“Giải chi tiết gần 300 bài tập Xác suất – Thống kê hay và khó” là tài liệu được biên soạn nhằm giúp học sinh chinh phục những dạng toán thường gây mất điểm trong đề thi. Hệ thống bài tập được chọn lọc kỹ lưỡng từ đề thi chính thức và đề thi thử chất lượng cao, đi kèm lời giải phân tích từng bước, làm rõ tư duy và phương pháp. Không chỉ giúp nắm chắc kiến thức nền tảng, tài liệu còn rèn khả năng xử lý các câu hỏi nâng cao, tránh bẫy đề và tự tin hơn khi bước vào phòng thi. Câu 1. [Mã đề 101 chính thức 2025 của BGD&ĐT ] Bạn Nam tham gia cuộc thi giải một mật thư. Theo quy tắc của cuộc thi, người chơi cần chọn ra sáu số từ tập hợp S = {11;12;13;14;15;16;17;18;19} và xếp mỗi số vào đúng một vị trí trong sáu vị trí A, B, C, M, N, P như hình bên dưới. Mật thư sẽ được giải nếu các bộ ba số xuất hiện ở những bộ ba vị trí $(A, M, B)$; $(B, N, C)$; $(C, P, A)$ tạo thành các cấp số cộng theo thứ tự đó. Bạn Nam chọn ngẫu nhiên sáu số trong tập $S$ và xếp ngẫu nhiên vào các vị trí yêu cầu. Gọi xác suất để bạn Nam giải được mật thư ở lần chọn và xếp đó là $a$. Giá trị của $\dfrac{1}{a}$ bằng bao nhiêu? Lời GiảiBộ ba số xuất hiện ở những bộ ba vị trí $(A, M, B)$; $(B, N, C)$; $(C, P, A)$ tạo thành các cấp số cộng theo thứ tự đó thì $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} \begin{array}{l} 2M = A + B\;\\ 2N = B + C\;\\ 2P = A + C \end{array} \end{array}} \right.$ Khi đó: A, B, C phải cùng chẵn hoặc cùng lẻ. Các trường hợp không hợp lệ: Nếu ${A, B, C}$ là một cấp số cộng (giả sử $A = x$, $B = x + d$, $C = x + 2d$) thì $d$ phải là số chẵn để $A, B, C$ cùng tính chẵn lẻ. Khi đó $M = x + \dfrac{d}{2}$, $N = x + \dfrac{3d}{2}$, $P = x + d$. Giá trị $P = x + d$ trùng với $B = x + d$. Vì $6$ số được xếp phải đôi một khác nhau nên mọi bộ ${A, B, C}$ là cấp số cộng sẽ không hợp lệ. Số cách chọn $6$ số từ $9$ số và xếp là: $n(\Omega) = A_9^6 = 60480$. Trường hợp 1: A, B, C đều chẵn. Số cách chọn $3$ số chẵn: $C_4^3 = 4$. Các bộ $3$ số chẵn là cấp số cộng: ${12;14;16}$ và ${14;16;18}$, hai bộ này không hợp lệ. Số bộ $3$ số chẵn hợp lệ: $4 - 2 = 2$. Số trường hợp thuận lợi khi A, B, C đều chẵn: $2 \cdot 3! = 12$. Trường hợp 2: A, B, C đều lẻ. Số cách chọn $3$ số lẻ: $C_5^3 = 10$. Các bộ $3$ số lẻ là cấp số cộng có: ${11;13;15}$, ${13;15;17}$, ${15;17;19}$, ${11;15;19}$, bốn bộ này không hợp lệ. Số bộ $3$ số lẻ hợp lệ: $10 - 4 = 6$. Số trường hợp thuận lợi khi $A, B, C$ đều lẻ: $6 \cdot 3! = 36$. Cả hai trường hợp có số kết quả thuận lợi là: $n(A) = 12 + 36 = 48$. Xác suất cần tìm: $a = \dfrac{n(A)}{n(\Omega)} = \dfrac{48}{60840} = \dfrac{1}{1260} \Rightarrow \dfrac{1}{a} = \dfrac{1}{\dfrac{1}{1260}} = 1260$. Câu 2. Một xạ thủ bắn