Dạng toán dùng phương pháp quy nạp toán học chứng minh tính chất hình học

Ví dụ 8. Trong mặt mặt phẳng cho $n$ điểm rời nhau $(n > 2)$ tất cả không nằm trên một đường thẳng. Chứng minh rằng tất cả các đường thẳng nối hai điểm trong các điểm đã cho tạo ra số đường thẳng khác nhau không nhỏ hơn $n.$

Giả sử mệnh đề đúng với $n=k\ge 3$ điểm.
Ta chứng minh nó cũng đúng cho $n=k+1$ điểm.
Ta có thể chứng minh rằng tồn tại ít nhất một đường thẳng chỉ chứa có hai điểm. Ta kí hiệu đường thẳng đi qua hai điểm ${{A}_{n}}$ và ${{A}_{n+1}}$ là ${{A}_{n}}{{A}_{n+1}}$. Nếu những điểm ${{A}_{1}},{{A}_{2}},…,{{A}_{n}}$ nằm trên một đường thẳng thì số lượng các đường thẳng sẽ đúng là $n+1$: Gồm $n$ đường thẳng nối ${{A}_{n+1}}$ với các điểm ${{A}_{1}},{{A}_{2}},…,{{A}_{n}}$ và đường thẳng chúng nối chung. Nếu ${{A}_{1}},{{A}_{2}},…,{{A}_{n}}$ không nằm trên một đường thẳng thì theo giả thiết quy nạp có $n$ đường thẳng khác nhau. Bây giờ ta thêm các đường thẳng nối ${{A}_{n+1}}$ với các điểm ${{A}_{1}},{{A}_{2}},…,{{A}_{n}}$. Vì đường thẳng ${{A}_{n}}{{A}_{n+1}}$ không chứa một điểm nào trong ${{A}_{1}},{{A}_{2}},…,{{A}_{n-1}}$, nên đường thẳng này khác hoàn toàn với $n$ đường thẳng tạo ra bởi ${{A}_{1}},{{A}_{2}},…,{{A}_{n}}$. Như vậy số đường thẳng tạo ra cũng không nhỏ hơn $n+1$.

Ví dụ 9. Chứng minh rằng tổng các trong một $n$-giác lồi $(n\ge 3)$ bằng $(n-2){{180}^{0}}$.

+ Với $n=3$ ta có tổng ba góc trong tam giác bằng ${{180}^{0}}.$
+ Giả sử công thức đúng cho tất cả $k$-giác, với $k<n$, ta phải chứng minh mệnh đề cũng đúng cho $n$-giác. Ta có thể chia $n$-giác bằng một đường chéo thành ra hai đa giác. Nếu số cạnh của một đa giác là $k+1$, thì số cạnh của đa giác kia là $n – k + 1$, hơn nữa cả hai số này đều nhỏ hơn $n$. Theo giả thiết quy nạp tổng các góc của hai đa giác này lần lượt là $\left( k-1 \right){{180}^{0}}$ và $\left( n-k-1 \right){{180}^{0}}.$
Tổng các góc của $n$-giác bằng tổng các góc của hai đa giác trên, nghĩa là $\left( {k–1 + n – k–1} \right){180^0}$ $ = \left( {n – 2} \right){180^0}.$
Suy ra mệnh đề đúng với mọi $n\ge 3.$