Hãy đăng ký thành viên để có thể dễ dàng hỏi bài, trao đổi, giao lưu và chia sẻ về kiến thức
  1. Thủ thuật: Nếu muốn tìm lời giải một câu vật lý trên Google, bạn hãy gõ: tanggiap + câu hỏi.
    Dismiss Notice

Toán Giải nhanh số phức từ cơ bản tới nâng cao

Thảo luận trong 'Bài 1. Các dạng toán liên quan đến số phức' bắt đầu bởi Tăng Giáp, 21/1/19.

  1. Tăng Giáp

    Tăng Giáp Administrator Thành viên BQT

    Tham gia ngày:
    16/11/14
    Bài viết:
    4,613
    Đã được thích:
    282
    Điểm thành tích:
    83
    Giới tính:
    Nam
    I.KIẾN THỨC CƠ BẢN SỐ PHỨC
    1.Định nghĩa.
    Đơn vị ảo :
    Số $i$ mà ${{i}^{2}}=-1$ được gọi là đơn vị ảo.
    • Số phức $z=a+bi$ với $a,b\in \mathbb{R}$. Gọi $a$ là phần thực, $b$ là phần ảo của số phức $z$.
    • Tập số phức $\mathbb{C}=\left\{ a+bi/a,b\in \mathbb{R};{{i}^{2}}=-1 \right\}$. Tập số thực $\mathbb{R}$ là tập con của tập số phức $\mathbb{C}$.
    • Hai số phức bằng nhau: $a+bi=c+di\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a=c \\ b=d \\ \end{matrix} \right.$ với $a,b,c,d\in \mathbb{R}$.
    Đặc biệt:
    • Khi phần ảo $b=0\Leftrightarrow z=a\in \mathbb{R}\Leftrightarrow z$ là số thực,
    • Khi phần thực $a=0\Leftrightarrow z=bi\Leftrightarrow z$ là số thuần ảo
    • Số $0=0+0i$ vừa là số thực, vừa là số ảo.
    2.Môđun của số phức.
    $\left| z \right|=\left| a+bi \right|=\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}$ được gọi là môđun của số phức $z$.
    Kết quả: $\forall z\in \mathbb{C}$ ta có:
    $\begin{align} & \left| z \right|\ge 0;\left| z \right|=0\Leftrightarrow z=0;\left| {{z}^{2}} \right|={{\left| z \right|}^{2}} \\ & \left| {{z}_{1}}.{{z}_{2}} \right|=\left| {{z}_{1}} \right|.\left| {{z}_{2}} \right| \\ & \left| \frac{{{z}_{1}}}{{{z}_{2}}} \right|=\frac{\left| {{z}_{1}} \right|}{\left| {{z}_{2}} \right|} \\ \end{align}$

    3.Số phức liên hợp.
    Cho số phức $z=a+bi$. Ta gọi số phức liên hợp của $z$ là $\overline{z}=a-bi$.
    Kết quả: $\forall z\in \mathbb{C}$ ta có:
    $\begin{align} & \overline{\overline{z}}=z;\left| \overline{z} \right|=\left| z \right|\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\overline{{{z}_{1}}\pm {{z}_{2}}}=\overline{{{z}_{1}}}\pm \overline{{{z}_{2}}} \\ & \overline{{{z}_{1}}.{{z}_{2}}}=\overline{{{z}_{1}}}.\overline{{{z}_{2}}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\overline{\left( \frac{{{z}_{1}}}{{{z}_{2}}} \right)}=\frac{\overline{{{z}_{1}}}}{\overline{{{z}_{2}}}} \\ \end{align}$
    • $z$ là số thực $\Leftrightarrow z=\overline{z}$
    • $z$ là số thuần ảo $\Leftrightarrow z=-\overline{z}$
    4.Phép toán trên tập số phức:
    Cho hai số phức ${{z}_{1}}=a+bi$ và ${{z}_{2}}=c+di$ thì:
    • Phép cộng số phức: ${{z}_{1}}+{{z}_{2}}=\left( a+c \right)+\left( b+d \right)i$
    • Phép trừ số phức: ${{z}_{1}}-{{z}_{2}}=\left( a-c \right)+\left( b-d \right)i$
    • Mọi số phức $z=a+bi$ thì số đối của $z$ là $-z=-a-bi:z+\left( -z \right)=\left( -z \right)+z=0$
    • Phép nhân số phức: ${{z}_{1}}.{{z}_{2}}=\left( ab-bd \right)+\left( ad+bc \right)i$
    Chú ý: $\left\{ \begin{align} & {{i}^{4k}}=1 \\ & {{i}^{4k+1}}=i \\ & {{i}^{4k+2}}=-1 \\ & {{i}^{4k+3}}=-i \\ \end{align} \right.$