bia, trên bia có các vòng tròn tính điểm (từ 5 đến 10) như hình vẽ. Mỗi lần bắn, xác suất xạ thủ đó bắn trúng vòng 8 là $0,25$; trúng vòng dưới 8 (kẻ cả bắn trượt) là $0,4$. Gọi ${{P}_{1}},{{P}_{2}}$ lần lượt là xác suất xạ thủ đó bắn trúng vòng 10 và vòng 9 trong mỗi lần bắn. Biết rằng nếu xạ thủ đó bắn ba phát vào bia thì xác suất cả ba lần bắn trúng vòng 10 là $0,003375$. a) ${{P}_{1}}=0,15$. b) ${{P}_{2}}=0,18$. c) Nếu xạ thủ đó bắn ba phát thì xác suất đạt 29 điểm là $0,0045$. d) Nếu xạ thủ đó bắn ba phát thì xác suất đạt ít nhất 28 điểm là $0,05175$. Lời Giảia). Đúng Xác suất 3 lần bắn trúng vòng 10 là $P_{1}^{3}=0,003375\Rightarrow {{P}_{1}}=\sqrt[3]{0,003375}=0,15$ b). SAI ${{P}_{2}}=1-0,25-0,4-0,15=0,2$. c). SAI Để đạt 29 điểm thì cần 2 lần bắn trúng vòng 10 và 1 lần bắn trúng vòng 9. Có 3 cách chọn lần bắn trúng vòng 9 nên xác suất là ${{3.0,2.0,15}^{2}}=0,0135$. d). ĐÚNG Xác suất đạt 30 điểm là 0,003375; xác suất đạt 29 điểm là 0,0135. Tính xác suất đạt 28 điểm: TH1: Có 2 lần bắn trúng vòng 10 và 1 lần bắn trúng vòng 8: Xác suất là ${{3.0,25.0,15}^{2}}$. TH2: Có 1 lần bắn trúng vòng 10 và 2 lần bắn trúng vòng 9: Xác suất là ${{3.0,15.0,2}^{2}}$. Suy ra xác suất đạt 28 điểm là: ${{3.0,25.0,15}^{2}}+{{3.0,15.0,2}^{2}}=0,034875$. Vậy xác suất đạt ít nhất 28 điểm là $0,003375+0,0135+0,034875=0,05175$. Câu 3. [ Sở GD&ĐT Thanh Hoá Lần 2] Một nhóm sinh viên y khoa thực hiện khảo sát những bệnh nhân bị tai nạn xe máy về mối liên hệ giữa việc đội mũ bảo hiểm và khả năng bị chấn thương vùng đầu cho thấy: Tỉ lệ bệnh nhân bị chấn thương vùng đầu khi gặp tai nạn là 70%; tỉ lệ bệnh nhân đội mũ bảo hiểm đúng cách khi gặp tai nạn là 90%; tỉ lệ bệnh nhân đội mũ bảo hiểm đúng cách bị chấn thương vùng đầu là 21%. Hỏi theo kết quả khảo sát trên, việc đội mũ bảo hiểm đúng cách sẽ làm giảm khả năng bị chấn thương vùng đầu bao nhiêu lần? Lời Giải Chọn 1 bệnh nhân trong những bệnh nhân bị tai nạn xe máy. Gọi $A$ là biến cố: “Bệnh nhân bị chấn thương vùng đầu khi gặp tai nạn”, $B$ là biến cố: “Bệnh nhân đội mũ bảo hiểm đúng cách khi gặp tai nạn”. $AB$ là biến cố: “Bệnh nhân đội mũ bảo hiểm đúng cách và bị chấn thương vùng đầu khi gặp tai nạn”. Theo đề bài, ta có $P\left( A \right)=70%=0,7$; $P\left( B \right)=90%=0,9$ và $P\left( AB \right)=21%=0,21$. Ta có $P\left( A\bigcup B \right)=P\left( A \right)+P\left( B \right)-P\left( AB \right)=0,7+0,9-0,21=1,39>1$ vô lý nên sai đề. Câu 4. [ Sở GD&ĐT Hải Phòng] Một căn bệnh có 1% dân số mắc phải. Một phương pháp chẩn đoán căn bệnh nói trên có tỉ lệ chính xác là 98% ( với cả người bị bệnh và người không bị bệnh). Biết rằng nếu một người được sử dụng phương pháp trên để kiểm tra và cho kết