Toán Giải nhanh số phức từ cơ bản tới nâng cao

I.KIẾN THỨC CƠ BẢN SỐ PHỨC
1.Định nghĩa.
Đơn vị ảo : Số $i$ mà ${{i}^{2}}=-1$ được gọi là đơn vị ảo.

• Số phức $z=a+bi$ với $a,b\in \mathbb{R}$. Gọi $a$ là phần thực, $b$ là phần ảo của số phức $z$.
• Tập số phức $\mathbb{C}=\left\{ a+bi/a,b\in \mathbb{R};{{i}^{2}}=-1 \right\}$. Tập số thực $\mathbb{R}$ là tập con của tập số phức $\mathbb{C}$.
• Hai số phức bằng nhau: $a+bi=c+di\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a=c \\ b=d \\ \end{matrix} \right.$ với $a,b,c,d\in \mathbb{R}$.

----------------------------------------
Thí sinh đăng ký dự thi THPT Quốc gia năm 2019 từ ngày 1/4

Thí sinh sẽ đăng ký dự thi THPT Quốc gia năm 2019 từ ngày 1-20/4/2019, với mục đích xét tốt nghiệp THPT và xét tuyển vào các trường Đại học, Cao đẳng.

​

Các thí sinh sẽ có 20 ngày để đưa ra quyết định cuối cùng khi đăng ký dự thi THPT Quốc gia năm 2019. Ảnh: Quang Nhựt/TTXVN

Theo dự thảo quy chế Tuyển sinh năm 2019 của Bộ Giáo dục và Đào tạo (GD&ĐT) công bố mới đây, kỳ thi Trung học phổ thông (THPT) Quốc gia năm 2019 về cơ bản giữ ổn định như năm 2018.

Như vậy, thời gian thí sinh đăng ký dự thi THPT Quốc gia năm 2019 sẽ không thay đổi so với năm trước. Ngày 1/4, các thí sinh trên cả nước bắt đầu nộp hồ sơ đăng ký dự thi.

Thí sinh đang là học sinh lớp 12 mua và nộp hồ sơ đăng ký dự thi tại trường THPT mình đang theo học.

Thí sinh tự do mua hồ sơ tại các nhà sách lớn trên cả nước hoặc phòng GD&ĐT của quận, huyện. Thí sinh tự do đăng ký tại địa điểm do sở GD&ĐT quy định, tại địa phương hoặc nơi đăng ký thuận tiện nhất cho thí sinh.

Các trường phổ thông chịu trách nhiệm hướng dẫn thí sinh điền vào Phiếu đăng ký dự thi đầy đủ và đúng các thông tin; rà soát hồ sơ đăng ký xét công nhận tốt nghiệp THPT nhằm đảm bảo độ chính xác của các thông tin, đặc biệt là thông tin về diện ưu tiên để được cộng điểm ưu tiên (nếu có); xem xét và quyết định điều kiện dự thi của thí sinh. Lưu ý, các đơn vị tuyệt đối không tiếp nhận hồ sơ không hợp lệ.

Các Sở GD&ĐT, các đơn vị đăng ký dự thi chuẩn bị các điều kiện về cơ sở vật chất, trang thiết bị cần thiết cho việc đăng ký dự thi.

Hồ sơ đăng ký dự thi gồm hai Phiếu đăng ký dự thi, bản photocopy hai mặt Chứng minh nhân dân trên một mặt giấy A4, hai ảnh 4x6 cm. Thí sinh tự do phải nộp thêm 1 phong bì thư đã dán tem ghi rõ họ tên, địa chỉ người và nơi nhận phiếu báo kết quả thi (khi nhà trường gửi kết quả thi sẽ dùng phong bì thư này).

Ảnh của thí sinh là ảnh màu cỡ 4x6cm, kiểu Chứng minh nhân dân hoặc Thẻ căn cước công dân, được chụp trước thời gian nộp hồ sơ không quá 6 tháng. Khi nhập Phiếu đăng ký dự thi, phải nhập cả ảnh của thí sinh (có thể quét ảnh thí sinh đã nộp hoặc nhập từ file ảnh, chụp ảnh trực tiếp). Ảnh của thí sinh đưa vào hệ thống có độ phân giải 400x600 pixels và phải được gắn đúng với thí sinh.

Sau ngày 20/4, thí sinh không được thay đổi điểm thi và các thông tin về bài thi/môn thi đã đăng ký.

Dự thảo quy chế Tuyển sinh THPT Quốc gia năm 2019 về cơ bản giữ ổn định như năm 2018 ngoại trừ một số thay đổi về quy trình ra đề thi, bảo quản đề thi, chấm bài thi trắc nghiệm, công thức tính điểm xét tốt nghiệp.

Nguồn: Báo tin tức
----------------------------------------
Đặc biệt:

• Khi phần ảo $b=0\Leftrightarrow z=a\in \mathbb{R}\Leftrightarrow z$ là số thực,
• Khi phần thực $a=0\Leftrightarrow z=bi\Leftrightarrow z$ là số thuần ảo
• Số $0=0+0i$ vừa là số thực, vừa là số ảo.

