Hãy đăng ký thành viên để có thể dễ dàng hỏi bài, trao đổi, giao lưu và chia sẻ về kiến thức

Toán Giải nhanh số phức từ cơ bản tới nâng cao

Thảo luận trong 'Bài 1. Các dạng toán liên quan đến số phức' bắt đầu bởi Tăng Giáp, 21/1/19.

  1. Tăng Giáp

    Tăng Giáp Administrator Thành viên BQT

    Tham gia ngày:
    16/11/14
    Bài viết:
    4,400
    Đã được thích:
    278
    Điểm thành tích:
    83
    Giới tính:
    Nam
    I.KIẾN THỨC CƠ BẢN SỐ PHỨC
    1.Định nghĩa.
    Đơn vị ảo :
    Số $i$ mà ${{i}^{2}}=-1$ được gọi là đơn vị ảo.
    • Số phức $z=a+bi$ với $a,b\in \mathbb{R}$. Gọi $a$ là phần thực, $b$ là phần ảo của số phức $z$.
    • Tập số phức $\mathbb{C}=\left\{ a+bi/a,b\in \mathbb{R};{{i}^{2}}=-1 \right\}$. Tập số thực $\mathbb{R}$ là tập con của tập số phức $\mathbb{C}$.
    • Hai số phức bằng nhau: $a+bi=c+di\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a=c \\ b=d \\ \end{matrix} \right.$ với $a,b,c,d\in \mathbb{R}$.
    ----------------------------------------
    Trường nào sử dụng kết quả kỳ thi đánh giá năng lực tại ĐH Quốc gia TP.HCM để tuyển sinh 2019?

    VTC News) - Kỳ thi đánh giá năng lực do ĐH Quốc gia TP.HCM tổ chức được chia thành 2 đợt và đã có 20 trường ĐH, CĐ đăng ký sử dụng kết quả này để tuyển sinh trong năm 2019.

    Kỳ thi đánh giá năng lực do ĐH Quốc gia TP.HCM được tổ chức thành 2 đợt. Ở đợt 1, cổng đăng ký trực tuyến của ĐH này bắt đầu nhận hồ sơ từ 18/1 và sẽ kết thúc vào ngày 28/2.

    Theo thống kê mới nhất, số thí sinh đăng ký tham dự trong đợt 1 đã lên tới hơn 9.000 người, tăng gần gấp đôi so với tổng số thí sinh dự thi của năm 2018. Kỳ thi sẽ diễn ra ngày 31/3 tại TP.HCM và Bến Tre, công bố kết quả ngày 10/4.

    Cũng thống kê từ ĐH Quốc gia TP.HCM, đã có 20 trường ĐH, CĐ đăng ký sử dụng kết quả kỳ thi đánh giá năng lực của ĐH này để xét tuyển trong năm 2019.

    Trong đó có 8 đơn vị thành viên của ĐH Quốc gia TP.HCM gồm các trường: ĐH Bách khoa, ĐH Khoa học xã hội và nhân văn, ĐH Khoa học tự nhiên, ĐH Kinh tế - Luật, ĐH Công nghệ thông tin, ĐH Quốc tế, khoa Y và Phân hiệu ĐH Quốc gia TP.HCM tại Bến Tre.

    Ngoài ra, còn 12 trường ngoài đăng ký sử dụng kết quả kỳ thi này để xét tuyển gồm: ĐH An Giang, ĐH Sư phạm kỹ thuật Vĩnh Long, ĐH Nguyễn Tất Thành, ĐH Lạc Hồng, ĐH Kinh tế - Tài chính TP.HCM, ĐH Công nghiệp thực phẩm TP.HCM, ĐH Thủ Dầu Một, ĐH Nha Trang, ĐH Kiến trúc Đà Nẵng, ĐH Bình Dương, ĐH Công nghệ TP.HCM và Trường CĐ Kỹ thuật Cao Thắng.