quả dương tính (bị bệnh) thì xác suất người đó thực sự bị bệnh là $\frac{y}{296}$, y là số tự nhiên. Hỏi y bằng bao nhiêu? Lời Giải$P(A|B) = \frac{{P(A).P(B|A)}}{{P(A).P(B|A) + P(\overline A ).P(B|\overline A )}}$ $ = \frac{{0,01.0,98}}{{0,01.0,98 + 0,99.0,02}} = \frac{{49}}{{148}}$ Suy ra $y=98$. Câu 5. [ THPT Khoa Học Giáo Dục Hà Nội lần 2] Cho hai biến cố $A,B$ thỏa mãn $P(\overline{B})=0,2;P\left( \left. A \right|B \right)=0,5;P\left( \left. A \right|\overline{B} \right)=0,3$. Khi đó, $P(A)$ bằng A. $0,34$. B. $0,31$. C. $0,46$. D. $0,15$ Lời GiảiÁp dụng công thức xác suất toàn phần: $\begin{align} & P(A)=P\left( \left. A \right|B \right).P(B)+P\left( \left. A \right|\overline{B} \right).P(\overline{B}) \\ & P(A)=0,5.(1-0,2)+0,3.0,2=0,46 \\ \end{align}$. Câu 6. [ THPT Khoa Học Giáo Dục Hà Nội lần 2] Một vòng quay được chia thành 12 phần bằng nhau và được đánh số từ 1 đến 12 như hình vẽ bên dưới: Xét phép thử An và Bình lần lượt quay vòng quay trên. Gọi $A$ là biến cố "An quay được số chia hết cho 3 "; $B$ là biến cố "An quay được số chia hết cho 5 "; $C$ là biến cố "Bình quay được số chẵn". Xét tính đúng sai của các khẳng định sau: a) Không gian mẫu của phép thử có số kết quả là 24. b) Số kết quả thuận lợi cho biến cố $A$, $B$, C lần lượt là 48, 24, 72. c) Xác suất để Bình quay được số chẵn, biết An quay được số chia hết cho 3 là $\frac{1}{6}$ d) Xác suất để An quay được số chia hết cho 5, biết Bình quay được số lẻ là $\frac{1}{6}$ Lời Giảia) Sai. Số phần tử của không gian mẫu là: $12.12=144$. b) Đúng. - Số An quay được chia hết cho 3 nên có 4 cách chọn, còn Bình có 12 cách chọn. Do đó số kết quả thuận lợi cho biến cố $A$ là: $4.12=48$. - Số An quay được chia hết cho 5 nên có 2 cách chọn, còn Bình có 12 cách chọn. Do đó số kết quả thuận lợi cho biến cố $B$ là: $2.12=24$. - Số Bình quay được là chẵn nên có 6 cách chọn, còn An có 12 cách chọn. Do đó số kết quả thuận lợi cho biến cố $C$ là: $6.12=72$. c) Sai Gọi A là biến cố “An quay được số chia hết cho 3” Gọi B là biến cố “Bình quay được số chẵn” Xác suất để Bình quay được số chẵn, biết An quay được số chia hết cho 3 là $P\left( B\backslash A \right)$ Do An và Bình quay là độc lập ở hai lần quay khác nhau nên $P\left( B\backslash A \right)=P\left( B \right)$ $B=\left\{ 2,4,6,8,10,12 \right\}$ $\Rightarrow P\left( B \right)=\frac{1}{2}$ d) Sai Gọi X là biến cố “An quay được số chia hết cho 5” Gọi $\overline{B}$ là biến cố “Bình quay được số lẻ” Xác suất để An quay được số chia hết cho 5, biết Bình quay được số lẻ là $P\left( X\backslash \overline{B} \right)$ Do An và Bình quay là độc lập ở hai lần quay khác nhau nên $P\left( X\backslash \overline{B} \right)=P\left( X \right)$ $X=\left\{ 5,10 \right\}$ $\Rightarrow P\left( X \right)=\frac{n\left( X \right)}{n\left( \Omega \right)}=\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$. Câu 7. [ THPT Khoa Học Giáo Dục Hà Nội lần 2] Nhân dịp kỷ niệm $10$ năm thành lập trường, các học sinh lựa chọn tham gia thi đấu thể thao hoặc biểu diễn văn nghệ. Lớp $12\text{A}1$ có $60%$ số học sinh tham gia thi đấu thể thao và còn lại $40%$ tham gia diễn văn nghệ. Biết rằng các bạn nữ đều tham gia diễn văn nghệ. Trong số các bạn nam có $20%$ tham gia văn nghệ và $80%$ tham gia thi đấu thể thao. Chọn ngẫu nhiên một học sinh trong lớp $12\text{A}1$. Biết rằng học sinh này tham gia biểu diễn văn nghệ, xác suất để học sinh này là nữ là bao nhiêu? (Nếu kết quả là số thập phân thì làm tròn đến hàng phần trăm). Lời GiảiĐáp án: $0,63$. Gọi $A:$ “Học sinh nữ” $B:$ “Học sinh tham gia biểu diễn thể thao” Giả sử $P(A)=x,\,\,0\le x\le 1$. Sơ đồ hình cây: Ta có $P(B)=P(A).P(B|A)+P(\overline{A}).P(B|\overline{A})$ $\Rightarrow 0x+0,8(1-x)=0.6$ $\Rightarrow x=0,25$. Vậy xác suất để học sinh được chọn là nữ, biết học sinh này tham gia biểu diễn văn nghệ là $P(A|\overline{B})=\frac{P(A).P(\overline{B}|A)}{P(\overline{B})}=\frac{0,25.1}{0,4}=\frac{5}{8}\approx 0,63$. Câu 8. [ Sở GD&ĐT Nghệ An] Một nhóm có 5 học sinh, trong đó có 3 học sinh nữ. Chọn ngẫu nhiên 2 học sinh để tham gia 1 cuộc khảo sát. Tính xác suất để 2 học sinh được chọn đều là học sinh nữ. A. $\frac{3}{10}$.B. $\frac{3}{11}$ .C. $\frac{3}{20}$.D. $\frac{1}{5}$. Lời GiảiChọn A Gọi $A$: “2 học sinh được chọn là nữ”. Số cách chọn 2 trong 5 học sinh là: $n\left( \Omega \right)=C_{5}^{2}$ (cách). Số cách chọn 2 trong 3 học sinh nữ là: $n\left( A \right)=C_{3}^{2}$ (cách). Câu 9. [ Sở GD&ĐT Nghệ An] Một công ty tổ chức chương trình bốc thăm trúng thưởng nhân dịp nghỉ lễ 30/4 và 1/5 cho 100 nhân viên. Trong hộp có 100 vé, trong đó có 4 vé trúng thưởng tour du lịch miễn phí ở Thái Lan, 10 vé trúng thưởng tour du lịch miễn phí ở Đà Nẵng và 20 vé trúng thưởng tour du lịch miễn phí tại Cửa Lò (Nghệ An), các vé còn lại trúng thưởng năm triệu đồng. Lần lượt từng nhân viên lên bốc ngẫu nhiên một vé (không hoàn lại). a) Xác suất để người bốc thăm thứ nhất bốc được vé trúng thưởng năm triệu đồng là $\frac{33}{50}$. b) Xác suất để người bốc thăm thứ hai bốc được vé trúng thưởng năm triệu đồng là $\frac{13}{20}$, biết rằng người bốc thăm thứ nhất bốc được vé trúng thưởng năm triệu đồng. c) Xác suất để người bốc thăm thứ hai bốc được vé trúng thưởng năm triệu đồng là $\frac{33}{50}$. d) Để tạo bất ngờ cho người bốc thăm tiếp theo, sau khi người thứ nhất bốc thăm, người dẫn chương trình giữ lại vé và không công bố kết