    Phép chia số phức:
    Số phức nghịch đảo của $z=a+bi\ne 0$: $\frac{1}{z}=\frac{\overline{z}}{{{\left| z \right|}^{2}}}=\frac{1}{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}\cdot \overline{z}$
    $\frac{{{z}_{1}}}{{{z}_{2}}}=\frac{{{z}_{1}}.\overline{{{z}_{2}}}}{{{\left| {{z}_{2}} \right|}^{2}}}=\frac{ac+bd}{{{c}^{2}}+{{d}^{2}}}+\frac{bc-ad}{{{c}^{2}}+{{d}^{2}}}\cdot i$ (với ${{z}_{2}}\ne 0$)

    II. BÀI TẬP
    Câu 1.
    Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai?
    A. Môđun của số phức $z$ là một số âm.
    B. Môđun của số phức $z$ là một số thực.
    C. Môđun của số phức $z=a+bi$ là $\left| z \right|=\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}$.
    D. Môđun của số phức $z$ là một số thực không âm.
    Hướng dẫn giải
    $z=a+bi$ với $\left( a;b\in \mathbb{R},{{i}^{2}}=-1 \right)$ $\Leftrightarrow \left| z \right|=\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}$
    Do $a;b\in \mathbb{R}\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}
    \left| z \right|\in \mathbb{R}\subset \mathbb{C} \\
    \left| z \right|\ge 0 \\
    \end{matrix} \right.$
    Vậy chọn đáp án A.

    Câu 2. Cho số phức $z=5-4i$. Môđun của số phức $z$ là
    A. 3.
    B. $\sqrt{41}$.
    C. 1.
    D. 9.
    Hướng dẫn giải
    $z=5-4i\Rightarrow \left| z \right|=\sqrt{{{5}^{2}}+{{\left( -4 \right)}^{2}}}=\sqrt{41}$
    Vậy chọn đáp án B.

    Câu 3. Cho số phức $z=5-4i$. Số phức đối của $z$ có tọa độ điểm biểu diễn là
    A. $\left( -5;4 \right)$.
    B. $\left( 5;-4 \right)$.
    C. $\left( -5;-4 \right)$.
    D. $\left( 5;4 \right)$.
    Hướng dẫn giải
    $z=5-4i\Leftrightarrow -z=-5+4i$. Vậy điểm biểu diễn của $-z$ là $\left( -5;4 \right)$
    Vậy chọn đáp án A.

    Câu 4. Cho số phức $z=6+7i$. Số phức liên hợp của $z$ là
    A. $\overline{z}=6+7i$.
    B. $\overline{z}=-6-7i$.
    C. $\overline{z}=-6+7i$.
    D. $\overline{z}=6-7i$.
    Hướng dẫn giải
    $z=6+7i\Leftrightarrow \overline{z}=6-7i$
    Vậy chọn đáp án D.

    Câu 5. Các số thực $x,y$ thỏa mãn: $3x+y+5xi=2y-1+\left( x-y \right)i$ là
    A. $\left( x;y \right)=\left( -\frac{1}{7};\frac{4}{7} \right)$.
    B. $\left( x;y \right)=\left( -\frac{2}{7};\frac{4}{7} \right)$.
    C. $\left( x;y \right)=\left( \frac{1}{7};\frac{4}{7} \right)$.
    D. $\left( x;y \right)=\left( -\frac{1}{7};-\frac{4}{7} \right)$.
    Hướng dẫn giải
    $\begin{align} & 3x+y+5xi=2y-1+\left( x-y \right)i \\ & \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 3x+y=2y-1 \\ 5x=x-y \\ \end{matrix} \right. \\ & \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 3x-y=-1 \\ 4x+y=0 \\ \end{matrix} \right. \\ & \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x=-\frac{1}{7} \\ y=\frac{4}{7} \\ \end{matrix} \right. \\ \end{align}$
    Vậy $\left( x;y \right)=\left( -\frac{1}{7};\frac{4}{7} \right)$
    Vậy chọn đáp án A.