    Được biết, chỉ tiêu tuyển sinh của phương thức đánh giá năng lực năm 2019 chiếm tối đa 40% tổng chỉ tiêu của ngành/nhóm ngành tuyển sinh. Thí sinh dự kiến được đăng ký tối đa 3 nguyện vọng vào các trường thành viên, khoa trực thuộc của ĐH Quốc gia TP.HCM.

    Với các trường ngoài hệ thống ĐH này, số lượng nguyện vọng đăng ký xét tuyển tối đa bằng bài thi năng lực sẽ do các trường tự quyết định.

    Theo thống kê của Trung tâm khảo thí và Đánh giá chất lượng đào tạo ĐHQG-HCM, năm 2018 phổ điểm trung bình của các thí sinh là 689 điểm. Trong tổng số 4.351 bài thi, có gần 75% bài thi đạt điểm từ trung bình trở lên (đạt từ 600/1.200 điểm).

    Trong đó, phổ điểm trung bình của thí sinh xét tuyển vào Trường ĐH Bách Khoa là 746 điểm, Trường ĐH Khoa họa tự nhiên là 710 điểm, Trường ĐH Công nghệ thông tin là 687 điểm, Trường ĐH Kinh tế - Luật là 682 điểm, Trường ĐH Quốc Tế là 676 điểm và Trường ĐHĐH Khoa học xã hội và nhân văn là 632 điểm.

    THEO VTC NEW

    ----------------------------------------
    Đặc biệt:
    • Khi phần ảo $b=0\Leftrightarrow z=a\in \mathbb{R}\Leftrightarrow z$ là số thực,
    • Khi phần thực $a=0\Leftrightarrow z=bi\Leftrightarrow z$ là số thuần ảo
    • Số $0=0+0i$ vừa là số thực, vừa là số ảo.
    2.Môđun của số phức.
    $\left| z \right|=\left| a+bi \right|=\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}$ được gọi là môđun của số phức $z$.
    Kết quả: $\forall z\in \mathbb{C}$ ta có:
    $\begin{align} & \left| z \right|\ge 0;\left| z \right|=0\Leftrightarrow z=0;\left| {{z}^{2}} \right|={{\left| z \right|}^{2}} \\ & \left| {{z}_{1}}.{{z}_{2}} \right|=\left| {{z}_{1}} \right|.\left| {{z}_{2}} \right| \\ & \left| \frac{{{z}_{1}}}{{{z}_{2}}} \right|=\frac{\left| {{z}_{1}} \right|}{\left| {{z}_{2}} \right|} \\ \end{align}$

    3.Số phức liên hợp.
    Cho số phức $z=a+bi$. Ta gọi số phức liên hợp của $z$ là $\overline{z}=a-bi$.
    Kết quả: $\forall z\in \mathbb{C}$ ta có:
    $\begin{align} & \overline{\overline{z}}=z;\left| \overline{z} \right|=\left| z \right|\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\overline{{{z}_{1}}\pm {{z}_{2}}}=\overline{{{z}_{1}}}\pm \overline{{{z}_{2}}} \\ & \overline{{{z}_{1}}.{{z}_{2}}}=\overline{{{z}_{1}}}.\overline{{{z}_{2}}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\overline{\left( \frac{{{z}_{1}}}{{{z}_{2}}} \right)}=\frac{\overline{{{z}_{1}}}}{\overline{{{z}_{2}}}} \\ \end{align}$
    • $z$ là số thực $\Leftrightarrow z=\overline{z}$
    • $z$ là số thuần ảo $\Leftrightarrow z=-\overline{z}$
    4.Phép toán trên tập số phức:
    Cho hai số phức ${{z}_{1}}=a+bi$ và ${{z}_{2}}=c+di$ thì:
    • Phép cộng số phức: ${{z}_{1}}+{{z}_{2}}=\left( a+c \right)+\left( b+d \right)i$
    • Phép trừ số phức: ${{z}_{1}}-{{z}_{2}}=\left( a-c \right)+\left( b-d \right)i$
    • Mọi số phức $z=a+bi$ thì số đối của $z$ là $-z=-a-bi:z+\left( -z \right)=\left( -z \right)+z=0$
    • Phép nhân số phức: ${{z}_{1}}.{{z}_{2}}=\left( ab-bd \right)+\left( ad+bc \right)i$
    Chú ý: $\left\{ \begin{align} & {{i}^{4k}}=1 \\ & {{i}^{4k+1}}=i \\ & {{i}^{4k+2}}=-1 \\ & {{i}^{4k+3}}=-i \\ \end{align} \right.$