quả. Người bốc thăm thứ hai bốc được vé trúng thưởng năm triệu đồng. Xác suất để người bốc thăm thứ nhất bốc được vé trúng thưởng năm triệu đồng là $\frac{65}{99}$. Lời GiảiXét các biến cố: $A:''$ Người bốc thăm thứ nhất bốc được vé trúng thưởng năm triệu đồng$''$; $B:''$ Người bốc thăm thứ hai bốc được vé trúng thưởng năm triệu đồng$''$. a) Đúng. Ta có số vé trúng thưởng năm triệu đồng là: $100-\left( 4+10+20 \right)=66$ Xác suất để người bốc thăm thứ nhất bốc được vé trúng thưởng năm triệu đồng là:$P\left( A \right)=\frac{66}{100}=\frac{33}{50}$ b) Sai. Nếu người bốc thăm thứ nhất bốc được vé trúng thưởng năm triệu đồng thì số vé trúng thưởng năm triệu đồng còn lại trong hộp là 65 vé. Suy ra, xác suất để người bốc thăm thứ hai bốc được vé trúng thưởng năm triệu đồng biết rằng người bốc thăm thứ nhất bốc được vé trúng thưởng năm triệu đồng là $P\left( B|A \right)=\frac{65}{99}$. c) Đúng. Xác suất để người thứ nhất không bốc được vé trúng thưởng năm triệu đồng là: $P\left( \overline{A} \right)=1-P\left( A \right)=1-\frac{66}{100}=\frac{17}{50}$. Nếu người bốc thăm thứ nhất không bốc được vé trúng thưởng năm triệu đồng thì số vé trúng thưởng năm triệu đồng còn lại trong hộp là 66 nên $P\left( B|\overline{A} \right)=\frac{66}{99}$. Theo công thức xác suất toàn phần, xác suất để người bốc thăm thứ hai bốc được vé trúng thưởng năm triệu đồng là: $P\left( B \right) = P\left( A \right).P\left( {B|A} \right) + P\left( {\overline A } \right).P\left( {B|\overline A } \right)$ $ = \frac{{33}}{{50}}.\frac{{65}}{{99}} + \frac{{17}}{{50}}.\frac{{66}}{{99}} = \frac{{33}}{{50}}$ d) Đúng. Xác suất để người bốc thăm thứ nhất bốc được vé trúng thưởng năm triệu đồng biết rằng người bốc thăm thứ hai bốc được vé trúng thưởng năm triệu đồng là $P\left( A|B \right)$. Theo công thức Bayes, ta có: $P\left( A|B \right)=\frac{P\left( A \right).P\left( B|A \right)}{P\left( B \right)}=\frac{\frac{33}{50}.\frac{65}{99}}{\frac{33}{50}}=\frac{65}{99}$. Câu 10. [Sở GD&ĐT Hà Nội] Trong một trò chơi, con ngựa của bạn Toàn đang đứng ở vị trí xuất phát (như hình vẽ). Luật chơi như sau: Để di chuyển con ngựa, bạn Toàn cần gieo một con xúc xắc có sáu mặt cân đối, đồng chất. Ở mỗi lượt chơi, bạn có tối đa ba lần gieo. Ở lần gieo thứ nhất, con ngựa di chuyển đến ô có số thứ tự bằng số tương ứng với số chấm gieo được của con xúc xắc. Từ những lần gieo sau, nếu tổng của số tương ứng với số chấm gieo được của con xúc xắc và số tương ứng ghi ở ô con ngựa đang đứng lớn hơn 6 thì con ngựa sẽ đứng yên, còn nếu tổng này nhỏ hơn hoặc bằng 6 thì con ngựa được di chuyển số ô bằng số chấm gieo được. Con ngựa này gọi là về đích nếu nó đến được ô số 6. a) Xác suất để con ngựa