Toán Giải nhanh số phức từ cơ bản tới nâng cao

I.KIẾN THỨC CƠ BẢN SỐ PHỨC
1.Định nghĩa.
Đơn vị ảo : Số $i$ mà ${{i}^{2}}=-1$ được gọi là đơn vị ảo.

• Số phức $z=a+bi$ với $a,b\in \mathbb{R}$. Gọi $a$ là phần thực, $b$ là phần ảo của số phức $z$.
• Tập số phức $\mathbb{C}=\left\{ a+bi/a,b\in \mathbb{R};{{i}^{2}}=-1 \right\}$. Tập số thực $\mathbb{R}$ là tập con của tập số phức $\mathbb{C}$.
• Hai số phức bằng nhau: $a+bi=c+di\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a=c \\ b=d \\ \end{matrix} \right.$ với $a,b,c,d\in \mathbb{R}$.

Đặc biệt:

• Khi phần ảo $b=0\Leftrightarrow z=a\in \mathbb{R}\Leftrightarrow z$ là số thực,
• Khi phần thực $a=0\Leftrightarrow z=bi\Leftrightarrow z$ là số thuần ảo
• Số $0=0+0i$ vừa là số thực, vừa là số ảo.

2.Môđun của số phức.
$\left| z \right|=\left| a+bi \right|=\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}$ được gọi là môđun của số phức $z$.
Kết quả: $\forall z\in \mathbb{C}$ ta có:
$\begin{align} & \left| z \right|\ge 0;\left| z \right|=0\Leftrightarrow z=0;\left| {{z}^{2}} \right|={{\left| z \right|}^{2}} \\ & \left| {{z}_{1}}.{{z}_{2}} \right|=\left| {{z}_{1}} \right|.\left| {{z}_{2}} \right| \\ & \left| \frac{{{z}_{1}}}{{{z}_{2}}} \right|=\frac{\left| {{z}_{1}} \right|}{\left| {{z}_{2}} \right|} \\ \end{align}$

3.Số phức liên hợp.
Cho số phức $z=a+bi$. Ta gọi số phức liên hợp của $z$ là $\overline{z}=a-bi$.
Kết quả: $\forall z\in \mathbb{C}$ ta có:
$\begin{align} & \overline{\overline{z}}=z;\left| \overline{z} \right|=\left| z \right|\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\overline{{{z}_{1}}\pm {{z}_{2}}}=\overline{{{z}_{1}}}\pm \overline{{{z}_{2}}} \\ & \overline{{{z}_{1}}.{{z}_{2}}}=\overline{{{z}_{1}}}.\overline{{{z}_{2}}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\overline{\left( \frac{{{z}_{1}}}{{{z}_{2}}} \right)}=\frac{\overline{{{z}_{1}}}}{\overline{{{z}_{2}}}} \\ \end{align}$

• $z$ là số thực $\Leftrightarrow z=\overline{z}$
• $z$ là số thuần ảo $\Leftrightarrow z=-\overline{z}$

4.Phép toán trên tập số phức:
Cho hai số phức ${{z}_{1}}=a+bi$ và ${{z}_{2}}=c+di$ thì:

• Phép cộng số phức: ${{z}_{1}}+{{z}_{2}}=\left( a+c \right)+\left( b+d \right)i$
• Phép trừ số phức: ${{z}_{1}}-{{z}_{2}}=\left( a-c \right)+\left( b-d \right)i$
• Mọi số phức $z=a+bi$ thì số đối của $z$ là $-z=-a-bi:z+\left( -z \right)=\left( -z \right)+z=0$
• Phép nhân số phức: ${{z}_{1}}.{{z}_{2}}=\left( ab-bd \right)+\left( ad+bc \right)i$

Chú ý: $\left\{ \begin{align} & {{i}^{4k}}=1 \\ & {{i}^{4k+1}}=i \\ & {{i}^{4k+2}}=-1 \\ & {{i}^{4k+3}}=-i \\ \end{align} \right.$

Phép chia số phức:
Số phức nghịch đảo của $z=a+bi\ne 0$: $\frac{1}{z}=\frac{\overline{z}}{{{\left| z \right|}^{2}}}=\frac{1}{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}\cdot \overline{z}$
$\frac{{{z}_{1}}}{{{z}_{2}}}=\frac{{{z}_{1}}.\overline{{{z}_{2}}}}{{{\left| {{z}_{2}} \right|}^{2}}}=\frac{ac+bd}{{{c}^{2}}+{{d}^{2}}}+\frac{bc-ad}{{{c}^{2}}+{{d}^{2}}}\cdot i$ (với ${{z}_{2}}\ne 0$)

II. BÀI TẬP
Câu 1. Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai?
A. Môđun của số phức $z$ là một số âm.
B. Môđun của số phức $z$ là một số thực.
C. Môđun của số phức $z=a+bi$ là $\left| z \right|=\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}$.
D. Môđun của số phức $z$ là một số thực không âm.

Hướng dẫn giải​

$z=a+bi$ với $\left( a;b\in \mathbb{R},{{i}^{2}}=-1 \right)$ $\Leftrightarrow \left| z \right|=\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}$
Do $a;b\in \mathbb{R}\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}
\left| z \right|\in \mathbb{R}\subset \mathbb{C} \\
\left| z \right|\ge 0 \\
\end{matrix} \right.$
Vậy chọn đáp án A.

Câu 2. Cho số phức $z=5-4i$. Môđun của số phức $z$ là
A. 3.
B. $\sqrt{41}$.
C. 1.
D. 9.
Hướng dẫn giải
$z=5-4i\Rightarrow \left| z \right|=\sqrt{{{5}^{2}}+{{\left( -4 \right)}^{2}}}=\sqrt{41}$
Vậy chọn đáp án B.