2.Môđun của số phức.
$\left| z \right|=\left| a+bi \right|=\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}$ được gọi là môđun của số phức $z$.
Kết quả: $\forall z\in \mathbb{C}$ ta có:
$\begin{align} & \left| z \right|\ge 0;\left| z \right|=0\Leftrightarrow z=0;\left| {{z}^{2}} \right|={{\left| z \right|}^{2}} \\ & \left| {{z}_{1}}.{{z}_{2}} \right|=\left| {{z}_{1}} \right|.\left| {{z}_{2}} \right| \\ & \left| \frac{{{z}_{1}}}{{{z}_{2}}} \right|=\frac{\left| {{z}_{1}} \right|}{\left| {{z}_{2}} \right|} \\ \end{align}$

3.Số phức liên hợp.
Cho số phức $z=a+bi$. Ta gọi số phức liên hợp của $z$ là $\overline{z}=a-bi$.
Kết quả: $\forall z\in \mathbb{C}$ ta có:
$\begin{align} & \overline{\overline{z}}=z;\left| \overline{z} \right|=\left| z \right|\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\overline{{{z}_{1}}\pm {{z}_{2}}}=\overline{{{z}_{1}}}\pm \overline{{{z}_{2}}} \\ & \overline{{{z}_{1}}.{{z}_{2}}}=\overline{{{z}_{1}}}.\overline{{{z}_{2}}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\overline{\left( \frac{{{z}_{1}}}{{{z}_{2}}} \right)}=\frac{\overline{{{z}_{1}}}}{\overline{{{z}_{2}}}} \\ \end{align}$

• $z$ là số thực $\Leftrightarrow z=\overline{z}$
• $z$ là số thuần ảo $\Leftrightarrow z=-\overline{z}$

4.Phép toán trên tập số phức:
Cho hai số phức ${{z}_{1}}=a+bi$ và ${{z}_{2}}=c+di$ thì:

• Phép cộng số phức: ${{z}_{1}}+{{z}_{2}}=\left( a+c \right)+\left( b+d \right)i$
• Phép trừ số phức: ${{z}_{1}}-{{z}_{2}}=\left( a-c \right)+\left( b-d \right)i$
• Mọi số phức $z=a+bi$ thì số đối của $z$ là $-z=-a-bi:z+\left( -z \right)=\left( -z \right)+z=0$
• Phép nhân số phức: ${{z}_{1}}.{{z}_{2}}=\left( ab-bd \right)+\left( ad+bc \right)i$

Chú ý: $\left\{ \begin{align} & {{i}^{4k}}=1 \\ & {{i}^{4k+1}}=i \\ & {{i}^{4k+2}}=-1 \\ & {{i}^{4k+3}}=-i \\ \end{align} \right.$

Phép chia số phức:
Số phức nghịch đảo của $z=a+bi\ne 0$: $\frac{1}{z}=\frac{\overline{z}}{{{\left| z \right|}^{2}}}=\frac{1}{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}\cdot \overline{z}$
$\frac{{{z}_{1}}}{{{z}_{2}}}=\frac{{{z}_{1}}.\overline{{{z}_{2}}}}{{{\left| {{z}_{2}} \right|}^{2}}}=\frac{ac+bd}{{{c}^{2}}+{{d}^{2}}}+\frac{bc-ad}{{{c}^{2}}+{{d}^{2}}}\cdot i$ (với ${{z}_{2}}\ne 0$)

II. BÀI TẬP
Câu 1. Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai?
A. Môđun của số phức $z$ là một số âm.
B. Môđun của số phức $z$ là một số thực.
C. Môđun của số phức $z=a+bi$ là $\left| z \right|=\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}$.
D. Môđun của số phức $z$ là một số thực không âm.

Hướng dẫn giải​

$z=a+bi$ với $\left( a;b\in \mathbb{R},{{i}^{2}}=-1 \right)$ $\Leftrightarrow \left| z \right|=\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}$
Do $a;b\in \mathbb{R}\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}
\left| z \right|\in \mathbb{R}\subset \mathbb{C} \\
\left| z \right|\ge 0 \\
\end{matrix} \right.$
Vậy chọn đáp án A.

Câu 2. Cho số phức $z=5-4i$. Môđun của số phức $z$ là
A. 3.
B. $\sqrt{41}$.
C. 1.
D. 9.
Hướng dẫn giải
$z=5-4i\Rightarrow \left| z \right|=\sqrt{{{5}^{2}}+{{\left( -4 \right)}^{2}}}=\sqrt{41}$
Vậy chọn đáp án B.

Câu 3. Cho số phức $z=5-4i$. Số phức đối của $z$ có tọa độ điểm biểu diễn là
A. $\left( -5;4 \right)$.
B. $\left( 5;-4 \right)$.
C. $\left( -5;-4 \right)$.
D. $\left( 5;4 \right)$.

Hướng dẫn giải​

$z=5-4i\Leftrightarrow -z=-5+4i$. Vậy điểm biểu diễn của $-z$ là $\left( -5;4 \right)$
Vậy chọn đáp án A.