    Phép chia số phức:
    Số phức nghịch đảo của $z=a+bi\ne 0$: $\frac{1}{z}=\frac{\overline{z}}{{{\left| z \right|}^{2}}}=\frac{1}{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}\cdot \overline{z}$
    $\frac{{{z}_{1}}}{{{z}_{2}}}=\frac{{{z}_{1}}.\overline{{{z}_{2}}}}{{{\left| {{z}_{2}} \right|}^{2}}}=\frac{ac+bd}{{{c}^{2}}+{{d}^{2}}}+\frac{bc-ad}{{{c}^{2}}+{{d}^{2}}}\cdot i$ (với ${{z}_{2}}\ne 0$)

    II. BÀI TẬP
    Câu 1.
    Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai?
    A. Môđun của số phức $z$ là một số âm.
    B. Môđun của số phức $z$ là một số thực.
    C. Môđun của số phức $z=a+bi$ là $\left| z \right|=\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}$.
    D. Môđun của số phức $z$ là một số thực không âm.
    Hướng dẫn giải
    $z=a+bi$ với $\left( a;b\in \mathbb{R},{{i}^{2}}=-1 \right)$ $\Leftrightarrow \left| z \right|=\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}$
    Do $a;b\in \mathbb{R}\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}
    \left| z \right|\in \mathbb{R}\subset \mathbb{C} \\
    \left| z \right|\ge 0 \\
    \end{matrix} \right.$
    Vậy chọn đáp án A.

    Câu 2. Cho số phức $z=5-4i$. Môđun của số phức $z$ là
    A. 3.
    B. $\sqrt{41}$.
    C. 1.
    D. 9.
    Hướng dẫn giải
    $z=5-4i\Rightarrow \left| z \right|=\sqrt{{{5}^{2}}+{{\left( -4 \right)}^{2}}}=\sqrt{41}$
    Vậy chọn đáp án B.

    Câu 3. Cho số phức $z=5-4i$. Số phức đối của $z$ có tọa độ điểm biểu diễn là
    A. $\left( -5;4 \right)$.
    B. $\left( 5;-4 \right)$.
    C. $\left( -5;-4 \right)$.
    D. $\left( 5;4 \right)$.
    Hướng dẫn giải
    $z=5-4i\Leftrightarrow -z=-5+4i$. Vậy điểm biểu diễn của $-z$ là $\left( -5;4 \right)$
    Vậy chọn đáp án A.

    Câu 4. Cho số phức $z=6+7i$. Số phức liên hợp của $z$ là
    A. $\overline{z}=6+7i$.
    B. $\overline{z}=-6-7i$.
    C. $\overline{z}=-6+7i$.
    D. $\overline{z}=6-7i$.
    Hướng dẫn giải
    $z=6+7i\Leftrightarrow \overline{z}=6-7i$
    Vậy chọn đáp án D.

    Câu 5. Các số thực $x,y$ thỏa mãn: $3x+y+5xi=2y-1+\left( x-y \right)i$ là
    A. $\left( x;y \right)=\left( -\frac{1}{7};\frac{4}{7} \right)$.
    B. $\left( x;y \right)=\left( -\frac{2}{7};\frac{4}{7} \right)$.
    C. $\left( x;y \right)=\left( \frac{1}{7};\frac{4}{7} \right)$.
    D. $\left( x;y \right)=\left( -\frac{1}{7};-\frac{4}{7} \right)$.
    Hướng dẫn giải
    $\begin{align} & 3x+y+5xi=2y-1+\left( x-y \right)i \\ & \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 3x+y=2y-1 \\ 5x=x-y \\ \end{matrix} \right. \\ & \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 3x-y=-1 \\ 4x+y=0 \\ \end{matrix} \right. \\ & \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x=-\frac{1}{7} \\ y=\frac{4}{7} \\ \end{matrix} \right. \\ \end{align}$
    Vậy $\left( x;y \right)=\left( -\frac{1}{7};\frac{4}{7} \right)$
    Vậy chọn đáp án A.