    Câu 6. Cho hai số phức ${{z}_{1}}=1+2i$ và ${{z}_{2}}=2-3i$. Khẳng định nào sau đây là khẳng định Sai?
    A. $\frac{{{z}_{2}}}{{{z}_{1}}}=-\frac{4}{5}-\frac{7}{5}i$.
    B. $5{{z}_{1}}^{-1}-{{z}_{2}}=-1+i$.
    C. $\overline{{{z}_{1}}}+\overline{{{z}_{1}}.{{z}_{2}}}=9+i$.
    D. $\left| {{z}_{1}}.{{z}_{2}} \right|=\sqrt{65}$.
    Hướng dẫn giải
    $\overline{{{z}_{1}}}+\overline{{{z}_{1}}.{{z}_{2}}}=1-2i+8-i=9-3i$
    $5{{z}_{1}}^{-1}-{{z}_{2}}=\frac{5}{{{1}^{2}}+{{2}^{2}}}\cdot \left( 1-2i \right)-\left( 2-3i \right)=1-2i-2+3i=-1+i$
    $\frac{{{z}_{2}}}{{{z}_{1}}}=\frac{1}{{{1}^{2}}+{{2}^{2}}}\cdot \left( 1-2i \right)\left( 2-3i \right)=\frac{1}{5}\left( -4-7i \right)=-\frac{4}{5}-\frac{7}{5}i$
    $\left| {{z}_{1}}.{{z}_{2}} \right|=\left| 8+i \right|=\sqrt{{{8}^{2}}+{{1}^{2}}}=\sqrt{65}$
    Vậy chọn đáp án C.

    Câu 7. Cho hai số phức ${{z}_{1}}=1+2i$ và ${{z}_{2}}=2-3i$. Phần ảo của số phức $w=3{{z}_{1}}-2{{z}_{2}}$ là
    A. 12.
    B. 11.
    C. 1.
    D. $12i$.
    Hướng dẫn giải
    $\text{w}=3{{z}_{1}}-2{{z}_{2}}=3\left( 1+2i \right)-2\left( 2-3i \right)=-1+12i$. Vậy phần ảo của số phức w là $12$.
    Vậy chọn đáp án A.

    Câu 8. Cho số phức $z=4-3i$. Phần thực, phần ảo của số phức $\overline{z}$ lần lượt là
    A. $4;-3$.
    B. $-4;3$.
    C. $4;3$.
    D. $-4;-3$.
    Hướng dẫn giải
    $z=4-3i\Rightarrow \overline{z}=4+3i$ $\Rightarrow $ Phần thực của $\overline{z}$ là $4$, phần ảo của $\overline{z}$ là $3$
    Vậy chọn đáp án C.

    Câu 9. Điểm $M\left( -1;3 \right)$ là điểm biểu diễn của số phức
    A. $z=-1+3i$.
    B. $z=1-3i$.
    C. $z=2i$.
    D. $z=2$.
    Hướng dẫn giải
    $z=a+bi$ có điểm biểu diễn là $M\left( a;b \right)$. Ta suy ra $z=-1+3i$
    Vậy chọn đáp án A.

    Câu 10. Số phức $z=\frac{7-17i}{5-i}$ có phần thực là
    A. 2.
    B. $\frac{9}{13}$.
    C. 3.
    D. $-3$.
    Hướng dẫn giải
    $z=\frac{7-17i}{5-i}=\frac{\left( 7-17i \right)\left( 5+i \right)}{\left( 5-i \right)\left( 5+i \right)}=\frac{52-78i}{26}=2-3i$
    $\Rightarrow $ phần thực của $z$ là: $2$
    Vậy chọn đáp án A.
     
    Chỉnh sửa cuối: 16/1/20

    Bình Luận Bằng Facebook

Chia sẻ trang này