về đích ở lần gieo thứ nhất bằng $\frac{1}{6}$. b) Xác suất để con ngựa về đích ở lần gieo thứ hai bằng $\frac{5}{36}$. c) Xác suất để con ngựa về đích ở lần gieo thứ ba và trong cả ba lần gieo con ngựa đều được di chuyển bằng $\frac{5}{108}$. d) Xác suất để con ngựa về đích sau nhiều nhất ba lần gieo bằng $\frac{19}{54}$. Lời Giảia) Đúng: Gọi A là biến cố con ngựa về đích ở lần gieo thứ nhất Ta có để con ngựa về đích ở lần gieo thứ nhất tức là ở lần gieo thứ nhất bạn Toàn gieo được mặt xúc xắc số 6 Ta có Vậy b) Đúng: Gọi B là biến cố con ngựa về đích ở lần gieo thứ hai Khi đó ở lần gieo thứ nhất Toàn không gieo vào mặt số 6 Và lần gieo thứ hai có tổng với lần gieo thứ nhất bằng 6 Khi đó ta có 5 cặp số thỏa mãn để tổng bằng $6:\left( 5;1 \right);\left( 4;2 \right)\left( 3;3 \right)\left( 1;5 \right)\left( 2;4 \right)$ Khi đó $P\left( B \right)=\frac{5}{36}$ c) Sai: Gọi C là biến cố con ngựa về đích ở lần gieo thứ ba và trong cả ba lần gieo con ngựa đều được di chuyển $n\left( \text{ }\!\!\Omega\!\!\text{ } \right)=216$ Ta có tức là ở lần gieo thứ hai tổng hai lần gieo đầu nhỏ lơn 6, khi đó ta có 10 cặp thỏa mãn. $\left( 1;1 \right)\left( 1;2 \right)\left( 1;3 \right)$ $\left( 1;4 \right)\left( 2;1 \right)\left( 2;2 \right)\left( 2;3 \right)\left( 3;1 \right)\left( 3;2 \right)\left( 4;1 \right)$ Để tổng cả ba lần gieo bằng 6 ta có 4 cặp $\left( 3;3 \right)\left( 2;4 \right)\left( 4;2 \right)\left( 5;1 \right)$ tổng của hai lần đầu và lần thứ 3 $P\left( C \right)=\frac{4.10}{{{6}^{3}}}=\frac{5}{27}$ d) Sai: Gọi E là biến cố con ngựa về đích ở lần gieo thứ 3 với con ngựa dừng lại ở bước thứ 2 Ta có khi đó tổng lần gieo thứ nhất và thứ 3 bằng 6 và tổng lần gieo thứ nhất và thứ ba lớn hơn 6 Ta có 5 cặp số thỏa mãn để tổng bằng $6:\left( 5;1 \right);\left( 4;2 \right)\left( 3;3 \right)\left( 1;5 \right)\left( 2;4 \right)$ Trường hợp $\left( 5;1 \right)$ là mặt của lần gieo 1 và 3 khi đó lần gieo hai có thể là: $2;3;4;5;6$ Trường hợp $\left( 4;2 \right)$ là mặt của lần gieo 1 và 3 khi đó lần gieo hai có thể là: $3;4;5;6$ Trường hợp $\left( 3;3 \right)$ là mặt của lần gieo 1 và 3 khi đó lần gieo hai có thể là: 4;5;6 Trường hợp $\left( 2;4 \right)$ là mặt của lần gieo 1 và 3 khi đó lần gieo hai có thể là: 5;6 Trường hợp $\left( 1;5 \right)$ là mặt của lần gieo 1 và 3 khi đó lần gieo hai có thể là: 6 Vậy $P\left( E \right)=\frac{5+4+3+2+1}{{{6}^{3}}}=\frac{5}{72}$ Gọi D là biến cố con ngựa về đích sau nhiều nhất ba lần gieo, có $P\left( D \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right) + P\left( C \right) + P\left( E \right)$ $ = \frac{1}{6} + \frac{5}{{36}} + \frac{5}{{27}} + \frac{5}{{72}} = \frac{{121}}{{216}}$