Câu 3. Cho số phức $z=5-4i$. Số phức đối của $z$ có tọa độ điểm biểu diễn là
A. $\left( -5;4 \right)$.
B. $\left( 5;-4 \right)$.
C. $\left( -5;-4 \right)$.
D. $\left( 5;4 \right)$.

Hướng dẫn giải​

$z=5-4i\Leftrightarrow -z=-5+4i$. Vậy điểm biểu diễn của $-z$ là $\left( -5;4 \right)$
Vậy chọn đáp án A.

Câu 4. Cho số phức $z=6+7i$. Số phức liên hợp của $z$ là
A. $\overline{z}=6+7i$.
B. $\overline{z}=-6-7i$.
C. $\overline{z}=-6+7i$.
D. $\overline{z}=6-7i$.

Hướng dẫn giải​

$z=6+7i\Leftrightarrow \overline{z}=6-7i$
Vậy chọn đáp án D.

Câu 5. Các số thực $x,y$ thỏa mãn: $3x+y+5xi=2y-1+\left( x-y \right)i$ là
A. $\left( x;y \right)=\left( -\frac{1}{7};\frac{4}{7} \right)$.
B. $\left( x;y \right)=\left( -\frac{2}{7};\frac{4}{7} \right)$.
C. $\left( x;y \right)=\left( \frac{1}{7};\frac{4}{7} \right)$.
D. $\left( x;y \right)=\left( -\frac{1}{7};-\frac{4}{7} \right)$.

Hướng dẫn giải​

$\begin{align} & 3x+y+5xi=2y-1+\left( x-y \right)i \\ & \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 3x+y=2y-1 \\ 5x=x-y \\ \end{matrix} \right. \\ & \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 3x-y=-1 \\ 4x+y=0 \\ \end{matrix} \right. \\ & \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x=-\frac{1}{7} \\ y=\frac{4}{7} \\ \end{matrix} \right. \\ \end{align}$
Vậy $\left( x;y \right)=\left( -\frac{1}{7};\frac{4}{7} \right)$
Vậy chọn đáp án A.

Câu 6. Cho hai số phức ${{z}_{1}}=1+2i$ và ${{z}_{2}}=2-3i$. Khẳng định nào sau đây là khẳng định Sai?
A. $\frac{{{z}_{2}}}{{{z}_{1}}}=-\frac{4}{5}-\frac{7}{5}i$.
B. $5{{z}_{1}}^{-1}-{{z}_{2}}=-1+i$.
C. $\overline{{{z}_{1}}}+\overline{{{z}_{1}}.{{z}_{2}}}=9+i$.
D. $\left| {{z}_{1}}.{{z}_{2}} \right|=\sqrt{65}$.

Hướng dẫn giải​

$\overline{{{z}_{1}}}+\overline{{{z}_{1}}.{{z}_{2}}}=1-2i+8-i=9-3i$
$5{{z}_{1}}^{-1}-{{z}_{2}}=\frac{5}{{{1}^{2}}+{{2}^{2}}}\cdot \left( 1-2i \right)-\left( 2-3i \right)=1-2i-2+3i=-1+i$
$\frac{{{z}_{2}}}{{{z}_{1}}}=\frac{1}{{{1}^{2}}+{{2}^{2}}}\cdot \left( 1-2i \right)\left( 2-3i \right)=\frac{1}{5}\left( -4-7i \right)=-\frac{4}{5}-\frac{7}{5}i$
$\left| {{z}_{1}}.{{z}_{2}} \right|=\left| 8+i \right|=\sqrt{{{8}^{2}}+{{1}^{2}}}=\sqrt{65}$
Vậy chọn đáp án C.

Câu 7. Cho hai số phức ${{z}_{1}}=1+2i$ và ${{z}_{2}}=2-3i$. Phần ảo của số phức $w=3{{z}_{1}}-2{{z}_{2}}$ là
A. 12.
B. 11.
C. 1.
D. $12i$.

Hướng dẫn giải​

$\text{w}=3{{z}_{1}}-2{{z}_{2}}=3\left( 1+2i \right)-2\left( 2-3i \right)=-1+12i$. Vậy phần ảo của số phức w là $12$.
Vậy chọn đáp án A.

Câu 8. Cho số phức $z=4-3i$. Phần thực, phần ảo của số phức $\overline{z}$ lần lượt là
A. $4;-3$.
B. $-4;3$.
C. $4;3$.
D. $-4;-3$.

Hướng dẫn giải​

$z=4-3i\Rightarrow \overline{z}=4+3i$ $\Rightarrow $ Phần thực của $\overline{z}$ là $4$, phần ảo của $\overline{z}$ là $3$
Vậy chọn đáp án C.

Câu 9. Điểm $M\left( -1;3 \right)$ là điểm biểu diễn của số phức
A. $z=-1+3i$.
B. $z=1-3i$.
C. $z=2i$.
D. $z=2$.

Hướng dẫn giải​

$z=a+bi$ có điểm biểu diễn là $M\left( a;b \right)$. Ta suy ra $z=-1+3i$
Vậy chọn đáp án A.

Câu 10. Số phức $z=\frac{7-17i}{5-i}$ có phần thực là
A. 2.
B. $\frac{9}{13}$.
C. 3.
D. $-3$.

Hướng dẫn giải​

$z=\frac{7-17i}{5-i}=\frac{\left( 7-17i \right)\left( 5+i \right)}{\left( 5-i \right)\left( 5+i \right)}=\frac{52-78i}{26}=2-3i$
$\Rightarrow $ phần thực của $z$ là: $2$
Vậy chọn đáp án A.