Câu 4. Cho số phức $z=6+7i$. Số phức liên hợp của $z$ là
A. $\overline{z}=6+7i$.
B. $\overline{z}=-6-7i$.
C. $\overline{z}=-6+7i$.
D. $\overline{z}=6-7i$.

Hướng dẫn giải​

$z=6+7i\Leftrightarrow \overline{z}=6-7i$
Vậy chọn đáp án D.

Câu 5. Các số thực $x,y$ thỏa mãn: $3x+y+5xi=2y-1+\left( x-y \right)i$ là
A. $\left( x;y \right)=\left( -\frac{1}{7};\frac{4}{7} \right)$.
B. $\left( x;y \right)=\left( -\frac{2}{7};\frac{4}{7} \right)$.
C. $\left( x;y \right)=\left( \frac{1}{7};\frac{4}{7} \right)$.
D. $\left( x;y \right)=\left( -\frac{1}{7};-\frac{4}{7} \right)$.

Hướng dẫn giải​

$\begin{align} & 3x+y+5xi=2y-1+\left( x-y \right)i \\ & \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 3x+y=2y-1 \\ 5x=x-y \\ \end{matrix} \right. \\ & \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 3x-y=-1 \\ 4x+y=0 \\ \end{matrix} \right. \\ & \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x=-\frac{1}{7} \\ y=\frac{4}{7} \\ \end{matrix} \right. \\ \end{align}$
Vậy $\left( x;y \right)=\left( -\frac{1}{7};\frac{4}{7} \right)$
Vậy chọn đáp án A.

Câu 6. Cho hai số phức ${{z}_{1}}=1+2i$ và ${{z}_{2}}=2-3i$. Khẳng định nào sau đây là khẳng định Sai?
A. $\frac{{{z}_{2}}}{{{z}_{1}}}=-\frac{4}{5}-\frac{7}{5}i$.
B. $5{{z}_{1}}^{-1}-{{z}_{2}}=-1+i$.
C. $\overline{{{z}_{1}}}+\overline{{{z}_{1}}.{{z}_{2}}}=9+i$.
D. $\left| {{z}_{1}}.{{z}_{2}} \right|=\sqrt{65}$.

Hướng dẫn giải​

$\overline{{{z}_{1}}}+\overline{{{z}_{1}}.{{z}_{2}}}=1-2i+8-i=9-3i$
$5{{z}_{1}}^{-1}-{{z}_{2}}=\frac{5}{{{1}^{2}}+{{2}^{2}}}\cdot \left( 1-2i \right)-\left( 2-3i \right)=1-2i-2+3i=-1+i$
$\frac{{{z}_{2}}}{{{z}_{1}}}=\frac{1}{{{1}^{2}}+{{2}^{2}}}\cdot \left( 1-2i \right)\left( 2-3i \right)=\frac{1}{5}\left( -4-7i \right)=-\frac{4}{5}-\frac{7}{5}i$
$\left| {{z}_{1}}.{{z}_{2}} \right|=\left| 8+i \right|=\sqrt{{{8}^{2}}+{{1}^{2}}}=\sqrt{65}$
Vậy chọn đáp án C.

Câu 7. Cho hai số phức ${{z}_{1}}=1+2i$ và ${{z}_{2}}=2-3i$. Phần ảo của số phức $w=3{{z}_{1}}-2{{z}_{2}}$ là
A. 12.
B. 11.
C. 1.
D. $12i$.

Hướng dẫn giải​

$\text{w}=3{{z}_{1}}-2{{z}_{2}}=3\left( 1+2i \right)-2\left( 2-3i \right)=-1+12i$. Vậy phần ảo của số phức w là $12$.
Vậy chọn đáp án A.

Câu 8. Cho số phức $z=4-3i$. Phần thực, phần ảo của số phức $\overline{z}$ lần lượt là
A. $4;-3$.
B. $-4;3$.
C. $4;3$.
D. $-4;-3$.

Hướng dẫn giải​

$z=4-3i\Rightarrow \overline{z}=4+3i$ $\Rightarrow $ Phần thực của $\overline{z}$ là $4$, phần ảo của $\overline{z}$ là $3$
Vậy chọn đáp án C.

Câu 9. Điểm $M\left( -1;3 \right)$ là điểm biểu diễn của số phức
A. $z=-1+3i$.
B. $z=1-3i$.
C. $z=2i$.
D. $z=2$.

Hướng dẫn giải​

$z=a+bi$ có điểm biểu diễn là $M\left( a;b \right)$. Ta suy ra $z=-1+3i$
Vậy chọn đáp án A.

Câu 10. Số phức $z=\frac{7-17i}{5-i}$ có phần thực là
A. 2.
B. $\frac{9}{13}$.
C. 3.
D. $-3$.

Hướng dẫn giải​

$z=\frac{7-17i}{5-i}=\frac{\left( 7-17i \right)\left( 5+i \right)}{\left( 5-i \right)\left( 5+i \right)}=\frac{52-78i}{26}=2-3i$
$\Rightarrow $ phần thực của $z$ là: $2$
Vậy chọn đáp án A.