1}} \vdots 225.$
    Vậy bài toán được chứng minh.

    Ví dụ 6. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên $n \ge 1$ thì $A(n) = {7^n} + 3n – 1$ luôn chia hết cho $9.$

    + Với $n = 1$ $ \Rightarrow A(1) = {7^1} + 3.1 – 1 = 9$ $ \Rightarrow A(1) \vdots 9.$
    + Giả sử $A(k) \vdots 9$, $\forall k \ge 1$, ta chứng minh $A(k + 1) \vdots 9.$
    Thật vậy: $A(k + 1) = {7^{k + 1}} + 3(k + 1) – 1$ $ = {7.7^k} + 21k – 7 – 18k + 9$
    $ \Rightarrow A(k + 1) = 7A(k) – 9(2k – 1)$.
    Vì $\left\{ \begin{array}{l}
    A(k) \vdots 9\\
    9(2k – 1) \vdots 9
    \end{array} \right. \Rightarrow A(k + 1) \vdots 9.$
    Vậy $A(n)$ chia hết cho $9$ với mọi số tự nhiên $n \ge 1.$

    Ví dụ 7. Cho $n$ là số tự nhiên dương. Chứng minh rằng: ${B_n} = \left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)\left( {n + 3} \right) \ldots .\left( {3n} \right)$ $ \vdots {3^n}.$

    + Với $n = 1$, ta có: ${B_1} = 2.3 \vdots 3.$
    + Giả sử mệnh đề đúng với $n = k$, tức là: ${B_k} $ $= \left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)\left( {k + 3} \right) \ldots \left( {3k} \right) \vdots {3^k}.$
    Ta chứng minh: ${B_{k + 1}} = \left( {k + 2} \right)\left( {k + 3} \right)\left( {k + 4} \right)$ $ \ldots \left[ {3\left( {k{\rm{ }} + {\rm{ }}1} \right)} \right] \vdots {3^{k + 1}}.$
    Ta có: ${B_{k + 1}} = 3\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)\left( {k + 3} \right)$ $ \ldots \left( {3k} \right)\left( {3k + 1} \right)\left( {3k + 2} \right)$ $ = 3{B_k}\left( {3k + 1} \right)\left( {3k + 2} \right).$
    Mà ${B_k} \vdots {3^k}$ nên suy ra ${B_{k + 1}} \vdots {3^{k + 1}}.$
    Vậy bài toán được chứng minh.
     

    Bình Luận Bằng Facebook

Chia sẻ trang này