    Câu 6. Cho hai số phức ${{z}_{1}}=1+2i$ và ${{z}_{2}}=2-3i$. Khẳng định nào sau đây là khẳng định Sai?
    A. $\frac{{{z}_{2}}}{{{z}_{1}}}=-\frac{4}{5}-\frac{7}{5}i$.
    B. $5{{z}_{1}}^{-1}-{{z}_{2}}=-1+i$.
    C. $\overline{{{z}_{1}}}+\overline{{{z}_{1}}.{{z}_{2}}}=9+i$.
    D. $\left| {{z}_{1}}.{{z}_{2}} \right|=\sqrt{65}$.
    Hướng dẫn giải
    $\overline{{{z}_{1}}}+\overline{{{z}_{1}}.{{z}_{2}}}=1-2i+8-i=9-3i$
    $5{{z}_{1}}^{-1}-{{z}_{2}}=\frac{5}{{{1}^{2}}+{{2}^{2}}}\cdot \left( 1-2i \right)-\left( 2-3i \right)=1-2i-2+3i=-1+i$
    $\frac{{{z}_{2}}}{{{z}_{1}}}=\frac{1}{{{1}^{2}}+{{2}^{2}}}\cdot \left( 1-2i \right)\left( 2-3i \right)=\frac{1}{5}\left( -4-7i \right)=-\frac{4}{5}-\frac{7}{5}i$
    $\left| {{z}_{1}}.{{z}_{2}} \right|=\left| 8+i \right|=\sqrt{{{8}^{2}}+{{1}^{2}}}=\sqrt{65}$
    Vậy chọn đáp án C.

    Câu 7. Cho hai số phức ${{z}_{1}}=1+2i$ và ${{z}_{2}}=2-3i$. Phần ảo của số phức $w=3{{z}_{1}}-2{{z}_{2}}$ là
    A. 12.
    B. 11.
    C. 1.
    D. $12i$.
    Hướng dẫn giải
    $\text{w}=3{{z}_{1}}-2{{z}_{2}}=3\left( 1+2i \right)-2\left( 2-3i \right)=-1+12i$. Vậy phần ảo của số phức w là $12$.
    Vậy chọn đáp án A.

    Câu 8. Cho số phức $z=4-3i$. Phần thực, phần ảo của số phức $\overline{z}$ lần lượt là
    A. $4;-3$.
    B. $-4;3$.
    C. $4;3$.
    D. $-4;-3$.
    Hướng dẫn giải
    $z=4-3i\Rightarrow \overline{z}=4+3i$ $\Rightarrow $ Phần thực của $\overline{z}$ là $4$, phần ảo của $\overline{z}$ là $3$
    Vậy chọn đáp án C.

    Câu 9. Điểm $M\left( -1;3 \right)$ là điểm biểu diễn của số phức
    A. $z=-1+3i$.
    B. $z=1-3i$.
    C. $z=2i$.
    D. $z=2$.
    Hướng dẫn giải
    $z=a+bi$ có điểm biểu diễn là $M\left( a;b \right)$. Ta suy ra $z=-1+3i$
    Vậy chọn đáp án A.

    Câu 10. Số phức $z=\frac{7-17i}{5-i}$ có phần thực là
    A. 2.
    B. $\frac{9}{13}$.
    C. 3.
    D. $-3$.
    Hướng dẫn giải
    $z=\frac{7-17i}{5-i}=\frac{\left( 7-17i \right)\left( 5+i \right)}{\left( 5-i \right)\left( 5+i \right)}=\frac{52-78i}{26}=2-3i$
    $\Rightarrow $ phần thực của $z$ là: $2$
    Vậy chọn đáp án A.
     
    Chỉnh sửa cuối: 16/2/19 lúc 21:18

    Bình Luận Bằng Facebook

Chia sẻ trang này